Gegeben sind folgende Matrizen:

 

A= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\ -1 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}; \; \; \; B=\begin{pmatrix} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}; \; \; \;  C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 3\\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}

 

Berechne:

1 (A+B)^2
1 (A-B)^2
3 B^3
4 A\cdot B^t \cdot C

1 (A+B)^2

 

Wir berechnen A+B. Dazu addieren wir die Elemente, die in beiden Matrizen an der gleichen Stelle stehen

\begin{array}{rcl} A + B & = & \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\ -1 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix} \\\\ & = &  \begin{pmatrix} 4 & -2 & 4\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & -1 & 8 \end{pmatrix} \end{array}

 

Wir quadrieren das vorhergehende Ergebnis

 

\begin{array}{rcl} (A + B)^2 & = & \begin{pmatrix} 4 & -2 & 4\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & -1 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -2 & 4\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & -1 & 8 \end{pmatrix} \\\\ & = & \begin{pmatrix} 24 & -14 & 42\\ 19 & -6 & 35 \\ 34 & -15 & 73 \end{pmatrix} \end{array}

 

2 (A-B)^2

 

Wir berechnen A - B

 

\begin{array}{rcl} A - B & = & \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\ -1 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix} \\\\ & = & \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0\\ -4 & 1 & -1\\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{array}

 

Wir quadrieren das vorhergehende Ergebnis

 

\begin{array}{rcl} (A - B)^2 & = & \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0\\ -4 & 1 & -1\\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0\\ -4 & 1 & -1\\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\\\ & = & \begin{pmatrix} 16 & 0 & 0\\ 9 & 0 & -1 \\ -16 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{array}

 

3 B^3

 

Zuerst berechnet man B^2 und dann multipliziert man mit B

 

\begin{array}{rcl} B^3 & = & \left ( \begin{array}{rrr} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{array} \right ) \cdot \left ( \begin{array}{rrr} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{array} \right ) \cdot \left ( \begin{array}{rrr} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{array} \right ) \\\\ & = & \left ( \begin{array}{rrr} 13 & -6 & 14 \\ 12 & -5 & 14 \\ -3 & -4 & 14 \end{array} \right ) \cdot \left ( \begin{array}{rrr} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{array} \right ) \\\\ & = & \left ( \begin{array}{rrr} 34 & -27 & 70 \\ 33 & -26 & 70 \\ -24 & -11 & 42 \end{array} \right ) \end{array}

 

4 A \cdot B^t \cdot C

 

Wir berechnen B^t

 

B^t=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 0\\ -1 & 0 & -1\\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}

 

\begin{array}{rcl} A \cdot B^t \cdot C & = & \left ( \begin{array}{rrr} 0 & -1 & 2\\ -1 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 4 \end{array} \right ) \cdot \left ( \begin{array}{rrr} 4 & 3 & 0\\ -1 & 0 & -1\\ 2 & 2 & 4 \end{array} \right ) \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 3\\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \\\\  & = & \left ( \begin{array}{rrr} 5 & 4 & 9 \\ -3 & -1 & 3 \\ 20 & 17 & 16 \end{array} \right ) \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 3\\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \\\\  & = & \left ( \begin{array}{rrr} 28 & 23 & 16 \\ 14 & 3 & 3 \\ 30 & 52 & 47 \end{array} \right )  \end{array}

 

Produkt und Dimension von Matrizen

 

Gegeben sind die Matrizen:

 

A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}; \; \; \; B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2  \end{pmatrix}; \; \; \; C=\begin{pmatrix}  1 & -2 \\ 0 & 2\\ -2 & 0 \end{pmatrix}

 

1 Beweise, ob die folgenden Produkte möglich sind:

a\left (A^t \cdot B \right ) \cdot C

b \left (B \cdot C^t \right ) \cdot A^t

 

2Die Dimension von M bestimmen, um die Multiplikation A \cdot M \cdot C durchführen zu können

 

3Die Dimension von M bestimmen, damit C^t \cdot M eine quadratische Matrix ist.

