Aufgaben zur Darstellung von algebraischen Funktionen

Definitionsbereich: Wir denken daran, dass wir je nach Art der Funktion den Definitionsbereich bestimmen können. In diesem Fall ist este caso eine Polynomfunktion und ihr Definitionsbereich sind somit alle reellen Zahlen:
Symmetrie: Um die Symmetrie zu überprüfen, untersuchen wir zunächst die Funktion für aus und erhalten 3 mögliche Fälle:
1 Eine gerade Funktion, wenn ,
2 Eine ungerade Funktion, wenn ,
3 oder nicht anwendbar, wenn wir nicht zur Ausgangsfunktion zurückkehren. In diesem Fall Daher haben wir eine Symmetrie zum Ursprung, d.h. eine ungerade Funktion

Schnittpunkte mit den Achsen

Schnittpunkt mit der -Achse:

Wir haben einen Schnittpunkt mit dieser Achse, wenn . Wir beginnen also, indem wir gleich 0 setzen

Daher erhalten wir 0, wenn

Daraus folgt, dass die Schnittpunkte mit der -Achse wie folgt sind:

Schnittpunkt mit der -Achse:

Wir haben Schnittpunkte mit dieser Achse, wenn . Somit:

.

Deshalb ist der Schnittpunkt mit der -Achse:

Asymptoten

Um die Asymptoten zu finden, müsste man einen Punkt finden, sodass .

In diesem Fall haben wir eine Polynomfunktion, die keine Asymptoten hat.

Monotonieverhalten

Um zu wissen ob eine Funktion an einem Punkt steigt oder fällt, müssen wir die kritischen Punkte ermitteln. Also die Stellen, an denen die Ableitung 0 wird. Wir berechnen die Ableitung

Wir berechnen die kritischen Punkte

Nun überprüfen wir, welches Vorzeichen die Funktion hat, wenn wir den Definitionsbereich wie folgt unterteilen: und :

Die Funktion steigt also im Intervall und fällt im Intervall

Um die Minima und Maxima zu bestimmen, untersuchen wir die vorher mit der 2. Ableitung ermittelten kritischen Punkte. Wenn sie positiv ist, haben wir ein Minimum und wenn sie negativ, ist, haben wir ein Maximum.

Wir haben also ein Minimum bei und ein Maximum bei

Konkavität und Konvexität
Um zu ermitteln, ob die Funktion konkav und kovex ist, nehmen wir die 2. Ableitung und überprüfen, wann sie 0 wird. Wir prüfen die Intervalle, in denen die Funktion positiv und negativ ist; ist sie positiv, ist sie konvex, ist sie negativ, ist sie konkav.

und in den Intervallen

Die Funktion ist somit konvex im Intervall und konkav im Intervall

Wendepunkte
Es gibt einen Wendepunkte, wenn an einem Punkt Folgendes gilt:

Wir untersuchen nun den einzigen Punkt, an dem die 2. Ableitung 0 wird

Wenn das Ergebnis ungleich 0 ist, haben wir einen Wendepunkt bei .

Grafische Darstellung

Definitionsbereich:
Symmetrie: Wir stellen fest, dass . Es liegt also Symmetrie zur -Achse vor, das heißt, die Funktion ist gerade.
Schnittpunkte mit den AchsenSchnittpunkte mit der -Achse:

Die Schnittpunkte sind also

Schnittpunkte mit der -Achse:

Wir stellen fest, dass

Der Schnittpunkt ist also

Asymptoten

Sie hat keine Asymptoten.

Monotonieverhalten

Wir berechnen die kritischen Punkte:

wir setzen gleich 0

Nun überprüfen wir das Vorzeichen in den folgenden Segmenten des Definitionsbereichs:

Sie steigt also im Intervall und fällt im Intervall

Wir untersuchen die kritischen Punkte, die wir mit der 2. Ableitung berechnen und erhalten

Die Tiefpunkte sind

Der Hochpunkt ist

Konkavität und Konvexität

Wir suchen die Punkte, an denen die zweite Ableitung 0 wird

Wir stellen fest, dass

Sie ist also konvex im Intervall und konkav im Intervall

Wendepunkte

Durch Berechnung der 3. Ableitung ergibt sich, dass die Wendepunkte wie folgt lauten

Grafische Darstellung

Definitionsbereich
Wir eliminieren den Punkt, an dem der Nenner 0 wird
Somit:
Symmetrie: Da , liegt keine Symmetrie vor.
Schnittpunkte mit den AchsenSchnittpunkte mit der -Achse

Der Schnittpunkt ist somit

Schnittpunkt mit der -Achse

Wir haben

Der Schnittpunkt ist also

Asymptoten

Horizontale Asymptote:

Horizontale Asymptoten sind horizontale Geraden, denen sich die Funktion endlos nähert. Horizontale Asymptoten sind Geraden der Gleichung: .

