Konzept einer Matrix

 

Als Matrix bezeichnet man eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Ausdrücken, bestehend aus Zeilen und Spalten. Beispiel einer Matrix "A"

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 9 & 11\\ 4 & 3 & 10 & -2\\ 5 & 6 & -8 & 24\\ \end{pmatrix}

 

Jede Zahl, die in der Matrix vorkommt, ist ein Element. Somit sind die Elemente unserer vorhergehenden Beispielmatrix die Zahlen \left(1, 7, 9, 4, \dots \right).

 

Die Anzahl der Zeilen und Spalten einer Matrix nennt man die Dimension einer Matrix.

Eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten können wir A_{m \times n} benennen (die linke Zahl des Fußindexes gibt immer die Zeilen an, während die rechte Zahl die Spalten angibt) oder \left( a_{ij} \right) (in Klammern). Ein beliebiges Element, das sich in der Zeile i und in der Spalte j befindet, nennen wir a_{ij} (ohne Klammern). Ein Element unterscheidet sich von einem anderen durch die Position, die es einnimmt. Also die Zeile und die Spalte, zu der es gehört.

 

 A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}

 

Beispiel:

 

Aus dem vorhergehenden Beispiel wissen wir, dass die Elemente unserer Matrix A

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 9 & 11\\ 4 & 3 & 10 & -2\\ 5 & 6 & -8 & 24\\ \end{pmatrix}

 

wie folgt sind (je nach deren Position): a_{11} = 1, \, a_{12} = 7, \, a_{13} = 9, \, a_{14} = 11, \, a_{21} = 4, \, a_{22} = 3, \, a_{23} = 10, \, a_{24} = -2, \, a_{31} = 5, \, a_{32} = 6, \, a_{33} = -8\, und \, a_{34} = 24. Außerdem ist ihre Dimension 3 Zeilen und 4 Spalten, weshalb wir A als \, A_{3 \times 4} \, oder \, \left( a_{34} \right) benennen können.

 

Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie dieselbe Dimension haben und die Elemente sich jeweils an der gleichen Stelle befinden und ebenso dieselben sind. Wenn wir also in mathematischer Form die Matrizen A\; und \; B haben:

 

 A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}

 

 B= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1q} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2q}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{p1} & b_{p2} & \cdots} & b_{pq}\\ \end{pmatrix}

 

A\; und \; B sind gleich, wenn m = p, \,n = q\, und \, a_{ij} = b_{ij} für irgendeinen Wert \, i \, und \, j.

 

Beispiel:

 

Gegeben sind die Matrizen

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 &1 & 5 \\ 7 & 3 & 1 \end{pmatrix}

 

 B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 &1 & 5 \\ 7 & 3 & 1 \end{pmatrix}

 

 C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 5 \\ 7 & 3 & 1 \end{pmatrix}

 

Wir wissen, dass A\; und \; B gleich sind, da sie die selbe Dimension haben und die Elemente an den jeweiligen Positionen übereinstimmen. Jedoch sind A\; und \; C nicht gleich, da \; a_{22} = 1\;, aber \; c_{22} = 0. Deshalb gilt \; a_{22} \neq c_{22}.

 

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Los geht's

Rechnen mit Matrizen

 

Summe aus Matrizen

 

Gegeben sind die Matrizen A = (a_{ij}) \, und \,B = (b_{ij}) mit derselben Dimension. Ihre Summenmatrix ist: A + B = (a_{ij} + b_{ij}). Das heißt, jene Matrix, deren Elemente man erhält, indem man die Elemente der beiden Matrizen, die sich jeweils an der selben Position befinden, addiert (Element plus Element).

Beispiel:

 

Gegeben sind die Matrizen

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 &1 & 5 \\ 7 & 3 & 1 \end{pmatrix}

 

 B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4\\ -4 & 3 & 5 \\ 8 & -3 & 1 \end{pmatrix}

 

Summe der Matrizen:

 

     \begin{align*} A + B &= \begin{pmatrix} 1 + 0 & 2 + 1 & 1 + 4\\ 0 -4 & 1 + 3 & 5 + 5 \\ 7 + 8 & 3 - 3 & 1 + 1 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\ -4 & 4 & 10 \\ 15 & 0 & 2 \end{pmatrix}\\ \end{align*}

 

Gesetze

 

    • Assoziativ: Gegeben sind die Matrizen \;A, \; B \; und \; C, es gilt

      A + (B + C) = (A + B) + C.

 

    • Neutrales Element: Es existiert eine Matrix 0. Wenn wir diese Matrix mit der Matrix A addieren, erhalten wir

      A + 0 = A.

       

      Alle Elemente der Matrix 0 sind nur Nullen.