1aDas Ergebnis der Multiplikation \left (A^t \cdot B \right ) ist eine Matrix der Form 3 \times 2, da  A^t die Form 3 \times 2 hat und  B die Form 2 \times 2 hat, während die Matrix C die Form 3 \times 2 hat. Somit kann die Multiplikation nicht durchgeführt werden, weil die Anzahl der Spalten von \left (A^t \cdot B \right ) nicht mit der Anzahl der Zeilen von C übereinstimmt.

 

1bDas Ergebnis der Multiplikation \left (B \cdot C^t \right ) ist eine Matrix der Form 2 \times 3, da  B die Form 2 \times 2 hat und  C^t die Form 2 \times 3 hat, während die Matrix A^t die Form 3 \times 2 hat. Somit kann die Multiplikation durchgeführt werden, weil die Anzahl der Spalten von \left (B \cdot C^t \right ) mit der Anzahl der Zeilen von A^t übereinstimmt und das Ergebnis ist eine Matrix der Form 2 \times 2

 

2 Die Matrix A hat die Form 2 \times 3; C hat die Form 3 \times 2. Damit die Multiplikation durchgeführt werden kann, muss die Anzahl der Zeilen von M mit der Anzahl der Spalten von A übereinstimmen und die Anzahl der Spalten von M muss mit der Anzahl der Zeilen von C übereinstimmen. Somit hat M die Form 3 \times 3

 

3 Die Matrix C hat die Dimension 3 \times 2. Die transponierte Matrix hat deshalb die Form 2 \times 3. Damit sie mit M multipliziert werden kann, muss die Anzahl der Spalten von C^t mit der Anzahl der Zeilen von M übereinstimmen und ihre Anzahl der Zeilen muss mit der Anzahl der Spalten von M übereinstimmen. Somit hat M die Form 3 \times 2

 

Kommutativität von Matrizen

 

Bestimme alle Matrizen, die mit der folgenden Matrix kommutieren:

 

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Wir stellen die gesuchte Matrix wie folgt dar
X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}Wir lösen X \cdot A = A \cdot X
\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \\\\ \begin{pmatrix} a & a + b \\ c & c + d \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} a + c & b + d \\ c & d \end{pmatrix} \end{array}
Wir erhalten das Gleichungssystem\left \{ \begin{array}{c} a = a + c \\ a + b = b + d \\ c = c \\ c + d = d \end{array} \right.
Wir lösen das System und erhaltena = d,  c = 0,
Somit ist die gesuchte MatrixX = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}für irgendwelche reellen Werte von a, b

 

Inverse Matrix

 

Berechne die inverse Matrix von:

 

A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)

1 Wir erstellen eine Matrix vom Typ M = (A|I)

 

M = \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

 

2 Wir wenden die Gauß-Methode an und formen die linke Hälfte, A, zur Einheitsmatrix um. Die resultierende Matrix auf der rechten Seite ist unsere inverse Matrix A^{-1}.

 

Wir rechnen f_2 = f_2 - f_1

 

\begin{array}{rcl}M & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\\\ & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{array}

 

Wir rechnen f_3 = f_3 + f_2

 

\begin{array}{rcl}\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \end{array}

 

Wir rechnenf_2 = f_2 - f_3

 

\begin{array}{rcl}\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \end{array}

 

Wir rechnenf_1 = f_1 + f_2 y f_2 = -f_2

 

\begin{array}{rcl}\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \end{array}

 

3Die inverse Matrix ist

 

A^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right)

 

Rang einer Matrix

 

Berechne den Rang der folgenden Matrizen:

 

A = \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 & 6 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & -1 & 5 & 0 \end{array} \right )

 

B = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 3 & -12 & 6 & -3  \\ 2 & -1 & 0 & 1  \\ 0 & 1 & 3 & -1  \end{array} \right )

Matrix A Wir führen die grundlegenden Rechenschritte bei den Zeilen durch:
1 Wir rechnen f_3 = f_3 - 2f_1; \ \ f_5 = f_5 -2f_2 - f_1

\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 & 6 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & -1 & 5 & 0 \end{array} \right ) = \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right )

 

2Wir berechnen die Determinante der Untermatrix

 

\left | \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right | = -3 \neq 0

 

Daher gilt r(A) = 2.

