Zwei Matrizen A und B sind multiplizierbar, wenn die Anzahl der Spalten von A mit der Anzahl der Zeilen von B übereinstimmt.

 

A_{m\times n}\times B_{n\times p}=C_{m\times p}

 

Das Element c_{ij} der Produktmatrix wird berechnet, indem man jedes Element der Zeile i der Matrix A mit jedem Element der Spalte j der Matrix B multipliziert und dann addiert.

 

Beispiel

 

A\times B=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 0\\ 5 & 1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

 

=\begin{pmatrix} 2\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1 \;\; & 2\cdot 0+0\cdot 2+1\cdot 1 \;\; & 2\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 0\\ 3\cdot 1+0\cdot 1+0\cdot 1 \;\; & 3\cdot 0+0\cdot 2+0\cdot 1 \;\; & 3\cdot 1+0\cdot 1+0\cdot 0\\ 5\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1 \;\; & 5\cdot 0+1\cdot 2+1\cdot 1 \;\; & 5\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 0 \end{pmatrix}

 

=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2\\ 3 & 0 & 3\\ 7 & 3 & 6 \end{pmatrix}

 

Eigenschaften von Matrizenprodukten

 

 

 1  Gemäß Assoziativgesetz:

A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C

 

 2  Neutrales Element:

A\cdot I=A

Wobei I die Einheitsmatrix gleichen Ranges wie Matrix A ist.

 

 3  Gemäß Distributivgesetz

A\cdot (B+C)=A\cdot B + A\cdot C

 

 4  Nicht gemäß Kommutativgesetz:

A\cdot B\neq B\cdot A

 

 

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Los geht's

Matrizenprodukt: Beispiel

 

 

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \epsilon \; M_{2\times 3}                    B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 1& 0 \end{pmatrix} \epsilon \; M_{3\times 2}

 

A\times B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 1& 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 8 & 15 \end{pmatrix}

 

B\times A= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 1& 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 4 & 2\\ 9 & 12 & 6\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

 

In diesem Fall ist A\cdot B\neq B\cdot A; die Matrizen sind nicht multiplizierbar, da A\cdot B\; \epsilon \; M_{2\times 2}\; y B\cdot A\; \epsilon \; M_{3\times 3}.

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können, verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen, sodass Komplexes strukturiert gelöst wird.