 

    • Additiv Inverses: Für jede Matrix A existiert eine Matrix -A = (-a_{ij}), genannt additiv Inverses für A:

      A + (-A) = A - A = 0.

       

      Die Elemente der Matrix -A sind die Elemente von A multipliziert mit -1.

 

  • Kommutativ: Gegeben sind die Matrizen \;A\; und \; B \;, es gilt

    A + B = B + A.

 

Produkt aus einer reellen Zahl und einer Matrix

 

Gegeben ist eine Matrix A = (a_{ij}) \, und eine reelle Zahl \; k \in \mathbb{R}. Das Produkt aus der Matrix und der Zahl ist wie folgt: Jedes Element der Matrix \;A wird der Reihe nach mit k multipliziert, in anderen Worten \; k\cdotA = kA = (k \cdot a_{ij}).

 

Beispiel:

 

Gegeben ist die Matrix

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 &1 & 5 \\ 7 & 3 & 1 \end{pmatrix}

 

und der reelle Skalar \; 5. Multiplikation der Matrizen

 

     \begin{align*} 5A &= 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 &1 & 5 \\ 7 & 3 & 1 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (1)(5) & (2)(5) & (1)(5)\\ (0)(5) & (1)(5) & (5)(5) \\ (7)(5) & (3)(5) & (1)(5) \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 5 & 10 & 5\\ 0 & 5 & 25 \\ 35 & 15 & 5 \end{pmatrix} \end{align*}

 

Gesetze

 

    • Assoziativität: Gegeben ist die Matrix \;A\; und die Skalare \;a\; y \;b\; , es gilt

      a \cdot (b \cdot A) = (a \cdot b) \cdot A.

 

    • Distributivität bei den Skalaren : Gegeben ist die Matrix \;A\; und die Skalare \;a\; und \;b\; , es gilt

      (a + b) \cdot A = a \cdot A + b \cdot A.

 

    • Distributivität bei den Matrizen: Gegeben sind die Matrizen \;A\; und \; B \; und der Skalar \;a, es gilt

      a \cdot (A + B) = a\cdot A + a \cdot B.

 

  • Neutraler Skalar: Gegeben ist die Matrix \;A\; und der Skalar \;1, es gilt

    1 \cdot A = A.

 

Produkt aus Matrizen

 

Zwei Matrizen \;A\; und \; B \; lassen sich nur dann miteinander multiplizieren, wenn die Anzahl der Spalten von \;A\; mit der Anzahl der Zeilen von \; B \; übereinstimmt.

 

Die Multiplikation zweier multiplizierbarer Matrizen \;A_{m \times n}\; und \; B_{n \times p} \; ergibt eine neue Matrix \; C_{m \times p} , deren Anzahl der Zeilen mit der Anzahl der Zeilen von \;A\; und deren Anzahl der Spalten mit der Anzahl der Spalten von \; B \; übereinstimmt.

 

A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = C_{m \times p}

 

Das Element \;c_{ij} \; der Produktmatrix erhält man, indem man jedes Element der Zeile \; i \; der Matrix \; A \; mit jedem Element der Spalte \; j \; der Matrix \; B \; multipliziert und sie addiert \; \left( c_{ij} = \sum_{k = 1}^{m}{a_{ik} \cdot b_{kj}} \right).

 

Beispiel:

 

Gegeben sind die Matrizen

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 &1 & 5 \\ 7 & 3 & 1 \end{pmatrix}

 

 B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4\\ -4 & 3 & 5 \\ 8 & -3 & 1 \end{pmatrix}

 

Multiplikation der Matrizen:

 

     {\scriptsize \begin{align*} A \cdot B &= \begin{pmatrix} (1)(0) + (2)(-4) + (1)(8) & (1)(1) + (2)(3) + (1)(-3) & (1)(4) + (2)(5) + (1)(1)\\ (0)(0) + (1)(-4) + (5)(8) & (0)(1) + (1)(3) + (5)(-3) & (0)(4) + (1)(5) + (5)(1)\\ (7)(0) + (3)(-4) + (1)(8) & (7)(1) + (3)(3) + (1)(-3) & (7)(4) + (3)(5) + (1)(1) \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 0 & 4 & 15\\ 36 & -12 & 10\\ -4 & 13 & 44 \end{pmatrix}\\ \end{align*} }

 

Gesetze

 

    • Assoziativ: Gegeben sind die Matrizen \;A, \;B\; und \; C, es gilt

      A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C.

 

    • Neutrales Element: Gegeben ist die Matrix \;A_{m\times n}\;, für die eine Matrix \; I_{n \times n} \; existiert. Es gilt

      A \cdot I = I \cdot A = A.

