Kapitel
Bestimme die Punkte
Gegeben ist die Parabel
. Bestimme die Punkte, in denen die Tangente parallel zur Winkelhalbierenden des 1. Quadranten ist. Bestimme außerdem die Gleichung der Tangente und der Normalen an diesen Punkten.
1 Punkte bestimmen
Die Winkelhalbierende des 1. Quadranten hat die Gleichung 
und somit ist 
.
Wir leiten die Gleichung der Parabel ab, da uns die Ableitung die Steigung angibt
wir setzen gleich 
und lösen nach x auf
Wir werten an diesem Punkt 
die ursprüngliche Funktion aus
Somit
2 Tangente
3 Normale
Gegeben ist die Kurve mit der Gleichung 
. Bestimme die Koordinaten der Punkte auf dieser Kurve, an denen die Tangente mit der 
-Achse einen Winkel von 
bildet.
Zunächst muss man wissen, dass die Steigung einer Geraden gleich dem Tangens des Winkels ist, den sie mit der -Achse bildet.
Das heißt 
Die Ableitung von 
gibt die Steigung der Tangente an
Da die Tangente einen Winkel von mit der -Achse bilden soll, muss die Steigung einen Wert von 
haben
Somit
Wir bestimmen
Durch die Ermittlung des Wertes von x haben wir die x-Achse erhalten.Um den Wert der Ordinate zu bestimmen, werten wir den Punkt 
in der ursprünglichen Funktion aus
Zum Schluss
Berechne die Punkte, an denen die Tangente der Kurve 
parallel zur -Achse verläuft.
Parallele Geraden haben dieselbe Steigung. Die Steigung der -Achse ist null. Die Tangente an der Kurve soll also dann die Steigung null haben. Es muss gelten
Wir vereinfachen und erhalten die Gleichung
Wir lösen und prüfen die Lösungen in der Funktion 
Schließlich lauten die Punkte, an denen die Tangente der Kurve parallel zur -Achse ist:
Es wurde eine Tangente an die Kurve 
gezeichnet, deren Steigung 
ist und die durch den Punkt 
verläuft. Bestimme den Berührungspunkt.
Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente der Kurve an
Wir sehen, dass die Steigung ist und somit
Wir lösen
Wir erhalten die Gleichung der Tangente an diesen Punkten
1 Abszisse x=1
2 Abszisse x=-1
Der Punkt 
gehört jedoch nur zu der Geraden 
.
Der Berührungspunkt ist somit 
Ermittele die Punkte der Kurve 
an denen die Tangente einen Winkel von mit der -Achse bildet.
1 Abszissen ermitteln
Wir denken daran, dass die Steigung einer Geraden gleich dem Tangens des Winkels ist, den sie mit der -Achse bildet.
Das heißt
Die Ableitung von gibt uns die Steigung der Tangente an
Da die Tangente einen Winkel von mit der -Achse bilden soll, muss die Steigung betragen.
Somit
Wir bestimmen
Wir klammern ein x aus
Eine Lösung ist
Die anderen Lösungen erhalten wir durch
2 Ordinaten ermitteln
Wir überprüfen die Punkte in der usprünglichen Funktion
Zum Schluss
An welchem Punkt der Kurve 
ist die Tangente parallel zur Sehne, die die Punkte (1, 0) und (e, 1) verbindet?
Die Steigung der Sehne muss gleich der Ableitung der Funktion sein.
Somit
Wir setzen diesen Punkt in ein, um die Ordinate zu ermitteln zu können
Zum Schluss
Berechne die Gleichung der Geraden
Berechne die Gleichung der Tangente und der Normalen der Kurve 
im Punkt auf der x-Achse: 
.
1
Die Steigung ermitteln
Wir leiten die Funktion ab, da uns die Ableitung die Steigung der Tangente angibt
Wir rechnen mit 
Die Koordinaten des Berührungspunktes ermitteln
Wie werten die ursprüngliche Funktion an diesem Punkt 
aus, um die y-Achse zu erhalten
Die Gleichung der Tangente ermitteln
2 Normale
Gegeben ist die Gleichung 
. Bestimme die Gleichung der Tangente, die parallel zur Geraden mit der Gleichung 
ist.
