1

Bestimme die Gleichung einer Hyperbel mit dem Brennpunkt , dem Scheitelpunkt und dem Mittelpunkt .

Lösung

1 Da der Mittelpunkt und der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegen, hat die Gleichung folgende Form

Wir berechnen den Wert für , der dem Abstand vom Mittelpunkt bis zu einem der Scheitelpunkte entspricht

2 Wir berechnen den Wert für , der dem Abstand vom Mittelpunkt bis zu einem der Brennpunkte entspricht

3 Wir berechnen den Wert für

4 Die Gleichung der Hyperbel lautet

2

Bestimme die Gleichung und die Exzentrizität der Hyperbel mit den Brennpunkten und , und als Differenz der Ortsvektoren.

Lösung

1 Da sie auf der x-Achse liegen und symmetrisch zum Ursprung sind, liegt der Mittelpunkt bei und die Gleichung lautet wie folgt

Wir berechnen den Wert für , der dem Abstand zwischen dem Mittelpunkt und einem der Brennpunkte entspricht

2 Da die Differenz der Ortsvektoren ist, gilt und somit

3 Wir berechnen den Wert für

4 4 Die Gleichung der Hyperbel lauet

5 Die Exzentrizität ist

3

Bestimme die Koordinaten der Scheitelpunkte und der Brennpunkte, die Gleichungen der Asymptoten und die Exzentrizität der Hyperbel  .

Lösung

1 Als Erstes vereinfachen wir die Gleichung. Dazu dividieren wir beide Seiten durch

Somit gilt und

2 Wir berechnen den Wert für

3 Die Koordinaten der Scheitelpunkte lauten

4 Die Koordinaten der Brennpunkte lauten

5 Die Gleichungen der Asymptoten lauten

6 Die Exzentrizität ist

4

Bestimme die Gleichung der Hyperbel mit dem Brennpunkt , dem Scheitelpunkt und dem Mittelpunkt .

Lösung

1 Da der Mittelpunkt und der Scheitelpunkt auf der y-Achse liegen, hat die Gleichung folgende Form

Wir berechnen den Wert für , der dem Abstand zwischen dem Mittelpunkt und einem der Brennpunkte entspricht

2 Wir berechnen den Wert für , der dem Abstand zwischen dem Mittelpunkt und einem der Brennpunkte entspricht

3 Wir berechnen den Wert für

4 Die Gleichung der Hyperbel lauet

5

Bestimme die Gleichung der Hyperbel mit dem Brennpunkt , dem Scheitelpunkt und dem Mittelpunkt .

Lösung

1 Da der Mittelpunkt und der Scheitelpunkt die gleiche -Koordinate haben, hat die Gleichung folgende Form

Wir berechnen den Wert für , der dem Abstand zwischen dem Mittelpunkt und einem der Scheitelpunkte entspricht

2 Wir berechnen den Wert für , der dem Abstand zwischen dem Mittelpunkt und einem der Brennpunkte entspricht

3 Wir berechnen den Wert für

4 Die Gleichung der Hyperbel lauet

6

Bestimme die Gleichung der Hyperbel mit dem Brennpunkt , dem Scheitelpunkt und dem Mittelpunkt .

Lösung

1 Da der Mittelpunkt und der Scheitelpunkt die gleiche -Koordinate haben, hat die Gleichung folgende Form

Wir berechnen den Wert für , der dem Abstand zwischen dem Mittelpunkt und einem der Scheitelpunkte entspricht

2 Wir berechnen den Wert für , der dem Abstand zwischen dem Mittelpunkt und einem der Brennpunkte entspricht

3 Wir berechnen den Wert für

4 Die Gleichung der Hyperbel lauet

7

Stelle grafisch dar und bestimme die Koordinaten der Brennpunkte, der Scheitelpunkte und die Exzentrizität der folgenden Hyperbeln:

Lösung

1 Für die erste Hyperbel der Gleichung haben wir die Werte für

y

2 Wir berechnen den Wert für

3 Die Hauptachse verläuft horizontal und die Hyperbel hat ihren Mittelpunkt im Ursprung. Daher lauten die Koordinaten der Scheitelpunkte wie folgt

