Aufgaben mit Lösungen zu abschnittsweise definierten Funktionen

Wir stellen fest, dass wir im Intervall — also auf der rechten Seite der Ebene — die Funktion haben.

Im Intervall auf der anderen Seite — linke Seite der Ebene — haben wir die Funktion .

Daher sieht der Graph wie in der folgenden Abbildung aus:

Wie oben erwähnt, ist die Funktion definiert für und . Die Definitionsmenge ist also

Andererseits können wir aus der Abbildung ersehen, dass die Wertemenge wie folgt ist

Beachte, dass die Funktion für vier verschiedene Bereiche definiert ist. Als Erstes hat sie für das Intervall den Wert

1. Für das Intervall hat sie den Wert und so weiter.

Daher sieht der Graph wie in der folgenden Abbildung aus:

Die Definitionsmenge ist

Die Wertemenge ist

Wenn wir die Ausdrücke für die einzelnen Bereiche einzeichnen, ergibt sich folgender Graph:

Außerdem ist die Definitionsmenge gegeben durch

Die Wertemenge ist gegeben durch

Beachte, dass die Vorzeichenfunktion ist, die wie folgt definiert ist

Der Graph ist somit durch folgende Abbildung gegeben:

Außerdem ist die Definitionsmenge

Die Wertemenge ist

Beachte, dass die Abrundungsfunktion ist und als die größte ganze Zahl definiert ist, sodass . Zum Beispiel:

1

2

3

4

Daher sieht der Graph wie folgt aus:

Die Definitionsmenge der Funktion ist

Die Wertemenge ist

Von jedem subtrahieren wir , welcher der ganzzahlige Teil ist. Das Ergebnis von ist der Dezimalteil von . Der Graph sieht daher wie folgt aus:

Wir stellen außerdem fest, dass Folgendes erfüllt ist

Die Definitionsmenge ist gegeben durch und die Wertemenge durch

Wir stellen fest, dass diese Funktion genau dieselbe ist wie die vorhergehende, jedoch wird hier 1 addiert. Der Graph sieht also wie folgt aus

Die Definitionsmenge ist dieselbe, nämlich ; die Wertemenge ist jedoch

Diese Funktion kann als betrachtet werden. Daher wird die Funktion des Dezimalteils von mit addiert. Es ergibt sich folgender Graph:

Und die Definitionsmenge ist ebenfalls ; die Wertemenge ist nun aber (was aus der Abbildung ersichtlich ist).

Nun dividieren wir zunächst durch 2 und erhalten dann den ganzzahligen Teil. Es handelt sich also um eine Art "Skalierung" der Abrundungsfunktion. Es ist, als ob wir den Graphen horizontal strecken würden.

Der Graph sieht wie folgt aus:

Die Definitionsmenge und die Wertemenge sind jedoch dieselben wie bei der Abrundungsfunktion.:

und

ist die abschnittsweise definierte Funktion. Die Funktionen , etc. sind Hilfsfunktionen, die in Teilen der Definitionsmenge definiert sind.

1 Zunächst stellen wir fest, dass wir im Intervall eine Gerade mit negativer Steigung haben. Es handelt sich um folgende Funktion:

2 Außerdem ist .

3 Wir haben im Intervall die Funktion .

4 Die Funktion ist im Intervall nicht definiert.

5 Und im Intervall ist die Funktion konstant:

Die Funktion ist also gegeben durch