In diesem Artikel geht es um bestimmte Merkmale trigonometrischer Funktionen, wie ihre Graphen, ihre Definitionsbereiche, Kontinuität usw.
Sinus
Begonnen wird mit der Sinusfunktion
diese Funktion hat den folgenden Graphen:
Beachte, dass diese Funktion für alle reellen Zahlen wohldefiniert ist, ihr Bereich ist also die reellen Zahlen 
. Dies bedeutet, dass
Die Bildmenge (oder einfach Bild oder Pfad) einer Funktion ist die Menge der Werte, die die Funktion annimmt, nachdem sie auf alle Elemente des Bereichs angewendet wurde. In diesem Fall ist es klar, dass die Bildmenge das geschlossene Intervall 
ist, also
Eine weitere wichtige Eigenschaft der Sinusfunktion ist, dass sie periodisch ist, d. h. es gibt eine reelle Zahl 
, für die gilt
in diesem Fall ist die Periode 
im Bogenmaß.
Aus dem Graphen ist auch ersichtlich, dass die Funktion für alle 
stetig ist, denn egal, von wo aus man sich einem Punkt des Graphen nähert, ob von links oder von rechts, man kommt immer an denselben Punkt
Schließlich ist zu beachten, dass die Funktion ungerade ist, d. h. für alle gilt
Zusammenfassend lässt sich also Folgendes feststellen:
1 Bereich: .
2 Bildmenge: .
3 Periode: .
4 Stetig: In seinem gesamten Bereich .
5 Ungerade Funktion
Kosinus
Jetzt geht es weiter mit der Kosinusfunktion
diese Funktion hat den folgenden Graphen:
Beachte, dass diese Funktion für alle reellen Zahlen wohldefiniert ist, ihr Bereich ist also die reellen Zahlen . Dies bedeutet, dass
Die Bildmenge (oder einfach Bild oder Pfad) einer Funktion ist die Menge der Werte, die die Funktion annimmt, nachdem sie auf alle Elemente des Bereichs angewendet wurde. In diesem Fall ist es klar, dass das Bild das geschlossene Intervall ist, also
Eine weitere wichtige Eigenschaft der Kosinusfunktion ist, dass sie periodisch ist, d. h. es gibt eine reelle Zahl , für die gilt
in diesem Fall ist die Periode im Bogenmaß.
Aus dem Graphen ist auch ersichtlich, dass die Funktion für alle stetig ist, denn egal, von wo aus man sich einem Punkt des Graphen nähert, ob von links oder von rechts, man kommt immer an denselben Punkt.
Schließlich ist zu beachten, dass die Funktion geradzahlig ist, d. h. für alle ist erfüllt, dass
Zusammenfassend lässt sich also Folgendes feststellen:
1 Bereich: .
2 Bildmenge: .
3 Periode: .
4 Stetig: In seinem gesamten Bereich .
5 Gerade Funktion
Tangens
Zuletzt gibt es die Tangensfunktion
diese Funktion hat den folgenden Graphen:
Beachte, dass diese Funktion für fast jede reelle Zahl gut definiert ist. Hier erfährst Du, warum sie nicht für jede reelle Zahl definiert ist. Die Tangensfunktion ist wie folgt definiert.
Da die Division durch Null undefiniert ist, ist die Tangensfunktion undefiniert, sobald 
ist, und das geschieht für alle 
der Form
wobei 
ganz ist. Der Tangensbereich ist also
Die Bildmenge (oder einfach Bild oder Pfad) einer Funktion ist die Menge der Werte, die die Funktion annimmt, nachdem sie auf alle Elemente des Bereichs angewendet wurde. In diesem Fall, wenn wir das Bild betrachten, ist es klar, dass die Bildmenge die ganze Menge der Realen ist, d.h. , also
Eine weitere wichtige Eigenschaft der Tangensfunktion ist, dass sie periodisch ist, d. h. es gibt eine reelle Zahl , für die gilt
in diesem Fall ist die Periode 
Bogenmaß.
Aus dem Graphen ist auch ersichtlich, dass die Funktion für alle 
stetig ist, denn egal, wo Du Dich einem Punkt auf dem Graphen näherst, ob von links oder von rechts, Du kommst immer an denselben Punkt.
Schließlich ist zu beachten, dass die Funktion ungerade ist, d. h. für alle ist erfüllt, dass
Zusammenfassend lässt sich also Folgendes feststellen:
1 Bereich: 
.
2 Bildmenge: .
3 Periode: .
4 Stetig: In seinem gesamten Bereich, aber nicht in allen .
5 Ungerade Funktion
Kosekans
Betrachte nun die Funktion des Kosekans
diese Funktion hat den folgenden Graphen:
Beachte, dass diese Funktion für alle reellen Zahlen wohldefiniert ist. Um zu verstehen, warum sie nicht für alle definiert ist, sei daran erinnert, dass die Kosekansfunktion der Kehrwert der Sinusfunktion ist, d. h.