       

      Die Diagonale der Matrix I enthält ausschließlich 1, alle anderen Zahlen sind 0

       

       I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1\\ \end{pmatrix}

 

    • Nicht-kommutativ: Gegeben sind die Matrizen \;A\; und \; B. Für die meisten Fälle gilt

       A \cdot B \neq B \cdot A.

 

  • Distributivität des Produkts in Bezug auf die Summe: Für die gegebenen Matrizen \;A, \; B \; und \; C gilt

    A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C.

     

     (B + C) \cdot A = B \cdot A + C \cdot A.

 

Inverse Matrix

 

\; A_{n \times n} \; ist eine Matrix mit der gleichen Anzahl an Zeilen und Spalten. Wenn eine Matrix \; A^{-1} existiert, für die gilt

 

A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I,

 

wobei \; I \; die Einheitsmatrix ist, sagen wir, die Matrix \; A \; ist invertierbar oder regulär. Außerdem ist \; A^{-1} \; die inverse Matrix zu \; A.

 

Beispiel:

 

Gegeben ist die Matrix

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} .

 

Inverse Matrix:

 

 A^{-1} = \begin{pmatrix} 1& 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

Um dies zu überprüfen, sehen wir uns Folgendes an

 

     \begin{align*} A \cdot A^{-1} &= {\tiny \begin{pmatrix} (1)(1) + (1)(0) + (0)(-1) & (1)(0) + (1)(0) + (0)(1) & (1)(-1) + (1)(1) + (0)(1)\\ (1)(1) + (0)(0) + (1)(-1) & (1)(0) + (0)(0) + (1)(1) & (1)(-1) + (0)(1) + (1)(1)\\ (0)(1) + (1)(0) + (0)(-1) & (0)(0) + (1)(0) + (0)(1) & (0)(-1) + (1)(1) + (0)(1) \end{pmatrix}}\\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ \end{align*}

 

Gesetze

 

    • (A \cdot B)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}

 

    • \left(A^{-1}\right)^{-1} = A

 

    • \left(k\cdot A\right)^{-1} = \frac{1}{k} \cdot A^{-1}

 

  • \left(A^{T}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{T}

 

Arten von Matrizen

 

1. Zeilenmatrix

 

Eine Matrix, die nur aus einer Zeile besteht.

 

 A_{1n} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \end{pmatrix}

 

Beispiel:

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \end{pmatrix}

 

2. Spaltenmatrix

 

 A_{1n} = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix}

 

Beispiel:

 

 A = \begin{pmatrix} 10\\ 7\\ 8\\ 15 \end{pmatrix}

 

3. Rechteckige Matrix

 

Bei dieser Matrix stimmt die Anzahl der Zeilen nicht mit der Anzahl der Spalten überein, ihre Dimension ist m \times n , \quad m \neq n.

 

 A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}

 

Beispiel:

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 9 & 11\\ 4 & 3 & 10 & -2\\ 5 & 6 & -8 & 24\\ \end{pmatrix}

 

4. Quadratische Matrix

 

Die Anzahl der Zeilen stimmt mit der Anzahl der Spalten überein.

 

Die Elemente der Form \, a_{ii} \, bilden die Hauptdiagonale.

 

Die Nebendiagonale besteht aus den Elementen, für deren Indizes Folgendes gilt: i+j=n+1

 

 A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{pmatrix}

 

Beispiel:

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 5 \\ 7 & 3 & 1 \end{pmatrix}

 

5 Nullmatrix

 

Alle Elemente sind null.

 

 A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}

 

Wobei \, a_{ij} = 0\, für alle \, i \, und \, j \,.

 

Beispiel:

 

 A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}

 

6. Obere Dreiecksmatrix

 

Die Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind \, 0.

 A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\\ \end{pmatrix}

 

Beispiel:

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

Da die Definition von der Hauptdiagonalen abhängt, muss die Matrix quadratisch sein.

 

7. Untere Dreiecksmatrix

 

Die Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind \, 0.

 

 A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{pmatrix}

 

Beispiel:

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 10 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}

 

Da die Definition von der Hauptdiagonalen abhängt, muss die Matrix quadratisch sein.

 

8. Diagonalmatrix

 

Alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen sind null.

 

 A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\\ \end{pmatrix}

 

Beispiel:

 

 A = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

Da es sich um Dreiecksmatrizen handelt, sind die Matrizen quadratisch.

 

9. Skalarmatrix

 

Eine Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonalen gleich sind.

 A = \begin{pmatrix} a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & a\\ \end{pmatrix}

 

Beispiel:

 

 A = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}

 

Da es sich um eine Diagonalmatrix handelt, ist die Matrix quadratisch.