4 Die Koordinaten der Brennpunkte sind

5 Die Exzentrizität ist

6 Grafische Darstellung

8

Stelle grafisch dar und bestimme die Koordinaten der Brennpunkte, der Scheitelpunkte und die Exzentrizität der folgenden Hyperbeln:

Lösung

1 Für die zweite Hyperbel der Gleichung haben wir die Werte für

y

2 Wir berechnen den Wert für

3 Die Hauptachse verläuft vertikal und der Mittelpunkt der Hyperbel liegt im Ursprung. Die Koordinaten der Scheitelpunkte sind also

4 Die Koordinaten der Brennpunkte sind

5 Die Exzentrizität ist

6 Grafische Darstellung

9

Stelle grafisch dar und bestimme die Brennpunkte, die Scheitelpunkte und die Exzentrizität der folgenden Hyperbeln:

Lösung

1 Wir vereinfachen die Gleichung für die erste Hyperbel, indem wir beide Seiten durch dividieren

Wir erhalten aus der Gleichung die Werte für und den Mittelpunkt

und

2 Wir berechnen den Wert für

3 Die Hauptachse verläuft horizontal und der Mittelpunkt der Hyperbel liegt im Ursprung. Die Koordinaten der Scheitelpunkte sind also

4 Die Koordinaten der Brennpunkte sind

5 Die Exzentrizität ist

6 Grafische Darstellung

10

Stelle grafisch dar und bestimme die Brennpunkte, die Scheitelpunkte und die Exzentrizität der folgenden Hyperbeln:

Lösung

1 Für die zweite Gleichung vereinfachen wir die Gleichung, indem wir beide Seiten durch dividieren

Aus der Gleichung erhalten wir die Werte für und den Mittelpunkt

y

2 Wir berechnen den Wert für

3 Die Hauptachse verläuft vertikal und der Mittelpunkt der Hyperbel liegt im Ursprung. Die Koordinaten der Scheitelpunkte sind also

4 Die Koordinaten der Brennpunkte sind

5 Die Exzentrizität ist

6 Grafische Darstellung

11

Stelle grafisch dar und bestimme die Koordinaten der Brennpunkte, der Scheitelpunkte und die Exzentrizität der folgenden Hyperbeln:

Lösung

1 Für die erste Hyperbel vereinfachen wir ihre Gleichung

Aus der Gleichung erhalten wir die Werte für und den Mittelpunkt

und

2 Wir berechnen den Wert für

3 Die Hauptachse verläuft horizontal und der Mittelpunkt der Hyperbel liegt bei . Die Koordinaten der Scheitelpunkte lauten also

4 Die Koordinaten der Brennpunkte sind

5 Die Exzentrizität ist

6 Grafische Darstellung

12

Stelle grafisch dar und bestimme die Koordinaten der Brennpunkte, der Scheitelpunkte und die Exzentrizität der folgenden Hyperbeln:

Lösung

1 Für die zweite Hyperbel vereinfachen wir ihre Gleichung

Aus der Gleichung erhalten wir die Werte für und den Mittelpunkt

und

2 Wir berechnen den Wert für

3 Die Hauptachse verläuft horizontal und der Mittelpunkt der Hyperbel liegt bei . Die Koordinaten der Scheitelpunkte sind also

4 Die Koordinaten der Brennpunkte sind

5 Die Exzentrizität ist

6 Grafische Darstellung

13

Bestimme die Gleichung einer Hyperbel mit horizontaler Achse von und der Brennstrecke .

Lösung

1 Da die Hauptachse entspricht, gilt

2 Für die Brennstrecke gilt , somit

3 Wir berechnen den Wert für

4 Da sich der Mittelpunkt im Ursprung befindet, lautet die Gleichung der Hyperbel

14

Die Hauptachse einer Hyperbel ist und verläuft horizontal, der Mittelpunkt liegt im Ursprung und sie verläuft durch den Punkt . Bestimme ihre Gleichung.

Lösung

1 Für die Hauptachse gilt , somit

2 Die Gleichung der Hyperbel lauet

3 Da die Hyperbel durch den Punkt verläuft, setzen wir ein und berechnen den Wert für

4 Da sich der Mittelpunkt im Ursprung befindet, lautet die Gleichung der Hyperbel

15

Berechne die Gleichung der Hyperbel, deren Mittelpunkt im Ursprung liegt und deren Hauptachse horizontal verläuft. Die Brennstrecke beträgt und der Abstand von einem Brennpunkt zum nächstgelegenen Scheitelpunkt .

