Grundlegende Rechenoperationen mit Matrizen

 

1 Gegeben sind die Matrizen:

 

A= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 0\\ 5 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \; \; \; B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

 

Berechne:

A A+B
B A-B
C A\cdot B
D B\cdot A
E A^{t}

A A+B

 

Wir addieren die Elemente, deren Position in beiden Matrizen übereinstimmt:

 

\begin{array}{rcl} A + B & = & \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 0\\ 5 & 1 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}  \\\\  & = & \begin{pmatrix} 2+1 & 0+0 & 1+1\\ 3+1 & 0+2 & 0+1\\ 5+1 & 1+1 & 1+0 \end{pmatrix} \\\\  & = & \begin{pmatrix} 3 & 0 & 2\\ 4 & 2 & 1\\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{array}

 

B A-B

 

Wir subtrahieren die Elemente, deren Position in beiden Matrizen übereinstimmt:

 

\begin{array}{rcl} A - B & = & \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 0\\ 5 & 1 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\\\ & = & \begin{pmatrix} 2-1 & 0-0 & 1-1\\ 3-1 & 0-2 & 0-1\\ 5-1 & 1-1 & 1-0 \end{pmatrix} \\\\ & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & -2 & -1\\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{array}

 

C A\cdot B

 

Wir multiplizieren die Zeile i mit der Spalte j, um das Element ij zu erhalten

 

\begin{array}{rcl}  A \cdot B & = & \left ( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 1  \\ 3 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 1  \end{array} \right ) \cdot \left ( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1  \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0  \end{array} \right ) \\\\  & = & \left ( \begin{array}{rrr} 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 2 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 & 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0  \\ 3 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 & 3 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 1 & 3 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \\ 5 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 5 \cdot 0 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 & 5 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0  \end{array} \right )  \\\\  & = & \left ( \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 2  \\ 3 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 6  \end{array} \right )   \end{array}

 

D B\cdot A

 

Wir multiplizieren die Zeile i mit der Spalte j, um das Element ij zu erhalten

 

\begin{array}{rcl}  B \cdot A & = & \left ( \begin{array}{rrr}  1 & 0 & 1  \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0   \end{array} \right ) \cdot \left ( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 1  \\ 3 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 1  \end{array} \right ) \\\\  & = & \left ( \begin{array}{rrr} 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 1 \cdot 5 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1  \\ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 5 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 5 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1  \end{array} \right )  \\\\  & = & \left ( \begin{array}{rrr} 7 & 1 & 2  \\ 13 & 1 & 2 \\ 5 & 0 & 1  \end{array} \right )   \end{array}

 

E A^{t}

 

A^t = \left ( \begin{array}{rrr}  2 & 3 & 5  \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1   \end{array} \right )

 

n-te Potenz einer Matrix

 

Angenommen,  A ist die Matrix \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right).

 

Bestimme A^n für n \in \mathbb{N}

1Wir berechnen A^2

 

\begin{array}{rcl} A^2 & = & \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\\\  & = & \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{array}

 

2Wir berechnen A^3

 

\begin{array}{rcl} A^3 & = & \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\\\  & = & \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{array}

 

3Wir stellen fest, dass das Element auf der Position 1,3 mit der Potenz von A übereinstimmt, weshalb wir die Potenz als n - 1 angeben

 

\begin{array}{rcl} A^{n-1} & = & \left( \begin{array}{rrc} 1 & 0 & n-1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{array}

 

4Wir sehen uns an, ob die vorgeschlagene Formel für die Potenz n gilt

 

\begin{array}{rcl} A^n & = & A^{n - 1} \cdot A \\\\ & = & \left( \begin{array}{rrc} 1 & 0 & n - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\\\  & = & \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{array}

 

Wir wissen nun, dass die vorgeschlagene Formel für irgendeine Potenz n \in \mathbb{N} gilt

 

Inverse Matrix

 

Berechne die inverse Matrix für:

 

A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right)

 

 1 Erstelle eine Matrix vom Typ M = (A|I)

 

M = \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

 

2 Wende den Gauß-Jordan-Algorithmus an, um die linke Hälfte, A, in die Einheitsmatrix umzuwandeln. Die Matrix, die auf der rechten Seite resultiert, ist die inverse Matrix A^{-1}.

