Übungsaufgaben zur Berechnung mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus

 

1 Berechne mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus die inverse Matrix von:

 

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

 

Berechne mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus die inverse Matrix von:

 

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

 

 1  Erstelle eine Matrix vom Typ M=\left ( A\mid I \right )

 

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

Nutze den Gauß-Jordan-Algorithmus, um die linke Hälfte, A, in die Einheitsmatrix umzuwandeln. Die Matrix, die auf der rechten Seite resultiert ist die inverse Matrix: A−1.

 

F_{2}\leftarrow F_{2}-F_{1}

 

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

F_{3}\leftarrow F_{3}+F_{2}

 

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

F_{2}\leftarrow F_{2}-F_{3}

 

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

F_{1}\leftarrow F_{1}+F_{2}

 

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

F_{2}\leftarrow (-1)\cdot F_{2}

 

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

Die inverse Matrix ist:

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

2 Berechne mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus die inverse Matrix von:

 

A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

Berechne mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus die inverse Matrix von:

 

A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

Erstelle eine Matrix vom Typ M=\left ( A\mid I \right )

 

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

Nutze den Gauß-Jordan-Algorithmus, um die linke Hälfte, A, in die Einheitsmatrix umzuwandeln. Die resultierende Matrix auf der rechten Seite ist die inverse Matrix: A−1.

 

F_{3}\leftarrow F_{3}-2F_{1}

 

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1 & \vdots & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

F_{3}\leftarrow F_{3}-2F_{2}

 

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}

 

F_{1}\leftarrow F_{1}+F_{2}

 

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}

 

1 Bestimme anhand der Determinanten die inverse Matrix von:

 

A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -4\\ 3 & 7 & -3 \end{pmatrix}

 

Bestimme anhand der Determinanten die inverse Matrix von:

 

A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -4\\ 3 & 7 & -3 \end{pmatrix}

 

Wir erhalten die Determinante

 

A=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -4\\ 3 & 7 & -3 \end{vmatrix}=54

 

Wir erhalten die adjungierte Matrix

 

A^{\ast }=\begin{pmatrix} 25 & -9 & 4\\ 7 & -9 & -14\\ -1 & 9 & 2 \end{pmatrix}

 

Wir erhalten die transponierte Matrix von A^{\ast }

 

\left (A^{\ast } \right )^{t}=\begin{pmatrix} 25 & 7 & -1\\ -9 & -9 & 9\\ 4 & -14 & 2 \end{pmatrix}

 

Wir dividieren die transponierte der adjungierten durch die Determinante:

 

A^{-1}=\cfrac{\left ( A^{\ast } \right )^{t}}{\left | A \right |}

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} \cfrac{25}{54} & \cfrac{7}{54} & -\cfrac{1}{54}\\ -\cfrac{9}{54} & -\cfrac{9}{54} & \cfrac{9}{54}\\ \cfrac{4}{54} & -\cfrac{14}{54} & \cfrac{2}{54} \end{pmatrix}

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} \cfrac{25}{54} & \cfrac{7}{54} & -\cfrac{1}{54}\\ -\cfrac{1}{6} & -\cfrac{1}{6} & \cfrac{1}{6}\\ \cfrac{2}{27} & -\cfrac{7}{27} & \cfrac{1}{27} \end{pmatrix}

 

Werte bestimmen, bei denen es keine inverse Matrix gibt

 

1 Für welche Werte von m hat die Matrix  A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & m\\ m & 0 & -1\\ 6 & -1 & 0 \end{pmatrix} keine inverse Matrix?

 

Für welche Werte von x hat die Matrix A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & m\\ m & 0 & -1\\ 6 & -1 & 0 \end{pmatrix} keine inverse Matrix?

 

Wir berechnen die Determinante der Matrix

 

\left |A \right |=\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ m & 0 & -1\\ 6 & -1 & 0 \end{vmatrix}

 

=0-m^{2}-6-0-1-0=-m^{2}-7

 

Wir setzen die Determinante gleich null und lösen die Gleichung

 

-m^{2}-7=0

m=\pm \sqrt{-7} \not{ \epsilon} \mathbb{R}

 

Somit hat die Matrix A eine inverse Matrix für irgendeinen reellen Wert von m

2 Für welche Werte von x hat die Matrix A=\begin{pmatrix} 3 & x & x\\ 1 & -1 & 0\\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix} keine inverse Matrix?

 

Für welche Werte von x hat die Matrix A=\begin{pmatrix} 3 & x & x\\ 1 & -1 & 0\\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix} keine inverse Matrix?

 

\left |A \right |=\begin{vmatrix} 3 & x & x\\ 1 & -1 & 0\\ 3 & -2 & 0 \end{vmatrix}=x\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 3 & -2 \end{vmatrix}=x

 

Für x=0 hat die Matrix A keine inverse Matrix.

 

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.