Da die Division durch Null nicht wohldefiniert ist, ist die Kosekans für Werte von , bei denen der Sinus gleich Null ist, nicht definiert; diese Werte sind 
, wobei eine ganze Zahl ist. Daher ist der Bereich der Kosekans
Die Bildmenge (oder einfach Bild oder Pfad) einer Funktion ist die Menge der Werte, die die Funktion annimmt, nachdem sie auf alle Elemente des Bereichs angewendet wurde. In diesem Fall erinnern wir uns zunächst daran, dass das Bild des Sinus . ist. Du betrachtest im Folgenden zwei Fälle: zum einen, wenn sich das Sinusbild in 
befindet, und zum anderen, wenn sich das Sinusbild in 
befindet.
Beginnst Du mit , so ist klar, dass
Mit ist es nun klar, dass
Das Bild der Kosekans ist also die Vereinigung der Bilder dieser beiden Fälle
Eine weitere wichtige Eigenschaft der Kosekansfunktion ist, dass sie periodisch ist, d. h. es gibt eine reelle Zahl , für die gilt
in diesem Fall ist die Periode Bogenmaß.
Aus dem Graphen ist auch ersichtlich, dass die Funktion für alle stetig ist, denn egal, wo Du Dich einem Punkt auf dem Graphen näherst, ob von links oder von rechts, Du kommst immer an denselben Punkt.
Schließlich ist zu beachten, dass die Funktion ungerade ist, d. h. für alle ist erfüllt, dass
Zusammenfassend lässt sich also Folgendes feststellen:
1 Bereich: 
.
2 Bildmenge: 
.
3 Periode: .
4 Stetig: In seinem gesamten Bereich, aber nicht in .
5 Ungerade Funktion
Sekans
Betrachte nun die Sekansfunktion
diese Funktion hat den folgenden Graphen:
Du stellst fest, dass diese Funktion für alle reellen Zahlen wohldefiniert ist. Um zu verstehen, warum sie nicht für alle definiert ist, sei daran erinnert, dass die Sekansfunktion der Kehrwert der Kosinusfunktion ist, d. h.
Da die Division durch Null nicht wohldefiniert ist, ist die Sekans für Werte von , bei denen der Kosinus Null ist, nicht definiert; diese Werte sind 
, wobei eine ganze Zahl ist. Daher ist der Bereich des Sekans
Die Bildmenge (oder einfach Bild oder Pfad) einer Funktion ist die Menge der Werte, die die Funktion annimmt, nachdem sie auf alle Elemente des Bereichs angewendet wurde. In diesem Fall solltest Du Dich zunächst daran erinnern, dass das Kosinusbild ist. Du wirst nun zwei Fälle betrachten: zum einen, wenn das Kosinusbild bei liegt, und zum anderen, wenn das Kosinusbild bei liegt.
Beginnst Du mit , so ist klar, dass
Mit ist es nun klar, dass
Daher ist das Bild des Sekans die Vereinigung der Bilder dieser beiden Fälle
Eine weitere wichtige Eigenschaft der Sekansfunktion ist, dass sie periodisch ist, d. h. es gibt eine reelle Zahl , für die gilt
in diesem Fall ist die Periode im Bogenmaß.
Aus dem Graphen ist auch ersichtlich, dass die Funktion für alle stetig ist, denn egal, wo Du Dich einem Punkt auf dem Graphen näherst, ob von links oder von rechts, Du kommst immer an denselben Punkt.
Schließlich ist zu beachten, dass die Funktion gerade ist, d. h. für alle ist erfüllt, dass
Zusammenfassend lässt sich also Folgendes feststellen:
1 Bereich: 
.
2 Bildmenge: .
3 Periode: .
4 Stetig: In seinem gesamten Bereich, aber nicht in .
5 Gerade Funktion
Kotangens
Betrachte nun die Kotangensfunktion
diese Funktion hat den folgenden Graphen:
Beachte, dass diese Funktion für alle reellen Zahlen wohldefiniert ist. Um zu verstehen, warum sie nicht über alle definiert ist, sei daran erinnert, dass die Kotangensfunktion definiert ist als
Da die Division durch Null nicht gut definiert ist, ist der Kotangens für Werte von bei denen der Sinus gleich Null ist, nicht definiert; diese Werte sind , wobei eine ganze Zahl ist. Daher ist der Kotangensbereich
Die Bildmenge (oder einfach Bild oder Pfad) einer Funktion ist die Menge der Werte, die die Funktion annimmt, nachdem sie auf alle Elemente des Bereichs angewendet wurde. In diesem Fall ist es klar, dass das Bild wie bei der Tangente alle reellen Zahlen sind, d. h.
Ein weiteres wichtiges Merkmal der Kotangensfunktion ist, dass sie periodisch ist, d. h. es gibt eine reelle Zahl , für die gilt
in diesem Fall ist die Periode Bogenmaß.
Aus dem Graphen ist auch ersichtlich, dass die Funktion für alle stetig ist, denn egal, wo Du Dich einem Punkt auf dem Graphen näherst, ob von links oder von rechts, Du kommst immer an denselben Punkt.
Schließlich ist zu beachten, dass die Funktion ungerade ist, d. h. für alle ist erfüllt, dass
Zusammenfassend lässt sich also Folgendes feststellen:
1 Bereich: .
2 Bildmenge: .
3 Periode: .
4 Stetig: In seinem gesamten Bereich, aber nicht in .
5 Ungerade Funktion
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