 

Wir berechnen f_3 = f_3 - 2f_1

 

\begin{array}{rcl}M & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\\\  & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right)  \end{array}

 

Wir berechnen f_1 = f_1 + f_2 y f_3 = f_3 - 2f_2

 

\begin{array}{rcl}\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right)  & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -2 & 1 \end{array}\right)  \end{array}

 

3Die inverse Matrix ist

 

A^{-1} = \left( \begin{array}{rrr}  1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \end{array}\right)

 

Gleichungssysteme mit Matrizen

 

Ermittle die Matrizen A und B, die das folgende Gleichungssystem bestätigen:

 

\left \{ \begin{array}{l} 2A + B = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \end{array} \right ) \\\\  A - 3B = \left( \begin{array}{rrr} -4 & -3 & -2 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right )  \end{array} \right.

1Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit -2

 

\left \{ \begin{array}{l} 2A + B = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \end{array} \right ) \\\\  -2A + 6B = \left( \begin{array}{rrr} 8 & 6 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \end{array} \right )  \end{array} \right.

 

2Wir addieren die einzelnen Elemente und lösen nach B auf

 

\begin{array}{rcl}7B & = & \left( \begin{array}{rrr} 9 & 8 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right )  \\\\  B & = & \left( \begin{array}{rrr} \cfrac{9}{7} & \cfrac{8}{7} & \cfrac{6}{7} \\\\ 0 & \cfrac{1}{7} & \cfrac{2}{7} \end{array} \right )  \end{array}

 

3Wenn wir die erste Gleichung mit 3 multiplizieren und Element für Element addieren, erhalten wir:

 

\begin{array}{rcl}7A & = & \left( \begin{array}{rrr} -1 & 3 & 4 \\ -7 & 3 & -1 \end{array} \right )  \\\\  A & = & \left( \begin{array}{ccc} \cfrac{-1}{7} & \cfrac{3}{7} & \cfrac{4}{7} \\\\ -1 & \cfrac{3}{7} & \cfrac{-1}{7} \end{array} \right )  \end{array}

 

Problemanalyse mit Hilfe von Matrizen

 

Eine Fabrik produziert zwei Modelle von Waschmaschinen, A und B, in drei Ausführungen: N, L und S.

 

Es werden vom Modell A  400 Einheiten in der Ausführung N, 200 Einheiten in der Ausführung L und 50 Einheiten in der Ausführung S produziert.

 

Es werden vom Modell B 300 Einheiten in der Ausführung N, 100 Einheiten in der Ausführung L und 30 Einheiten in der Ausführung S produziert.

 

Für Ausführung N sind 25 Produktionsstunden und 1 Verwaltungsstunden nötig. Für Ausführung L sind 30 Produktionsstunden und 1.2 Verwaltungsstunden nötig. Für Ausführung S sind 33 Produktionsstunden und 1.3 Verwaltungsstunden nötig.

 

1 Stelle die Gegebenheiten in Form von zwei Matrizen dar.

 

2 Bestimme für jedes einzelne der Modelle eine Matrix, die die Stunden für Produktion und Verwaltung darstellt.

Matrix für die Produktion:

 

Zeilen: Modelle A, B;        Spalten:  Ausführungen N, L, S

 

P = \left( \begin{array}{rrr} 400 & 200 & 50 \\ 300 & 100 & 30 \end{array} \right )

 

Matrix für den Aufwand in Stunden:

 

Zeilen:  Ausführungen N, L, S;    Spalten:  Aufwand in Stunden: T, A

 

C = \left( \begin{array}{rr} 25 & 1 \\ 30 & 1.2 \\ 33 & 1.3  \end{array} \right )

 

Matrix, die die Stunden der Produktion und Verwaltung für jedes einzelne Modell ausdrückt:

 

\begin{array}{rcl} P \cdot C & = & \left( \begin{array}{rrr} 400 & 200 & 50 \\ 300 & 100 & 30 \end{array} \right ) \cdot \left( \begin{array}{rr} 25 & 1 \\ 30 & 1.2 \\ 33 & 1.3  \end{array} \right )  \\\\ & = & \left( \begin{array}{rr} 17650 & 705 \\ 11490 & 459  \end{array} \right ) \end{array}

 

Rang einer Matrix

 

Berechne den Rang der folgenden Matrix:

 

\left( \begin{array}{rrrr} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 7 & 7  \end{array} \right )

Wir führen die grundlegenden Rechenschritte bei den Zeilen durch:

 

1Wir rechnen f_1 = f_1 - 2f_2

 

\left( \begin{array}{rrrr} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 7 & 7  \end{array} \right ) = \left( \begin{array}{rrrr} 0 & -1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 7 & 7  \end{array} \right )

 

2Wir rechnen f_3 = f_3 - 3f_2

 

\left( \begin{array}{rrrr} 0 & -1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 7 & 7  \end{array} \right ) = \left( \begin{array}{rrrr} 0 & -1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & -2  \end{array} \right )

 

3Wir rechnen f_3 = f_3 + 2f_1

 

\left( \begin{array}{rrrr} 0 & -1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & -2  \end{array} \right ) = \left( \begin{array}{rrrr} 0 & -1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0  \end{array} \right )

 

Deshalb gilt r(A)  = 2.

