Bestimme den Rang der Matrizen

1Bestimme den Rang der folgenden Matrizen, indem du die linear unabhängigen Zeilen ermittelst:

 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 & 6 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & -1 & 5 & 0 \\ \end{pmatrix}

 

 

Bestimme den Rang der folgenden Matrizen, indem du die linear unabhängigen Zeilen ermittelst:

 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 & 6 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & -1 & 5 & 0 \\ \end{pmatrix}

 

Wir denken daran, dass wir die i-te Zeile als Fi notieren. Wir machen mit der Bestimmung der linear unabhängigen Zeilen (nicht null) weiter. Dazu analysieren wir sie der Reihe nach.

    • F_1

 

    • F_2. Es existiert keine reelle Zahl a, sodass F_2 = aF_1. Deshalb sind sie linear unabhängig.

 

    • F_3. Wir stellen fest, dass F_3 = 2F_1. Deshalb sind sie nicht linear unabhängig
    • F_4. Diese Zeile ist null (alle ihre Einträge sind 0).

 

  • F_5. Wir haben F_5 = 2F_2 + F_1, weshalb sie auch nicht linear unabhängig sind mit F_1 und F_2.

 

In Anbetracht dessen, was wir herausgefunden haben, wissen wir, dass wir nur  2 linear unabhängige Zeilen haben, nämlich F_1 und F_2. Somit ist unser Rang r(A) = 2.

 

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Los geht's

Berechne mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus den Rang der Matrix (I)

2Berechne mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus den Rang der folgenden Matrix:

 A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 7 & 7 \end{pmatrix}

 

 

Berechne mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus den Rang der folgenden Matrix:

 

 A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 7 & 7 \end{pmatrix}

 

Wir denken daran, dass der Rang der Matrix der Anzahl der Nichtnullzeilen, die wir nach Abschluss des Gauß-Jordan-Algorithmus erhalten, entspricht. Somit können wir mit der Methode beginnen

 

    • F_2 - \frac{1}{2}F_1

       \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ 3 & 2 & 7 & 7 \end{pmatrix}

 

    • F_3 - \frac{3}{2}F_1

       \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{7}{2} & 7 & -\frac{7}{2} \end{pmatrix}

 

    • F_2 - \frac{1}{7}F_3

       \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{7}{2} & 7 & -\frac{7}{2} \end{pmatrix}

 

  • F_1 + 2F_3

     \begin{pmatrix} 2 & 6 & -14 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{7}{2} & 7 & -\frac{7}{2} \end{pmatrix}

 

Somit ist unsere Matrix

 

 \begin{pmatrix} 2 & 6 & -14 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{7}{2} & 7 & -\frac{7}{2} \end{pmatrix}

 

Sie hat zwei Nichtnullzeilen, weshalb gilt: r(A) = 2

Berechne mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus den Rang der Matrix (II)

3Berechne mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus den Rang der folgenden Matrix:

 A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 3 & -12 & 6 & -3 \\ 2 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}

 

 

Berechne mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus den Rang der folgenden Matrix:

 

 A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 7 & 7 \end{pmatrix}

 

Wir denken daran, dass der Rang der Matrix der Anzahl der Nichtnullzeilen, die wir nach Abschluss des Gauß-Jordan-Algorithmus erhalten, entspricht. Somit können wir mit der Methode beginnen

 

    • F_2 - 3F_1

       \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}

 

    • F_3 - 2F_1

       \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & -4 & 3\\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}

 

  • F_4 - \frac{1}{7}F_3

     \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & -4 & 3\\ 0 & 0 & \frac{25}{7} & -\frac{10}{7} \end{pmatrix}

 

Wir könnten mit der Methode weitermachen, allerdings ist das nicht nötig, da wir für F1 oder F_3 nicht null erhalten, indem wir von ihnen irgendein Vielfaches von F_4 abziehen. Somit ist unsere Matrix

 

 \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & -4 & 3\\ 0 & 0 & \frac{25}{7} & -\frac{10}{7} \end{pmatrix}

 

Die Matrix hat drei Nichtnullzeilen, weshalb gilt: r(A) = 3

Bestimme anhand der Determinanten den Rang der Matrix (I)

4Bestimme anhand der Determinanten den Rang der Matrix:

 A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 6 \\ -1 & -2 & 0 & -3 \\ 3 & 5 & 1 & 9 \end{pmatrix}

 

 

Bestimme anhand der Determinanten den Rang der Matrix:

 

 A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 6 \\ -1 & -2 & 0 & -3 \\ 3 & 5 & 1 & 9 \end{pmatrix}

 

Wir denken daran, dass der Rang der Matrix der Ordnung der größten quadratischen Submatrix, die nicht null ist, entspricht. Bei der Berechnung der Ränge ergibt sich daher Folgendes:

 

    • Untermatrizen der Dimension 1. Da die Matrix nicht null ist, existiert daher irgendeine Untermatrix der Dimension eins mit einer Determinanten ungleich 0, zum Beispiel:

       \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 2

 

    • Untermatrizen der Dimension 2. Wenn wir eine Untermatrix der Dimension 2 mit einer Determinanten ungleich null haben, wissen wir, dass der Rang größer oder gleich 2 ist. Wir stellen also fest, dass

       \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -1

       

      Deshalb ist die Dimension mindestens 2.