 

10. Einheitsmatrix

 

Eine Diagonalmatrix, bei der die Elemente der Hauptdiagonalen 1 sind.

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1\\ \end{pmatrix}

 

Beispiel:

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1 \\ \end{pmatrix}

 

Da es sich um eine Skalarmatrix handelt, ist die Matrix quadratisch.

 

11. Transponierte Matrix

Die transponierte Matrix einer Matrix A ist die Matrix, die man erhält, wenn man die Zeilen und Spalten vertauscht (die erste Zeile wird zur ersten Spalte usw.). Wenn wir die Matrix \, A haben,

 A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}

 

ist deren transponierte Matrix \, A^{T}, für die gilt

 

 A^T = \begin{pmatrix} a'_{11} & a'_{12} & \cdots & a'_{1m} \\ a'_{21} & a'_{22} & \cdots & a'_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a'_{n1} & a'_{n2} & \cdots & a'_{nm}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}

 

Beispiel:

 

Gegeben ist die Matrix

 

 A = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 2 \end{pmatrix}

 

deren transponierte Matrix

 

 A^T = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

ist.

Eigenschaften:

 

    • \left(A^{T}\right)^{T} = A

 

    • \left(A + B \right)^{T} = A^T + B^T

 

    • \left(k\cdot A\right)^{T} = k \cdot A^{T}

 

  • \left(A\cdot B\right)^{T} = B^T \cdot A^{T}

 

12. Reguläre Matrix

 

Quadratische Matrix, die eine Inverse besitzt.

 

13. Singuläre Matrix

 

Matrix, deren inverse Matrix nicht existiert. Zum Beispiel existiert für keine rechteckige Matrix (nicht quadratisch) eine Inverse (eine Matrix muss quadratisch sein, damit eine Inverse existiert).

14. Idempotente Matrix

 

Für eine idempotente Matrix gilt:

 

 A^2 = A

 

Beispiel:

 

Sehen wir uns folgende Matrix an

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 0 \end{pmatrix} ,

 

Wir stellen fest, dass

 

     \begin{align*} A^2 &= A \cdot A\\ &= {\scriptsize \begin{pmatrix} (1)(1) + (0)(3) + & (1)(0) + (0)(0)\\ (3)(1) + (0)(3) + & (3)(0) + (0)(0)\\ \end{pmatrix}}\\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\\ \end{align*}

 

15. Selbstinverse Matrix

 

Für eine selbstinverse Matrix gilt:

 

 A^2 = I

 

Beispiel:

 

Wir sehen uns folgende Matrix an

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & -1 \end{pmatrix} ,

 

Wir stellen fest, dass

 

     \begin{align*} A^2 &= A \cdot A\\ &= {\scriptsize \begin{pmatrix} (1)(1) + (-1)(0) + & (1)(-1) + (-1)(-1)\\ (0)(1) + (-1)(0) + & (0)(-1) + (-1)(-1)\\ \end{pmatrix}}\\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\ \end{align*}

 

16. Symmetrische Matrix

 

Für eine symmetrische Matrix gilt

 

 A^T = A

 

Beispiel:

 

Wir sehen uns folgende Matrix an

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\ 0 & 7 & -1\\ 3 & -1 & 9 \end{pmatrix} ,

 

Wir stellen fest, dass

 

     \begin{align*} A^T &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\ 0 & 7 & -1\\ 3 & -1 & 9 \end{pmatrix}\\ &= A \end{align*}

.

 

17. Antisymmetrische oder schiefsymmetrische Matrix

 

Für eine antisymmetrische Matrix gilt:

 

 A^T = -A

 

Beispiel:

 

Wir sehen uns folgende Matrix an

 

 A = \begin{pmatrix} 0 & -7 & 3\\ 7 & 0 & -1\\ -3 & 1 & 0 \end{pmatrix}\\ ,

 

Wir stellen fest, dass

 

     \begin{align*} A^T &= \begin{pmatrix} 0 & 7 & -3\\ -7 & 0 & 1\\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}\\ &= -A \end{align*}

.

 

18. Orthogonale Matrix

 

Für eine orthogonale Matrix gilt:

 

 A \cdot A^T = I

 

Beispiel:

 

Wir sehen uns folgende Matrix an

 

 A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\\ ,

 

Wir stellen fest, dass ihre transponierte Matrix

 

 A^T = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\ ,

ist.

 

Wir multiplizieren \; A \; mit ihrer transponierten Matrix \; A^T \; und erhalten

 

     \begin{align*} A \cdot A^T &= \begin{pmatrix} (0)(0) + (1)(1) & (0)(-1) + (1)(0)\\ (-1)(0) + (0)(1) & (-1)(-1) + (0)(0)\\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\ &= I \end{align*}

.

 

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.