Die Elemente der Ellipse bestimmen
Stelle grafisch dar und bestimme die Koordinaten der Brennpunkte, der Schnittpunkte und die Exzentrizität der folgenden Ellipsen.
1 Hauptachse
Die Ellipsengleichung liegt bereits in Normalform vor, sodass wir den Wert der großen Halbachse ermitteln können.
Somit können wir die Scheitelpunkte bestimmen, die die Hauptachse bilden
2 Nebenachse
Somit ist der Wert der kleinen Halbachse
Die Scheitelpunkte, die auf der Nebenachse liegen, sind also
3 Brennpunkte
Zuletzt berechnen wir den Wert der linearen Exzentrizität
Damit können wir die Brennpunkte bestimmen
4 Exzentrizität
Die Exzentrizität ist gleich dem Quotienten der linearen Exzentrizität und der großen Halbachse
5 Grafik
1 Die Normalform erhalten
2 Hauptachse
Wir erhalten den Wert der großen Halbachse
Damit ermitteln wir die Scheitelpunkte, die die Hauptachse bilden
3 Nebenachse
Somit ist der Wert der kleinen Halbachse
Die Scheitelpunkte, die auf der Nebenachse liegen, sind also
4 Brennpunkte
Zuletzt berechnen wir den Wert der linearen Exzentrizität
Damit können wir die Brennpunkte bestimmen
5 Exzentrizität
Die Exzentrizität ist gleich dem Quotienten der linearen Exzentrizität und der großen Halbachse
6 Grafik
1 Hauptachse
Die Ellipsengleichung liegt bereits in kanonischer Form vor, sodass wir den Wert der großen Halbachse bestimmen können
Damit ermitteln wir die Scheitelpunkte, die die Hauptachse bilden
2 Nebenachse
Somit ist der Wert der kleinen Halbachse
Die Scheitelpunkte, die auf der Nebenachse liegen, sind also
3 Brennpunkte
Zuletzt berechnen wir den Wert der linearen Exzentrizität
Damit können wir die Brennpunkte bestimmen
4 Exzentrizität
Die Exzentrizität ist gleich dem Quotienten der linearen Exzentrizität und der großen Halbachse
5 Grafik
1 Die Normalform erhalten
2 Hauptachse
Die Ellipsengleichung liegt bereits in der Normalform vor, sodass wir den Wert der großen Halbachse bestimmen können
Damit ermitteln wir die Scheitelpunkte, die die Hauptachse bilden
3 Nebenachse
Somit ist der Wert der kleinen Halbachse
Die Scheitelpunkte, die auf der Nebenachse liegen, sind also
4 Brennpunkte
Zuletzt berechnen wir den Wert der linearen Exzentrizität
Damit können wir die Brennpunkte bestimmen
5 Exzentrizität
Die Exzentrizität ist gleich dem Quotienten der linearen Exzentrizität und der großen Halbachse
6 Grafik
1 Die Normalform erhalten
Wir ergänzen das Trinom zum vollständigen Quadrat
Wir ersetzen die Trinome durch Binome zum Quadrat
Wir dividieren durch 4
2 Mittelpunkt
Aus der Normalform der Ellipsengleichung ergibt sich der Mittelpunkt
3 Hauptachse
Die Ellipsengleichung liegt bereits in der Normalform vor, sodass wir den Wert der großen Halbachse bestimmen können
Damit ermitteln wir die Scheitelpunkte, die die Hauptachse bilden
4 Nebenachse
Der Wert der kleinen Halbachse ist
Die Scheitelpunkte, die auf der Nebenachse liegen, sind also
5 Brennpunkte
Zuletzt berechnen wir den Wert der linearen Exzentrizität
Damit können wir die Brennpunkte bestimmen
6 Grafik
1 Die Normalform erhalten
Wir ergänzen das Trinom zum vollständigen Quadrat
Wir ersetzen die Trinome durch Binome zum Quadrat
Wir dividieren durch 225
2 Mittelpunkt
Aus der Normalform der Ellipsengleichung ergibt sich der Mittelpunkt
3 Hauptachse
Die Ellipsengleichung liegt bereits in der Normalform vor, sodass wir den Wert der großen Halbachse bestimmen können
Damit ermitteln wir die Scheitelpunkte, die die Hauptachse bilden
4 Nebenachse
Der Wert der kleinen Halbachse ist
Die Scheitelpunkte, die auf der Nebenachse liegen, sind also
5 Brennpunkte
Zuletzt berechnen wir den Wert der linearen Exzentrizität
Damit können wir die Brennpunkte bestimmen
6 Grafik
1 Die Normalform erhalten
Wir ergänzen das Trinom zum vollständigen Quadrat
Wir ersetzen die Trinome durch Binome zum Quadrat
Wir dividieren durch 12
2 Mittelpunkt
Aus der Normalform der Ellipsengleichung ergibt sich der Mittelpunkt
3 Hauptachse
Die Ellipsengleichung liegt bereits in der Normalform vor, sodass wir den Wert der großen Halbachse bestimmen können
Somit bestimmen wir die Scheitelpunkte, die die Hauptachse bilden
4 Nebenachse
Der Wert der kleinen Hauptachse ist
Die Scheitelpunkte, die auf der Nebenachse liegen, sind also
5 Brennpunkte
Zuletzt berechnen wir den Wert der linearen Exzentrizität
Damit können wir die Brennpunkte bestimmen
6 Grafik
1 Die Normalform erhalten
Wir ergänzen das Trinom zu einem vollständigen Quadrat
Wir ersetzen die Trinome durch Binome zum Quadrat
Wir dividieren durch 9
1 Mittelpunkt
Aus der Normalform der Ellipsengleichung ergibt sich der Mittelpunkt
3 Hauptachse
Die Ellipsengleichung liegt bereits in der Normalform vor, sodass wir den Wert der großen Halbachse bestimmen können