Wir stellen fest, dass

Sie hat also keine horizontalen Asymptoten.

Vertikale Asymptoten:

Vertikale Asymptoten sind vertikale Geraden, denen sich die Funktion endlos nähert, ohne sie jemals zu schneiden. Vertikale Asymptoten sind Geraden der Gleichung: .

Wir stellen fest, dass

und somit

Schiefe Asymptote:

Schiefe Asymptoten sind Geraden der Gleichung:

,

wobei

Schiefe Asymptoten werden nur dann gefunden, wenn es keine horizontalen Asymptoten gibt.

In diesem Fall:

Somit hat die schiefe Asymptote die Gleichung:

Monotonieverhalten

Zunächst ermitteln wir die kritischen Punkte

Wir setzen gleich 0

Die kritischen Punkte sind

Nun überprüfen wir das Vorzeichen in den folgenden Segmenten des Definitionsbereichs:

somit

Wir untersuchen die kritischen Punkte, die wir mit der 2. Ableitung ermitteln, und erhalten

Konkavität und Konvexität

Wir berechnen die 2. Ableitung und ermitteln, wann sie 0 wird

Wir untersuchen in engen Intervallen

Sie ist also konvex im Intervall und konkav im Intervall

Wendepunkte

Grafische Darstellung

Definitionsbereich
Wir eliminieren den Punkt, an dem der Nenner 0 wird
Symmetrie: Wir stellen fest, dass . Somit liegt Symmetrie zur -Achse vor. Die Funktion ist also gerade.
Schnittpunkte mit den AchsenSchnittpunkte mit der -Achse:

Wir setzen gleich 0 und erhalten

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der -Achse

Schnittpunkt mit der -Achse:

Ähnlich

Somit gibt es keine Schnittpunkte mit der -Achse

Asymptoten

Horizontale Asymptote:

Das heißt, es gibt keine horizontale Asymptote

Vertikale Asymptote:

Schiefe Asymptote:

Es gibt also keine.

Monotonieverhalten

Wir stellen fest, dass

und somit

Die Funktion steigt also im Intervall und fällt im Intervall

Außerdem sind die Tiefpunkte gegeben durch und

Konkavität und Konvexität

Wir stellen fest, dass

und somit

Daraus folgern wir, dass die Funktion konkav ist im Intervall

Wendepunkte

Es gibt keinen Wendepunkt.

Grafische Darstellung

Definitionsbereich: Wir eliminieren den Punkt, an dem der Nenner 0 wird
Symmetrie:. Es liegt keine Symmetrie vor.
Schnittpunkte mit den AchsenSchnittpunkt mit der -Achse:

Schnittpunkt mit der -Achse:

Asymptoten

Horizontale Asymptote:

Wir stellen fest, dass

Somit gibt es keine horizontale Asymptote.

Vertikale Asymptote:

Schiefe Asymptote:

und somit

Monotonieverhalten

Wir ermitteln die kritischen Punkte

Wir untersuchen die Intervalle

Das heißt, sie steigt im Intervall und fällt im Intervall .

Wir untersuchen die kritischen Punkte, die wir mit der 2. Ableitung ermitteln, um die Minima und Maxima zu bestimmen.

ist ein Minimum und ein Maximum.

Konkavität und Konvexität

Da wir keine Lösung haben, unterteilen wir die Intervalle des Definitionsbereichs ausgehend von der 2, die nicht zum Definitionsbereich gehört.

Wir erhalten

Sie ist im Intervall konvex und im Intervall konkav.

Wendepunkte:

Es gibt keinen Wendepunkt.

