Kapitel
Gegeben sind folgende Matrizen:
Berechne:
1 
1 
3 
4 
1
Wir berechnen 
. Dazu addieren wir die Elemente, die in beiden Matrizen an der gleichen Stelle stehen
Wir quadrieren das vorhergehende Ergebnis
2
Wir berechnen 
Wir quadrieren das vorhergehende Ergebnis
3
Zuerst berechnet man 
und dann multipliziert man mit 
4 
Wir berechnen 
Produkt und Dimension von Matrizen
Gegeben sind die Matrizen:
1 Beweise, ob die folgenden Produkte möglich sind:
a
b
2Die Dimension von 
bestimmen, um die Multiplikation 
durchführen zu können
3Die Dimension von bestimmen, damit 
eine quadratische Matrix ist.
1aDas Ergebnis der Multiplikation 
ist eine Matrix der Form 
, da 
die Form hat und 
die Form 
hat, während die Matrix 
die Form hat. Somit kann die Multiplikation nicht durchgeführt werden, weil die Anzahl der Spalten von nicht mit der Anzahl der Zeilen von übereinstimmt.
1bDas Ergebnis der Multiplikation 
ist eine Matrix der Form 
, da die Form hat und 
die Form hat, während die Matrix 
die Form hat. Somit kann die Multiplikation durchgeführt werden, weil die Anzahl der Spalten von mit der Anzahl der Zeilen von übereinstimmt und das Ergebnis ist eine Matrix der Form
2 Die Matrix 
hat die Form ; hat die Form . Damit die Multiplikation durchgeführt werden kann, muss die Anzahl der Zeilen von mit der Anzahl der Spalten von übereinstimmen und die Anzahl der Spalten von muss mit der Anzahl der Zeilen von übereinstimmen. Somit hat die Form 
3 Die Matrix hat die Dimension . Die transponierte Matrix hat deshalb die Form . Damit sie mit multipliziert werden kann, muss die Anzahl der Spalten von 
mit der Anzahl der Zeilen von übereinstimmen und ihre Anzahl der Zeilen muss mit der Anzahl der Spalten von übereinstimmen. Somit hat die Form
Matrizenmultiplikation
Mit welcher Zahl muss die Matrix
vorher multipliziert werden,
damit das Ergebnis die folgende Matrix ist
Wir stellen die gesuchte Matrix wie folgt dar
Wir lösen 
Wir erhalten folgendes Gleichungssystem
Wir lösen das System und erhalten
Somit ist die gesuchte Matrix
Kommutativität von Matrizen
Bestimme alle Matrizen, die mit der folgenden Matrix kommutieren:
Wir lösen 
für irgendwelche reellen Werte von 
Inverse Matrix
Berechne die inverse Matrix von:
1 Wir erstellen eine Matrix vom Typ 
2 Wir wenden die Gauß-Methode an und formen die linke Hälfte, , zur Einheitsmatrix um. Die resultierende Matrix auf der rechten Seite ist unsere inverse Matrix 
.
Wir rechnen 
Wir rechnen 
Wir rechnen
Wir rechnen
y 
3Die inverse Matrix ist
Rang einer Matrix
Berechne den Rang der folgenden Matrizen:
Wir führen die grundlegenden Rechenschritte bei den Zeilen durch:1 Wir rechnen
2Wir berechnen die Determinante der Untermatrix
Daher gilt 
.
Matrix
1Wir stellen fest, dass 
, weshalb gilt 
2Wir berechnen die Determinante der Submatrix
Deshalb gilt 
.
Matrizengleichungen
Gegeben sind:
Berechne den Wert von 
in der Gleichung 
1Wir bestimmen die Variable
2Wir berechnen
3Wir lösen auf und erhalten
![\begin{array}{rcl} X & = & \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right ) \cdot \left [ 3 \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right ) - 2 \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) \right ] \\\\ & = & \left( \begin{array}{rrr} 3 & -2 & -2 \\ -5 & 5 & 2 \\ 5 & -3 & 1 \end{array} \right ) \end{array}](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-34ece31a5af44e743a2eb1de6cc978cb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Anwendungsorientierte Aufgabe zu Matrizen
Ein Möbelhersteller produziert drei Modelle von Regalen: 
und . Jedes Regal ist in groß und in klein erhältlich. Jeden Tag werden 
große Regale und 
kleine Regale vom Modell , große und 
kleine Regale vom Modell und 
große und kleine Regale vom Modell hergestellt. Jedes große Regal hat 
Schrauben und 
Halterungen. Jedes kleine Regal hat 
Schrauben und 
Halterungen. Dies gilt für alle drei Regaltypen.
1Stelle diese Information mit zwei Matrizen dar.
2Erstelle eine Matrix, die die Menge der Schrauben und Halterungen, die bei der täglichen Produktion jedes einzelnen der sechs Modelle benötigt werden, beinhaltet.
1Informationen in zwei Matrizen.
Zeilen: Modelle 
, Spalten: Typen 
Matrix der Elemente der Regale:
Zeilen: Typen , Spalten: 
2Erstelle eine Matrix, die die Menge der Schrauben und Halterungen, die bei der täglichen Produktion jedes einzelnen der sechs Modelle benötigt werden, beinhaltet.
Matrix, die die Anzahl der Schrauben und Halterungen für jedes Regalmodell ausdrückt:
Zeilen: Modelle ; Spalten: Typen
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