 

Matrix B

 

1Wir stellen fest, dass f_2 = 3f_1, weshalb gilt det \, B = 0

 

2Wir berechnen die Determinante der Submatrix 3 \times 3

 

\left| \begin{array}{rrr} -4 & 2 & -1  \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & -1  \end{array} \right | = 15

 

Deshalb gilt r(B) = 3.

 

Matrizengleichungen

 

Gegeben sind:

 

A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0  \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right ); \ \ \ B = \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ); \ \ \ C = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right ).

 

Berechne den Wert von X in der Gleichung AX + 2B = 3C

1Wir bestimmen die Variable X

 

\begin{array}{rcl} AX + 2B & = & 3C \\\\ AX & = & 3C - 2B \\\\ A^{-1} AX & = & A^{-1} (3C - 2B) \\\\ IX & = & A^{-1}(3C - 2B) \\\\ X & = & A^{-1}(3C - 2B) \end{array}

 

2Wir berechnen A^{-1}

 

A^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right )

 

3Wir lösen auf und erhalten

 

\begin{array}{rcl} X & = & \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right ) \cdot \left [ 3 \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right ) - 2 \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) \right ]  \\\\  & = & \left( \begin{array}{rrr} 3 & -2 & -2 \\ -5 & 5 & 2 \\ 5 & -3 & 1 \end{array} \right ) \end{array}

 

Anwendungsorientierte Aufgabe zu Matrizen

 

Ein Möbelhersteller produziert drei Modelle von Regalen: A, B und C. Jedes Regal ist in groß und in klein erhältlich. Jeden Tag werden 1000 große Regale und 8000 kleine Regale vom Modell A, 8000 große und 6000 kleine Regale vom Modell B und 4000 große und 6000 kleine Regale vom Modell C hergestellt. Jedes große Regal hat 16 Schrauben und 6 Halterungen. Jedes kleine Regal hat 12 Schrauben und 4 Halterungen. Dies gilt für alle drei Regaltypen.

 

1Stelle diese Information mit zwei Matrizen dar.

 

2Erstelle eine Matrix, die die Menge der Schrauben und Halterungen, die bei der täglichen Produktion jedes einzelnen der sechs Modelle  benötigt werden, beinhaltet.

1Informationen in zwei Matrizen.

 

Zeilen: Modelle A, B, C, Spalten: Typen G, P

 

M = \left( \begin{array}{rr} 1000 & 8000  \\ 8000 & 6000  \\ 4000 & 6000  \end{array} \right )

 

Matrix der Elemente der Regale:

 

Zeilen: Typen G, P,  Spalten: T, S

 

N = \left( \begin{array}{rr} 16 & 6   \\ 12 & 4  \end{array} \right )

 

2Erstelle eine Matrix, die die Menge der Schrauben und Halterungen, die bei der täglichen Produktion jedes einzelnen der sechs Modelle benötigt werden, beinhaltet.

 

Matrix, die die Anzahl der Schrauben und Halterungen für jedes Regalmodell ausdrückt:

Zeilen:   Modelle A, B, C; Spalten:  Typen T, S

\begin{array}{rcl} M \cdot N & = & \left( \begin{array}{rr} 1000 & 8000  \\ 8000 & 6000  \\ 4000 & 6000  \end{array} \right )  \cdot \left( \begin{array}{rr} 16 & 6   \\ 12 & 4  \end{array} \right )  \\\\  & = & \left( \begin{array}{rr} 112000 & 38000  \\ 200000 & 72000  \\ 136000 & 48000  \end{array} \right )  \end{array}

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.