Maximale Fläche eines in einen Kreis eingeschriebenen Rechtecks
Ermittle die Seiten des Rechtecks mit maximaler Fläche, das in einen Kreis mit dem Radius 
eingeschrieben ist.
1 
sind die Grundseite und die Höhe des Rechtecks.
2 Zu optimierende Funktion
3Wir setzen die Variablen in Relation. Hierfür nehmen wir die Diagonale des Dreiecks und wenden den Satz des Pythagoras an
4 Wir setzen in die zu optimierende Funktion ein
5 Wir leiten die zu optimierende Funktion ab
6 Wir setzen die Ableitung gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Also ist 
, aber wir nehmen nur das positive Ergebnis
Wir berechnen die Höhe
7 Wir berechnen die 2. Ableitung um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen
Wir substituieren 
Somit maximiert die Fläche. Das Rechteck mit der größten Fläche ist also dasjenige, dessen Grundseite und Höhe gleich 
ist.
Maximale Fläche eines Rechtecks, das in eine Ellipse eingeschrieben ist
Finde die Seiten des Rechtecks mit maximaler Fläche, das in die Ellipse 
eingeschrieben ist
1 
ist ein Eckpunkt des Rechtecks in der Ellipse. Da die Ellipse symmetrisch zum Ursprung ist, ist die Grundseite des Rechtecks 
und seine Höhe 
2 Zu optimierende Funktion
3Wir setzen die Variablen in Relation. Hierfür ermitteln wir eine der Variablen der Ellipsengleichung
4 Wir setzen in die zu optimierende Funktion ein
5 Wir leiten die zu optimierende Funktion ab
6 Wir setzen die Ableitung gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Somit ist
, allerdings nehmen wir nur das positive Ergebnis. Die Grundseite ist 
Wir berechnen die Höhe
7 Wir berechnen die 2. Ableitung, um das Ergebnis zu überprüfen
Wir substituieren 
maximiert die Fläche. Das Rechteck mit der größten Fläche ist also dasjenige, dessen Grundfläche und Höhe gleich 
und 
sind
Minimale Seitenfläche eines Kegels
Es ist vorgesehen, einen Kegel (ohne Abdeckung) mit dem Volumen 
herzustellen. Welche Abmessungen sollte er haben, damit möglichst wenig Material verbraucht wird?
1 
ist der Radius der Grundseite des Kegels und 
seine Höhe
2 Zu optimierende Funktion
3Wir setzen die Variablen in Relation. Hierfür nehmen wir das Volumen und die Mantellinie
4 Wir setzen in die zu optimierende Funktion ein
5 Wir leiten die zu optimierende Funktion ab
6 Wir setzen die Ableitung gleich 0 und berechnen die Nullstellen
somit ist 
, allerdings nehmen wir nur das positive Ergebnis.
Wir berechnen die Höhe
7 Wir berechnen die 2. Ableitung, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen
Wir substituieren 
Somit minimiert die Seitenfläche. Die Abmessungen des Kegels, die die Seitenfläche minimieren, sind also diejenigen, deren Radius und Höhe 
und 
n sind
Maximales Produkt zweier Zahlen
Finde zwei positive Zahlen, deren Summe gleich 
ist und bei denen das Produkt der einen mit dem Quadrat der anderen maximal ist.
1 
sind zwei positive Zahlen, deren Summe ist.
2 Zu optimierende Funktion:
3Wir setzen die Variablen in Relation. Hierfür nehmen wir die Summe der beiden Zahlen
4Wir setzen in die zu optimierende Funktion ein
5Wir leiten die zu optimierende Funktion ab
6 Wir setzen die Ableitung gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Somit ist 
, allerdings nehmen wir nur das positive Ergebnis
Wir berechnen den Wert der anderen Zahl
7 Wir berechnen die 2. Ableitung, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen
Wir substituieren 
maximiert also das Produkt. Die Zahlen, die das Produkt maximieren, sind also 
Minimale Fläche zweier Figuren
Man hat einen 
langen Draht und möchte ihn in zwei Teile teilen, um mit einem einen Kreis und mit dem anderen ein gleichseitiges Dreieck zu bilden. Ermittle die Länge der einzelnen Teile, so dass die Summe der Flächen des Kreises und des Dreiecks minimal ist.
1 ist der Radius des Kreises und 
die Seite des gleichseitigen Dreiecks.
2 Zu optimierende Funktion:
3Wir setzen die Variablen in Relation. Hierfür nehmen wir die Summe der beiden Umfänge
4Wir setzen in die zu optimierende Funktion ein
5Wir leiten die zu optimierende Funktion ab
6 Wir setzen die Ableitung gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Somit ist 
Wir ermitteln den Wert der Seite des Dreiecks
7 Wir berechnen die 2. Ableitung, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen
Wir substituieren
Somit minimiert die Fläche. Der Draht wird also in Stücke von 
für den Kreis und 
für das gleichseitige Dreieck geteilt.