Somit können wir die Scheitelpunkte bestimmen, die die Hauptachse bilden
4 Nebenachse
Der Wert der kleinen Halbachse ist
Die Scheitelpunkte, die auf der Nebenachse liegen, sind also
5 Brennpunkte
Zuletzt berechnen wir den Wert der linearen Exzentrizität
Damit können wir die Brennpunkte bestimmen
6 Grafik
Bestimme die Ellipsengleichung
Bestimme die Ellipsengleichung. Folgende Punkte sind bekannt:
1
Der Wert für 
ist die Distanz vom Mittelpunkt bis zum Scheitelpunkt A. Der Wert für 
ist die Distanz zwischen dem Mittelpunkt und dem Brennpunkt. Somit gilt:
Die Werte , 
und stehen in einem pythagoreischen Verhältnis, das heißt
Wir formen entsprechend um, um den Wert für zu berechnen
Wir stellen fest, dass
2
Der Wert für ist die Distanz zwischen dem Mittelpunkt und dem Scheitelpunkt A. Der Wert für ist die Distanz zwischen dem Mittelpunkt und dem Brennpunkt. Somit gilt:
Die Werte , und stehen in einem pythagoreischen Verhältnis, das heißt
Wir formen entsprechend um, um den Wert für zu berechnen
Wir stellen fest, dass
3
Der Wert für ist die Distanz zwischen dem Mittelpunkt und dem Scheitelpunkt A. Der Wert für ist die Distanz zwischen dem Mittelpunkt und dem Brennpunkt. Somit gilt:
Die Werte , und stehen in einem pythagoreischen Verhältnis, das heißt
Wir formen entsprechend um, um den Wert für zu berechnen
Wir stellen fest, dass
4
Der Wert für ist die Distanz zwischen dem Mittelpunkt und dem Scheitelpunkt A. Der Wert für ist die Distanz zwischen dem Mittelpunkt und dem Brennpunkt. Somit gilt:
Die Werte , und stehen in einem pythagoreischen Verhältnis, das heißt
Wir formen entsprechend um, um den Wert für zu berechnen
Wir stellen fest, dass
Schreibe die Normalform der Ellipsengleichung mit dem Mittelpunkt im Ursprungspunkt, die durch den Punkt 
verläuft und deren Nebenachse die Länge 
hat und sich auf der 
-Achse befindet.
Die Länge der Nebenachse beträgt 
Der Mittelpunkt liegt im Ursprungspunkt und die Nebenachse auf der y-Achse. Deshalb hat die Normalgleichung folgende Form
Da der Punkt (2,1) auf der Ellipse liegt, erfüllen die Koordinaten die Gleichung in der Normalform
Wir formen entsprechend um, um den Wert für zu bestimmen
Da die Werte und bekannt sind, kommen wir zu dem Schluss, dass
Die Brennstrecke einer Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprungspunkt beträgt . Ein Punkt der Ellipse ist von ihren Brennpunkten 
bzw. 
entfernt. Berechne die Normalform dieser Ellipse, wenn die Hauptachse auf der 
-Achse liegt.
Die Brennstrecke entspricht dem Wert für 
Wir erinnern uns daran, dass die Summe der Abstände zwischen einem Punkt auf der Ellipse und den Brennpunkten gleich 
ist
Die Werte , und stehen in einem pythagoreischen Verhältnis, das heißt
Wir formen entsprechend um, um den Wert für zu bestimmen
Da die Werte für und bekannt sind, kommen wir zu dem Schluss, dass
Schreibe die Normalform der Gleichung der Ellipse, die durch folgende Punkte verläuft:
Die Ellipse verläuft durch die Punkte: . Somit erfüllen ihre Koordinaten die Normalform der Ellipsengleichung. Das heißt
Wir lösen das System
Dann
Wir bestimmen
Schließlich
Bestimme die Normalform der Ellipsengleichung mit dem Mittelpunkt im Ursprungspunkt und der Hauptachse auf der -Achse, deren Brennstrecke 
beträgt. Die Fläche des Rechtecks, dessen Seiten die gleichen Maße wie die Achsen (Haupt- und Nebenachsen) haben, beträgt 
u².
Da die Seiten des Rechtecks die Achsen sind und ihre Längen und entsprechen, gilt
Die Brennstrecke entspricht
Die Werte , und stehen in einem pythagoreischen Verhältnis, das heißt
Daraus ergibt sich ein System aus zwei Gleichungen
Mit der ersten Gleichung ermitteln wir 
und mit der zweiten
Wir nehmen aus der zweiten Gleichung, und setzen es in die erste Gleichung ein
Wir lösen auf
Wir lösen mit der allgemeinen Formel und erhalten den Wert für
Da die Werte und bekannt sind, kommen wir zu dem Schluss, dass
Bestimme die Koordinaten
Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts der Sehne, die die folgende Gleichung schneidet: 
in der Ellipsengleichung: 
.
1 Bestimme die Schnittpunkte
Die Schnittpunkte sind diejenigen, die das Gleichungssystem der Geraden und der Ellipse lösen.
Zur Lösung können wir 
aus der ersten Gleichung entfernen und quadrieren. Wir entfernen auch 
in der zweiten Gleichung
Wir setzen beide Gleichungen gleich
Um die Lösungen zu bestimmen, wenden wir die allgemeine Formel an
Die Lösungen für die Koordinate 
sind
Die Koordinaten werden mithilfe eines Gleichungssystems berechnet. In diesem Fall nutzen wir
Die Schnittpunkte sind also gegeben durch
2 Den Mittelpunkt ermitteln
Der Mittelpunkt zwischen den Punkten A und B ist gegeben durch
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