Aufgaben mit Lösungen zur Optimierung

Wir müssen den Flächeninhalt des Dreiecks optimieren (maximieren), d. h. die durch den Flächeninhalt definierte Funktion. Da das Dreieck gleichschenklig ist, ist seine Grundseite die Seite , die gleichen Seiten sind , und seine Höhe können wir mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen, wir erhalten also

Unter der Voraussetzung, dass der Umfang des Dreiecks beträgt, können wir die Variablen in Beziehung setzen:

Dieses Ergebnis können wir in die Funktion einsetzen:

Um die lokalen Extrema zu finden, leiten wir ab, setzen sie gleich 0 und berechnen die Nullstellen:

Wir denken daran, dass wir ein lokales Maximum erhalten, wenn die 2. Ableitung ein negatives Vorzeichen hat. Wir führen also die 2. Ableitung durch und werten nach aus, da die Lösung nicht möglich ist.

Es ist also bewiesen, dass es bei ein Maximum gibt. Die Grundseite misst und die schiefen Seiten messen ebenfalls , so dass das Dreieck mit dem größten Flächeninhalt ein gleichseitiges Dreieck wäre.

Angenommen, ist das Gewicht eines Diamanten. Da der Wert des Diamanten proportional zum Quadrat des Gewichts ist, muss der Wert unseres Diamanten durch gegeben sein, wobei eine positive Proportionalitätskonstante ist. Wenn man einen Diamanten von in zwei Teile mit den Gewichten und teilt, erhält man eine Gleichung, die die Werte von und miteinander in Beziehung setzt,

Die Werte der einzelnen Teile sind also:
Und die Funktion, die wir optimieren wollen, ist diejenige, die sich aus der Summe dieser Werte ergibt:
Um die Extremwerte dieser Funktion zu finden, müssen wir ableiten und gleich 0 setzen:

Wie wir sehen können, haben wir eine Lösung für unser Problem. Um zu prüfen, ob diese Lösung einen Minimalwert ergibt, berechnen wir die 2. Ableitung und prüfen, ob sie tatsächlich positiv ist,

Auf diese Weise muss der Diamant in zwei gleiche Teile von je 1 g geteilt werden.

Aus der Punkt-Steigungsform der Geraden erhalten wir, dass die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt verläuft, wie folgt lautet:

Da die Eckpunkte auf den positiven Teilen der Koordinatenachsen liegen sollen, benötigen wir den Wert, den annimmt, wenn und den Wert, den annimmt, wenn .

Somit sind und Scheitelpunkte des Dreiecks. Wir wollen, dass die Fläche des Dreiecks, das durch die Gerade gebildet wird, minimal ist. Die Fläche des Dreieck ist

In diesem Fall ist

Wir berechnen die Ableitung und setzen sie gleich 0, um die kritischen Werte zu ermitteln:

Wir stellen fest, dass mit kein Dreieck gebildet würde, weil die Koordinaten von A und B mit dem Koordinatenursprung zusammenfallen, also nehmen wir

Wir berechnen die 2. Ableitung und setzen ein:

Somit ist die Gerade die Gerade, die die Steigung hat

Die Formel für das Volumen eines Kegels ist
In diesem Fall würde die zu optimierende Funktion laut Abbildung wie folgt lauten:
Wir setzen die Variablen in Beziehung:
Wir setzen in die Funktion ein:
Wir leiten ab, setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen.

Wir ermitteln die 2. Ableitung, um das Ergebnis zu überprüfen

Die Fläche der Dreiecke ist durch gegeben.
Die Abbildung zeigt ein rechtwinkliges Dreieck, das mit dem Radius des Kreises, einer Seite des Dreiecks und seiner Höhe gebildet wird. Wir wenden den Satz des Pythagoras an und erhalten
Wir setzen in ein und erhalten
Nun leiten wir ab Wir setzen gleich 0 und erhalten
Mit diesen Werten können wir das Folgende über die Werte des Dreiecks sagen:

Grundseite:
,

Seite:

Um zu prüfen, ob diese Werte ein Maximum für die Fläche ergeben, müssen wir die 2. Ableitung für auswerten und erhalten einen negativen Wert:

Die zu optimierende Funktion wird durch das Volumen des Kegels definiert, der durch die Drehung des Dreiecks gebildet wird,
Da der Umfang beträgt und das Dreieck sich um seine Höhe dreht, erhalten wir aus der Figur Folgendes:
Wenn wir diese Gleichungen kombinieren, erhalten wir
Da wir nun alle Variablen in Form von haben, können wir in die Volumenfunktion einsetzen,
Nun leiten wir ab:
Wir setzen gleich 0 und erhalten die folgenden Werte für
und für die Grundseite des Dreiecks; Grundseite: ,

Um zu überprüfen, ob wir bei ein Maximum erhalten, müssen wir die 2. Ableitung von zu diesem Wert berechnen und erhalten einen negativen Wert:

Die Aufgabe besteht darin, die Funktion zu minimieren, die die Fläche der zylindrischen Dose definiert. Diese ist gegeben durch
Da die Dose 1 Liter fassen muss, ist ihr Volumen gleich , das heißt,
Wir bestimmen und erhalten
Wir leiten die Funktion ab:
Um die Extremwerte zu finden, setzen wir die obige Gleichung gleich 0 und ermitteln den Wert von
Wir erhalten den Wert von mithilfe des Werts von ,
Durch Überprüfung mit der 2. Ableitung ergibt sich, dass
Daher sind die Abmessungen der Dose minimal mit .