 

Gleichungen mit Unbekannten in Matrizen

 

Gegeben ist:

 

A = \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 3 & 4   \end{array} \right ); \ \ \  B = \left( \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1 & 1   \end{array} \right ); \ \ \  C = \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 1 & 3   \end{array} \right ).

 

Berechne den Wert von X in den folgenden Gleichungen:

 

1XA = B + I

2AX + B = C

3XA + B = 2C

4AX + BX = C

5XAB - XC = 2C

Wir bestimmen die Variable X in jeder der Gleichungen

 

1XA = B + I

 

\begin{array}{rcl} XA & = & B + I  \\\\  X A A^{-1} & = & (B + I) A^{-1}  \\\\  X I & = & (B + I) A^{-1}  \\\\  X & = & (B + I) A^{-1}  \\\\  X & = & \left( \begin{array}{rr} 9 & -2 \\ -2 & 1   \end{array} \right )  \end{array}

 

2AX + B = C

 

\begin{array}{rcl} AX + B & = & C \\\\ A X & = & C - B \\\\ A^{-1} A X  & = & A^{-1} (C - B) \\\\ I X & = & A^{-1} (C - B) \\\\ X & = & A^{-1} (C - B) \\\\ X & = & \left( \begin{array}{rr} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{array} \right ) \end{array}

 

3XA + B = 2C

 

\begin{array}{rcl} XA + B & = & 2C \\\\ XA & = & 2C - B \\\\ XA A^{-1} & = & (2C - B) A^{-1} \\\\ X I & = & (2C - B) A^{-1} \\\\ X & = & (2C - B) A^{-1} \\\\ X & = & \left( \begin{array}{rr} -9 & 3 \\ -11 & 4 \end{array} \right ) \end{array}

 

4AX + BX = C

 

\begin{array}{rcl} AX + BX & = & C \\\\ (A + B)X & = & C \\\\ (A + B)^{-1} (A + B)X & = & (A + B)^{-1} C \\\\ I X & = & (A + B)^{-1} C \\\\ X & = & (A + B)^{-1} C \\\\ X & = & \left( \begin{array}{rr} \cfrac{3}{7} & \cfrac{4}{7} \\\\  -\cfrac{1}{7} & \cfrac{1}{7} \end{array} \right ) \end{array}

 

5XAB - XC = 2C

 

\begin{array}{rcl} XAB - XC & = & 2C \\\\ X(AB - C) & = & 2C \\\\ X(AB - C)(AB - C)^{-1} & = & 2C(AB - C)^{-1} \\\\ X I & = & 2C(AB - C)^{-1} \\\\ X & = & 2C(AB - C)^{-1} \\\\ X & = & \left( \begin{array}{rr} -\cfrac{7}{2} & 1 \\\\ -\cfrac{23}{4} & \cfrac{3}{2} \end{array} \right ) \end{array}

 

Von einem Gleichungssystem zu einer Matrix

 

Löse das System in Form einer Matrix:

 

\left \{ \begin{array}{l}  x + y + z = 6 \\  x + 2y + 5z = 12  \\  x + 4y + 25z = 36 \end{array} \right.

1Wir schreiben in Form einer Matrix

\left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 25  \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ) =  \left ( \begin{array}{c} 6 \\ 12 \\ 36 \end{array} \right )

2Wir lösen die Gleichung

\begin{array}{rcl} \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 25  \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ) & = &  \left ( \begin{array}{c} 6 \\ 12 \\ 36 \end{array} \right )  \\\\  \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 25  \end{array} \right )^{-1} \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 25  \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ) & = &  \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 25  \end{array} \right )^{-1} \left ( \begin{array}{c} 6 \\ 12 \\ 36 \end{array} \right )  \\\\ \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ) & = &  \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 25  \end{array} \right )^{-1} \left ( \begin{array}{c} 6 \\ 12 \\ 36 \end{array} \right )  \\\\   \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ) & = &  \cfrac{1}{12}\left( \begin{array}{rrr} 30 & -21 & 3 \\ -20 & 24 & -4 \\ 2 & -3 & 1  \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} 6 \\ 12 \\ 36 \end{array} \right )  \\\\ \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ) & = &  \cfrac{1}{12} \left ( \begin{array}{c} 36 \\ 24 \\ 12 \end{array} \right )  \\\\ \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ) & = &  \left ( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right )  \end{array}

3Somit ist die Lösung

\begin{array}{l} x = 3, \\ y = 2, \\ z =1 \end{array}

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.