Grafische Darstellung

Definitionsbereich: Symmetrie: Wir haben Symmetrie zum Ursprung, d.h. es ist eine ungerade Funktion.
Schnittpunkte mit den AchsenSchnittpunkt mit der -Achse:

Der Schnittpunkt mit der Achse ist somit

Schnittpunkt mit der -Achse:

Wir haben

Somit ist der Schnittpunkt

Asymptoten

Horizontale Asymptote:

Sie hat weder vertikale noch schiefe Asymptoten.

Monotonieverahalten

Wir bestimmen die kritischen Punkte

Nun überprüfen wir, welches Vorzeichen die Funktion hat, wenn wir den Definitionsbereich wie folgt unterteilen:

Daraus folgt, dass die Funktion im Intervall steigt und im Intervall fällt.

Wir untersuchen die kritischen Punkte der 2. Ableitung und erhalten

Konkavität und Konvexität

Wir berechnen die Punkte, an denen die 2. Ableitung 0 wird

Wir überprüfen das Vorzeichen in den Intervallen

Die Funktion ist somit konvex im Intervall und konkav im Intervall .

Wendepunkte

Grafische Darstellung

Definitionsbereich:
Symmetrie: . Es liegt keine Symmetrie vor.
Schnittpunkte mit den AchsenSchnittpunkte mit der -Achse:

Schnittpunkt mit der -Achse:

Asymptoten

Horizontale Asymptote

Sie hat weder vertikale noch schiefe Asymptoten.

Monotonieverhalten

und somit

Nun überprüfen wir, welches Vorzeichen die Funktion hat, wenn wir den Definitionsbereich wie folgt unterteilen:

Sie steigt im Intervall und fällt im Intervall

Wir untersuchen die kritischen Punkte der 2. Ableitung und erhalten

Wir stellen mit den erhaltenen Werten grafisch dar:

Definitionsbereich: Da wir die Wurzel aus "" berechnen müssen, gilt
Symmetrie:
Es liegt keine Symmetrie vor.
Schnittpunkte mit den AchsenSchnittpunkte mit der -Achse:

Der Schnittpunkt ist also

Schnittpunkt mit der -Achse:

Der Schnittpunkt ist also

Asymptoten

Es gibt keine Asymptoten.

Monotonieverhalten

Die kritischen Punkte lauten also

Da es keine Lösung gibt, sehen wir uns nur das Intervall des Definitionsbereichs an

Die Funktion steigt.

Maxima und Minima

Es gibt keine lokalen Extremstellen.

Konkavität und Konvexität
Wir berechnen die 2. Ableitung und setzen gleich 0

Da es keine Lösung gibt, nehmen wir das Intervall des Definitionsbereichs und erhalten

Die Funktion ist konkav.

Wendepunkte

Es gibt keinen Wendepunkt.

Grafische Darstellung

Definitionsbereich:
Symmetrie: . Es liegt keine Symmetrie vor.
Schnittpunkte mit den AchsenSchnittpunkt mit der -Achse:

Schnittpunkt mit der -Achse:

Asymptoten

Horizontale Asymptote:

Es gibt weder vertikale noch schiefe Asymptoten.

Monotonieverhalten

Wir untersuchen das Vorzeichen

Daraus folgt, dass die Funktion bei steigt und bei fällt.

Wir untersuchen die kritischen Punkte der 2. Ableitung und erhalten

Konkavität und Konvexität

Wir berechnen die 2. Ableitung und bestimmen die Punkte, für die sie 0 wird

Wir unterteilen den Definitionsbereich in und untersuchen das Vorzeichen der 2. Ableitung in diesen Intervallen

Die Funktion ist also konvex im Intervall und konkav im Intervall .

Wendepunkte

Grafische Darstellung

Definitionsbereich:
Symmetrie: . Es liegt keine Symmetrie vor.
Schnittpunkte mit den AchsenSchnittpunkte mit der -Achse:

Das heißt,  und der Schnittpunkt wäre

Schnittpunkt mit der -Achse:

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der -Achse

Asymptoten

Horizontale Asymptote:

Vertikale Asymptoten:

Monotonieverhalten
Wir berechnen die kritischen Punkte

und erhalten den kritischen Punkt . Somit

Die Funktion steigt bei und fällt bei . Ein Maximum ist bei .

Konkavität und Konvexität

Wir setzen die 2. Ableitung gleich 0

Wir unterteilen den Definitionsbereich und untersuchen das Vorzeichen der 2. Ableitung. Daraus folgt, dass die Funktion bei konvex ist und bei konkav ist.

Grafische Darstellung