Wir wollen die Zahl in zwei Summanden zerlegen, also ,
und wir möchten, dass das Fünffache des Quadrats des ersten plus das Sechsfache des Quadrats des zweiten ein Minimum ist, sodass

Da ,
setzen wir "" ein

Wir leiten ab und setzen gleich 0:

Wir berechnen die 2. Ableitung
Daher sind das Minimum und die Zahlen

Wenn das Quadrat die Seitenlänge und der Kreis den Radius hat, dann lautet die zu optimierende Funktion:

Da der Draht eine Länge von hat, ergibt die Summe der Umfänge des Kreises und des Quadrats die Gleichung für die Variablen,

Wir setzen in ein und erhalten

Nun leiten wir die Funktion ab und setzen sie gleich 0, um die Extremwerte zu berechnen,

Mit diesem Wert für gilt: Stück des Kreises: Stück des Quadrats:

Wie immer bei dieser Art von Problemen besteht der letzte Teil der Minimierung darin, die 2. Ableitung zu finden und zu prüfen, ob sie für die gefundenen Werte positiv ist.

Die zu optimierende Funktion ist
Wir setzen die Variablen in Beziehung: Da wir zwei ähnliche Dreiecke haben, erhalten wir

Wir setzen in die Funktion ein:
Wir leiten ab, setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen Wir setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen

Die Grundseite ist also . Wir führen die 2. Ableitung durch, um das Ergebnis zu überprüfen

Für und existiert somit ein relatives Maximum.

Zunächst müssen wir die zu optimierende Funktion finden. Diese Funktion wird durch das Volumen der Schachtel definiert, die als Seiten , und als Höhe hat, so dass unsere Funktion wie folgt lautet:

Beachte, dass bei diesem Problem nur eine Variable betroffen ist, so dass wir direkt zur Ermittlung der lokalen Extrema übergehen können. Wir denken daran, dass wir dazu unsere Funktion ableiten und die resultierende Gleichung gleich 0 setzen müssen.

Diese Gleichung lässt sich mit der allgemeinen Formel lösen:
Daraus erhalten wir die beiden folgenden Lösungen:

Wir stellen fest, dass die Lösung nicht gültig ist, da die Seite negativ wäre. Unser einziges lokales Extremum ist also . Wir berechnen die 2. Ableitung der Funktion und werten für aus. Wir erhalten haben.

Die zu minimierende Funktion ist durch die Fläche der Papieroberfläche gegeben, nämlich

Aus den Bedingungen des Problems müssen wir Gleichungen ableiten, die die Variablen in Beziehung setzen. Da wir an gedrucktem Text haben müssen, können wir sagen, dass
Wenn wir nach auflösen, erhalten wir Wir setzen in die Funktion ein und erhalten

Wir können nun die Funktion ableiten, um die lokalen Extrema zu ermitteln:

Wir setzen die Ableitung gleich 0:
Dies bedeutet, dass wir die Gleichung lösen müssen. Wir stellen fest, dass

Somit sind unsere Lösungen   und  . Die Lösung müssen wir verwerfen, da sie negativ ist. Wir haben also eine einzige Lösung für unser Problem.

Da wir die 2. Ableitung nicht zu berechnen brauchen, können wir daraus schließen, dass und die Papierfläche minimieren.

Wir leiten die monatliche Gewinnfunktion ab und setzen sie gleich 0
Wir berechnen die 2. Ableitung und setzen ein:
Also maximal.

1 Aktueller Ertrag der Plantage:Aktueller Ertrag:

2 Der Ertrag, der sich aus jedem Baum ergibt, wenn mehr Bäume gepflanzt werden: Wenn mehr Bäume gepflanzt werden, beträgt der Ertrag jedes Baumes:

3 Der Ertrag der gesamten Obstanlage, wenn mehr Bäume gepflanzt werden:

4 Wie hoch sollte die Gesamtzahl der Bäume in der Obstplantage sein, um einen maximalen Ertrag zu erzielen? Wir leiten ab und setzen gleich 0: Da die 2. Ableitung negativ ist, gilt: Der maximale Ertrag würde also mit erreicht werden. Der Ertrag wäre maximal, wenn:

Unsere zu optimierende Funktion ist diejenige, die durch die Fläche des Kreissektors definiert ist, wie in der Abbildung zu sehen:

Da der Umfang ist, gilt

Wenn wir in die Funktion einsetzen, haben wir

Nun leiten wir die Funktion ab und setzen sie gleich 0, um einen Extremwert zu erhalten:

Nachdem wir einen Wert für de obtener un valor para erhalten haben, können wir Werte für und bestimmen:

In diesem Fall ist die 2. Ableitung von konstant und negativ: ergeben.