Lösung

1 Da die Brennstrecke entspricht, gilt

2 Da der Abstand von einem Brennpunkt zum nächstgelegenen Scheitelpunkt beträgt, gilt

3 Wir berechnen

4 Da sich der Mittelpunkt im Ursprung befindet, lautet die Gleichung der Hyperbel

16

Die Hauptachse einer Hyperbel ist horizontal und misst , die Exzentrizität ist . Berechne die Gleichung der Hyperbel.

Lösung

1 Da die Hauptachse ist, gilt

2 Da die Exzentrizität ist, gilt

3 Wir berechnen

4 Da sich der Mittelpunkt im Ursprung befindet, lautet die Gleichung der Hyperbel

17

Berechne die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel mit der Brennstrecke .

Lösung

1 Da die Brennstrecke ist, gilt

2 Da die Hyperbel gleichseitig ist, gilt und somit

3 Da sich der Mittelpunkt im Ursprung befindet, lautet die Gleichung der Hyperbel

18

Die Nebenachse einer Hyperbel verläuft vertikal und misst . Die Gleichungen der Aymptoten sind . Berechne die Gleichung der Hyperbel, ihre Achsen, Brennpunkte und Scheitelpunkte.

Lösung

1 Für die Nebenachse gilt . Somit

2 Die Steigung der Asymptoten beträgt . Somit

3 Wir berechnen

4 Da sich der Mittelpunkt im Ursprung befindet, lautet die Gleichung der Hyperbel

5 Die Koordinaten der Scheitelpunkte sind

6 Die Koordinaten der Brennpunkte lauten

19

Bestimme die Gleichung der Hyperbel mit horizontaler Hauptachse, deren Mittelpunkt im Ursprung liegt und die durch die Punkte und verläuft.

Lösung

1 Die Gleichung der Hyperbel hat die Form

2 Da die Hyperbel durch die Punkte und verläuft, erhalten wir durch Substitution ein Gleichungssystem in Form von und

3 Die Gleichung der Hyperbel lauet

20

Bestimme die Gleichung der Hyperbel mit horizontaler Hauptachse, deren Mittelpunkt im Ursprung liegt, die durch den Punkt  verläuft und deren Exzentrizität ist.

Lösung

1 Die Gleichung der Hyperbel hat die Form

2 Da die Hyperbel durch den Punkt verläuft, setzen wir ein und erhalten

3 Für die Exzentrizität gilt und . Wir setzen wir ein und erhalten

4 Wir haben ein Gleichungssystem, aus dem sich Folgendes ergibt

5 Die Gleichung der Hyperbel lautet

21

Bestimme die Gleichung der Hyperbel, deren Mittelpunkt im Ursprung liegt und deren Hauptachse horizontal verläuft. Außerdem beträgt der Abstand zwischen einem Brennpunkt und den Scheitelpunkten der Hyperbel und .

Lösung

1 Aus den angegegeben Werten ergibt sich für die Hauptachse . Somit gilt

2 Die Brennstrecke entspricht . Somit gilt

3 Wir berechnen den Wert für

4 Da sich der Mittelpunkt im Ursprung befindet, lautet die Gleichung der Hyperbel

22

Bestimme die relative Lage der Geraden in Bezug auf die Hyperbel .

Lösung

1 Wir bestimmen die Schnittpunkte der beiden Kurven. Hierzu bestimmen wir die Variable der Geraden und setzen in die Hyperbel ein

Wir erhalten und

2 Wir setzen die Werte für in die Gleichung der Geraden ein und erhalten die Schnittpunkte

3 Grafische Darstellung

23

Eine gleichseitige Hyperbel verläuft durch den Punkt . Bestimme ihre Gleichung mit den Asymptoten als Achsen und die Koordinaten der Scheitelpunkte.

Lösung

1 Wir bestimmen die Gleichung der Hyperbel. Hierzu multiplizieren wir . Somit lautet die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel

2Da die Hyperbel gleichseitig ist, ist die Gerade, die auf der Hauptachse liegt. Die Scheitelpunkte erhalten wir durch das Lösen der Gleichungssysteme

3 Grafische Darstellung

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Katrin S.

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.