 

  • Untermatrizen der Dimension 3. Wenn wir eine Untermatrix der Dimension 3 mit einer Determinanten ungleich null haben, wissen wir, dass der Rang der Matrix größer oder gleich 3 ist. Wir stellen also fest, dass

     \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & 1 \end{vmatrix} = 0

     

     \begin{vmatrix} 2 & 3 & 6\\ -1 & -2 & -3 \\ 3 & 5 & 9 \end{vmatrix} = 0

     

     \begin{vmatrix} 2 & 1 & 6 \\ -1 & 0 & -3 \\ 3 & 1 & 9 \end{vmatrix} = 0

     

     \begin{vmatrix} 3 & 1 & 6 \\ -2 & 0 & -3 \\ 5 & 1 & 9 \end{vmatrix} = 0

     

    Da alle Untermatrizen der Dimension 3 die Determinanten null haben, ist der Rang der Matrix 2.

 

Folglich ergibt sich r(A) = 2.

Bestimme anhand der Determinanten den Rang der Matrix (II)

5Bestimme anhand der Determinanten den Rang der Matrix:

 A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}

 

 

Bestimme anhand der Determinanten den Rang der Matrix:

 

 A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}

 

Wir denken daran, dass der Rang der Matrix der Ordnung der größten quadratischen Submatrix, die nicht null ist, entspricht. Wir stellen nun fest, dass die Dimension 5 \times 4 ist. Deshalb ist der Rang höchstens 4. Wenn wir jedoch eine Untermatrix der Dimension 4 mit der Determinante ungleich null haben, ist der Rang der Matrix 4. Wir stellen also fest, dass:

 \begin{vmatrix} 3 & 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 4 & 2 \\ \end{vmatrix} = -99

 

Folglich ergibt sich r(A) = 4.

Bestimme anhand der Determinanten den Rang der Matrix (III)

6 Bestimme anhand der Determinanten den Rang der Matrix:

 A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 0 & 3 & 0\\ 1 & 3 & 0 & 3 & 1\\ 1 & 4 & 0 & 3 & 2\\ 1 & 5 & 0 & 3 & 3\\ 1 & 6 & 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}

 

Bestimme anhand der Determinanten den Rang der Matrix:

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 0 & 3 & 0\\ 1 & 3 & 0 & 3 & 1\\ 1 & 4 & 0 & 3 & 2\\ 1 & 5 & 0 & 3 & 3\\ 1 & 6 & 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}

 

Wir denken daran, dass der Rang der Matrix der Ordnung der größten quadratischen Submatrix, die nicht null ist, entspricht. Außerdem können wir die Spalten oder Zeilen, die null oder linear abhängig zu anderen sind, streichen. Die dritte Spalte ist null, die vierte Spalte ist ein Vielfaches der ersten (c_3 = 3c_1). Die fünfte Spalte ist schließlich eine lineare Kombination aus der ersten und der zweiten (c_5 = -2c_1 + c_2). Somit bleiben uns nur noch die ersten zwei Spalten:

 

 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 5\\ 1 & 6 \end{pmatrix}

 

Wir stellen fest, dass wir für diese Matrix höchstens Untermatrizen der Dimension 2 erhalten können. Wir berechnen also die Determinante einer Submatrix der Dimension 2 wie folgt:

 

 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1

 

Somit ist der Rang r(A) = 2.

Bestimme anhand der Determinanten den Rang der Matrix (IV)

7Bestimme anhand der Determinanten den Rang der Matrix:

 A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 5 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & -7 \\ 3 & -2 & 1 & 17 \\ 0 & 1 & 1 & -4 \end{pmatrix}

 

Bestimme anhand der Determinanten den Rang der Matrix:

 

 A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 5 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & -7 \\ 3 & -2 & 1 & 17 \\ 0 & 1 & 1 & -4 \end{pmatrix}

 

Wir denken daran, dass der Rang der Matrix der Ordnung der größten quadratischen Submatrix, die nicht null ist, entspricht. Außerdem können wir die Spalten oder Zeilen, die null oder linear abhängig zu anderen sind, streichen. Wir stellen fest, dass die dritte Spalte die Summe aus den ersten zwei Spalten ist (c_3 = c_1 + c_2). Somit bleibt uns noch die folgende Matrix, bei der wir unsere Methode anwenden.

 

 \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \\ 3 & -2 & 17 \\ 0 & 1 & -4 \end{pmatrix}

 

    • Untermatrizen der Dimension 1. Da die Matrix nicht null ist, existiert eine Untermatrix der Dimension eins mit der Determinante ungleich 0, zum Beispiel:

       \begin{vmatrix} 17 \end{vmatrix} = 17

 

    • Untermatrizen der Dimension 2. Wenn wir eine Submatrix der Dimension 2 mit der Determinante ungleich null haben, wissen wir, dass der Rang größer oder gleich 2 ist. Wir stellen also fest, dass

       \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1

       

      Somit ist die Dimension mindestens 2.

 

  • Untermatrizen der Dimension 3. Wenn wir eine Untermatrix der Dimension 2 mit der Determinante ungleich null haben, wissen wir, dass der Rang der Matrix größer oder gleich 3 ist. Wir stellen also fest, dass

     \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \end{vmatrix} = 0

     

     \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & 17 \end{vmatrix} = 0

     

     \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 0

     

     \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & -7 \\ 3 & -2 & 17 \end{vmatrix} = 0

     

     \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & -7 \\ 0 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 0

     

     \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & 17 \\ 0 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 0

     

    Da alle Untermatrizen der Dimension drei die Determinante null haben, ist der Rang der Matrix 2.

 

Deshalb gilt r(A) = 2.

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.