Die Gleichung , wenn wir nach auflösen, kann auch wie folgt geschrieben werden
Durch implizite Ableitung der Gleichung erhalten wir:
Und da uns die Ableitung die Steigung der Tangente angibt, setzen wir gleich 3
Wir erhalten ein Gleichungssystem mit 2x2
Wir lösen, indem wir die zweite Gleichung in die erste Gleichung einsetzen
Um die Ordinate der Punkte zu erhalten, setzt man einfach den Wert von 
in die einfachste Gleichung des Systems ein
Wir erhalten die Gleichung der Geraden an diesen Punkten
1 x=1
2 x=-1
Bestimme die Parameter
Bestimme die Werte des Parameters b, sodass die Tangenten an der Funktionskurve 
an den Punkten auf der x-Achse 
, 
parallel sind.
Die Ableitung von ist
Damit sie parallel sind, müssen die Ableitungen bei und gleich sein. Das heißt
Also
Eine Lösung ist
Die andere Lösung ist
Ermittle die Koeffizienten der Gleichung 
, wobei du weißt, dass ihr Graph durch 
und 
verläuft und die Steigung der Tangente an diesem letzten Punkt ist.
Wir erhalten 
Gleichungen, wenn wir den Wert der Abszisse in einsetzen und gleich dem Wert der Ordinate der Punkte, die durch den Graphen gehen, setzen
Außerdem ist die Steigung der Tangente gegeben durch
Wenn die Steigung im Punkt 3 ist, bedeutet das
Wir lösen das Gleichungssystem (3x3) und erhalten:
Die Gleichung lautet wie folgt
Der Graph der Funktion verläuft durch die Punkte 
und 
, wobei die Tangente am Punkt auf der x-Achse parallel zur Winkelhalbierenden des 1. Quadranten ist. Bestimme den numerischen Wert von 
und 
.
Wir erhalten Gleichungen, wenn wir die Werte der x-Achse einsetzen und gleich dem Wert der Ordinate der Punkte, die durch den Graphen gehen, gleichsetzen
Außerdem ist die Steigung der Tangente gegeben durch
Wenn die Steigung im Punkt parallel zur Winkelhalbierenden ist, bedeutet das für die Steigung 
Wir lösen das Gleichungssystem und erhalten:
Die Gleichung lautet wie folgt
Gegeben ist die Funktion 
. Bestimme 
und 
; die Kurve verläuft dabei durch die Punkte 
. Außerdem sind die Tangenten an den Punkten der x-Achse und 
parallel zur -Achse.
Wir erhalten Gleichungen, wenn wir den Wert der Abszisse in einsetzen und ihn mit dem Wert der Ordinate der durch den Graphen verlaufenden Punkte gleichsetzen.
Außerdem ist die Steigung der Tangente gegeben durch
Wenn die Steigung am Punkt parallel zur Winkelhalbierenden des Quadranten ist, bedeutet das für die Steigung
Wir lösen das System (
) und erhalten:
Wir erhalten folgende Gleichung
Bestimme den Winkel oder die Fläche
Gegeben ist die Funktion 
. Bestimme den Winkel, den die Tangente am Graphen der Funktion im Ursprung mit der x-Achse bildet.
Die Tangente hat die Steigung
Im Ursprung ist diese Steigung
Wir denken daran, dass die Steigung einer Geraden gleich dem Tangens des Winkels ist, den sie mit der Achse bildet.
Somit
Bestimme die Fläche des Dreiecks, das durch die Koordinatenachsen und die Tangente an der Kurve 
am Punkt bestimmt wird.
Wenn 
, ist 
Die Steigung der Tangente ist gegeben durch die Ableitung
Wir ermitteln die Steigung bei
Die Ordinate erhalten wir anhand der usprünglichen Funktion
Zum Schluss
Schnittpunkt mit der Achse OX
Ein Schnittpunkt ist 
Schnittpunkt OY
Der andere Schnittpunkt ist 
Und so sieht die Abbildung aus
Da das Dreieck rechtwinklig ist, sind seine Basis und Höhe durch die Katheten gegeben. Diese messen in diesem Fall jeweils . Die Fläche ist
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