Maximale Fläche eines in ein spitzwinkliges Dreieck eingeschriebenen Rechtecks
Ermittle die Abmessungen des größten in ein spitzwinkliges Dreieck eingeschriebenen Rechtecks, wenn eine der Seiten des Rechtecks in der Grundseite des Dreiecks enthalten ist.
1 Wir haben den spitzen Winkel 
zur Basis und die Höhe . Außerdem das Dreieck mit den Seiten , wobei die Seite 
in der Grundseite des Dreiecks enthalten ist, und die gegenüberliegende Seite mit den Enden 
auf den beiden anderen Seiten des Dreiecks.
2 Zu optimierende Funktion
3Wir setzen die Variablen in Relation. Hierfür nehmen wir die ähnlichen Dreiecke und 
4 Wir setzen in die zu optimierende Funktion ein
5 Wir leiten die zu optimierende Funktion ab
6 Wir setzen die Ableitung gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Somit ist 
Wir berechnen die Grundseite
7 Wir berechnen die 2. Ableitung, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen
Wir substituieren
Somit maximiert 
die Fläche des Rechtecks. Das gesuchte Rechteck mit der größten Fläche ist also dasjenige, dessen Grundfläche und Höhe 
und 
sind.
Minimale Kosten für einen zylindrischen Behälter
Ermittle die Abmessungen, die die Kosten eines zylindrischen Behälters auf ein Minimum reduzieren, wenn man weiß, dass sein Volumen 
betragen muss und die Herstellungskosten pro 
€ für den Boden betragen; außerdem 
für den Deckel und 
für jede Seitenfläche.
1 
sind der Radius und die Höhe des Zylinders
2 Zu optimierende Funktion
3Wir setzen die Variablen in Relation. Hierfür nehmen wir das Volumen 
des Behälters
4 Wir setzen in die zu optimierende Funktion ein
5 Wir leiten die zu optimierende Funktion ab
6 Wir setzen die Ableitung gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Somit ist 
Wir berechnen die Höhe
7 Wir berechnen die 2. Ableitung, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen
Wir substituieren
Somit minimieren und 
die Kosten des Behälters.
Minimaler Umfang
Ein Landwirt möchte ein rechteckiges Grundstück von 
eingrenzen. Das Grundstück soll eingezäunt und durch einen parallelen Zaun an zwei Seiten in zwei gleiche Teile geteilt werden. Wie groß ist das Grundstück, für das ein Mindestmaß an Zaun benötigt wird?
1 Das Grundstück hat die Grundseite und die Höhe 
2 Zu optimierende Funktion
3Wir setzen die Variablen in Relation. Hierfür nehmen wir die Fläche des Grundstücks 
4 Wir setzen in die zu optimierende Funktion ein
5 Wir leiten die zu optimierende Funktion ab
6 Wir setzen die Ableitung gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Wir erhalten 
und wählen das positive Ergebnis.
Wir ermitteln die Höhe
7 Wir berechnen die 2. Ableitung, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen
Wir substituieren 
Somit minimieren 
und 
die Kosten für den Zaun.
Minimale Zeit
Eine Person auf einer Insel möchte einen Punkt 
an einem geradlinigen Strand auf dem Festland erreichen. Die Person ist 
vom nächsten Punkt 
am Strand entfernt und der Punkt ist 
von entfernt. Wenn die Person mit 
schwimmt und mit 
geht, ermittle, an welchen Punkt am Strand sie ankommen sollte (nach dem sie geschwommen ist) um ihre Zeit zu minimieren.
1 ist die Distanz von zum Punkt am Strand, an dem die Person ankommt, 
ist die zu Fuß zurückgelegte Distanz
2 Zu optimierende Funktion
Zunächst berechnen wir die durch Schwimmen zurückgelegte Distanz mit dem Satz des Pythagoras
Die Zeiten sind
Die zu optimierende Funktion ist gleich der Summe der Zeiten
3 Wir leiten die zu optimierende Funktion ab
4 Wir setzen die Ableitung gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Somit ist 
und wir nehmen das positive Ergebnis.
5 Wir berechnen die 2. Ableitung, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen
Wir substituieren 
Die minimale Zeit liegt vor, wenn 
. Die Person muss also 
vom Punkt aus schwimmen und 
bis zum Ziel gehen.
Maximale Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks
Wie lang müssen die Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks mit dem Umfang 
sein, damit die Fläche maximal ist?
1 sind die gleich langen Seiten des gleichschenkligen Dreiecks, ist die Grundseite und die Höhe
2 Zu optimierende Funktion
3Wir setzen die Variablen in Relation. Hierfür nehmen wir den Umfang und die Höhe
Wir setzen den Ausdruck von in die Höhe ein
4 Wir setzen den Ausdruck der Höhe in die zu optimierende Funktion ein
5 Wir leiten die zu optimierende Funktion ab
6 Wir setzen die Ableitung gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Somit ist 
. Wir stellen fest, dass die Ableitung bei 
nicht definiert ist
Wir berechnen den Wert der Seite
7 Wir berechnen die 2. Ableitung, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen
Wir substituieren
und das Dreieck ist gleichseitig.
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