Rechenbeispiele und Übungen mit Parabelgleichungen

Bestimme zum Aufstellen der Parabelgleichung zuerst den Wert des Parameters und anhand dessen die Koordinaten des Brennpunkts sowie die Gleichung der Leitlinie.

1

Löse die quadratische Gelichung

Bestimme den Wert von p

Bestimme den Brennpunkt und ermittle anhand dessen die Leitlinie

Stelle die Parabel mithilfe der erhaltenen Informationen grafisch dar

2

Löse die quadratische Gleichung

Bestimme den Wert von p

Bestimme den Brennpunkt und ermittle anhand dessen die Leitlinie

Stelle die Parabel mithilfe der erhaltenen Informationen grafisch dar

3

Löse die quadratische Gleichung

Bestimme den Wert von p

Bestimme den Brennpunkt und ermittle anhand dessen die Leitlinie

Stelle die Parabel mithilfe der erhaltenen Informationen grafisch dar

Bestimme zum Aufstellen der Parabelgleichung zuerst den Wert des Parameters und anhand dessen die Koordinaten des Brennpunkts und des Scheitelpunkts.

1

Vervollständige die Gleichung, um ein perfektes quadratisches Trinom zu erhalten und löse auf

Faktorisiere

Bestimme die Elemente der Parabel anhand der Gleichung

Berechne anhand des Scheitelpunkts und des Parameters den Brennpunkt und die Leitlinie

Stelle die Parabel anhand der ermittelten Werte im Koordinatensystem grafisch dar

2 

Vervollständige die Gleichung, um ein perfektes quadratisches Trinom zu erhalten und löse auf

Faktorisiere

Bestimme die Elemente der Parabel anhand der Gleichung

Berechne anhand des Scheitelpunkts und des Parameters den Brennpunkt und die Leitlinie

Stelle die Parabel anhand der ermittelten Werte im Koordinatensystem grafisch dar

3

Vervollständige die Gleichung, um ein perfektes quadratisches Trinom zu erhalten und löse auf

Faktorisiere

Bestimme die Elemente der Parabel anhand der Gleichung

Berechne anhand des Scheitelpunkts und des Parameters den Brennpunkt und die Leitlinie

Stelle die Parabel anhand der ermittelten Werte im Koordinatensystem grafisch dar

1 Leitlinie , Brennpunkt .

Anhand der Lage der Leitlinie und des Brennpunkts lässt sich ableiten, dass die Parabel nach rechts geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt im Koordinatenursprung liegt.

Wir wissen, dass der Brennpunkt dieser Parabeln die Koordinaten besitzt, folglich ist

.

Die Gleichung lautet

2 Leitlinie y = -5, Brennpunkt (0, 5).

Anhand der Lage der Leitlinie und des Brennpunkts lässt sich ableiten, dass die Parabel nach links geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt im Koordinatenursprung liegt.

Wir wissen, dass der Brennpunkt dieser Parabeln die Koordinaten besitzt, folglich ist

.

Setze den Wert in die Gleichung ein:

3 Leitlinie , Brennpunkt .

Anhand der Lage der Leitlinie und des Brennpunkts lässt sich ableiten, dass die Parabel nach links geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt im Koordinatenursprung liegt.

Wir wissen, dass der Brennpunkt der Parabeln mit Öffnung nach links ist, das heißt

Setze den Wert in die Gleichung ein:

4 Leitlinie , Scheitelpunkt .

Anhand der Lage der Leitlinie und des Brennpunkts lässt sich ableiten, dass die Parabel nach unten geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt im Koordinatenursprung liegt.

Für diese Art von Parabeln ist die Leitlinie . Folglich ist

Die Gleichung besitzt die Form:

1 Brennpunkt , Scheitelpunkt .

Anhand der Lage des Brennpunkts und des Scheitelpunkts lässt sich ableiten, dass die Parabel nach rechts geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt im Koordinatenursprung liegt.

Die Gleichung hat folglich die Form

Für diese Art von Parabel ist der Brennpunkt , das heißt

Die Parabelgleichung hat die Form:

2 Brennpunkt (3, 2), Scheitelpunkt (5, 2).

Durch Einzeichnen des Brennpunkts und des Scheitelpunkts ins Koordinatensystem kann man sehen, dass der Brennpunkt links vom Scheitelpunkt liegt, daher ist die Parabel nach links geöffnet und ihre Gleichung besitzt die Form:

Berechne den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt und du erhältst

Setze den Wert in die Gleichung ein:

3 Brennpunkt (-2, 5), Scheitelpunkt (-2, 2).

Durch Einzeichnen des Brennpunkts und des Scheitelpunkts ins Koordinatensystem kann man sehen, dass der Brennpunkt oberhalb vom Scheitelpunkt liegt, daher ist die Parabel nach oben geöffnet und ihre Gleichung besitzt die Form:

Berechne den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt und du erhältst

Setze den Wert in die Gleichung ein:

4 Brennpunkt (3, 4), Scheitelpunkt (1, 4).

Durch Einzeichnen des Brennpunkts und des Scheitelpunkts ins Koordinatensystem kann man sehen, dass der Brennpunkt rechts vom Scheitelpunkt liegt, daher ist die Parabel nach rechts geöffnet und ihre Gleichung besitzt die Form:

Berechne den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt und du erhältst

Setze den Wert in die Gleichung ein:

Wir wissen, dass der Abstand zwischen Scheitelpunkt und Brennpunkt gleich dem Abstand zwischen Scheitelpunkt und Leitlinie ist.

Der Abstand von einer Geraden zu einem Punkt ist gegeben durch

Wenn man den Scheitelpunkt als unbekannten Punkt definiert, erhält man als erste Gleichung

Quadriere die Gleichung, um die Wurzel auf der linken Seite aufzuheben und vereinfache

Löse auf und stelle alle Terme mit der Variablen auf eine Seite und alle Terme mit der Variablen auf die andere

Faktorisiere

Die allgemeine Gleichung einer Parabel mit vertikaler Hauptachse besitzt die Form

Da die Punkte A, B und C auf der Parabel liegen, geht die Gleichung bei Einsetzen der Werte auf

Löse das lineare Gleichungssystem und du erhältst

Die Parabelgleichung ist daher

Um die Lagebeziehung zu bestimmen, prüft man zuerst, ob sich die beiden Elemente schneiden. Sollten Schnittpunkte vorliegen, würde die Parabelgleichung bei Einsetzen dieser aufgehen.

Um das Gleichungssystem zu lösen quadriert man die zweite Gleichung und setzt die Terme für aus beiden Gleichungen miteinander gleich.

Vereinfache

Löse die quadratische Gleichung mithilfe der allgemeinen Formel.

Du erhältst die Koordinaten der -Achse. Um die Koordinaten der -Achse herauszufinden, setze die Werte von x in eine der Gleichungen ein. In diesem Fall ist die einfachste Art

Daher ist

Die Schnittpunkte sind also:

Die Gerade ist daher eine Sekante zur Parabel, da sie zwei Schnittpunkte mit ihr gemeinsam hat