Gleichungen mit Matrizen

1 Gegeben sind folgende Matrizen:

 

A=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \hspace{1cm} B=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 2 & -5 \end{pmatrix}
 

Löse folgende Gleichung:

 

A\cdot X = B
 

 

1 Wir überprüfen, ob die Matrix A eine inverse Matrix hat. Eine Matrix ist invertierbar, wenn ihre  Determinante ungleich null ist. Deshalb berechnen wir die Determinante der Matrix A 
|A|=\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1\neq 0
Dies besagt uns, dass die Matrix  A invertierbar ist.
2 Wir berechnen die inverse Matrix von A. Die Formel dafür lautet wie folgt:
\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot (A^{*})^t
wobei gilt

    \begin{align*} A^{-1}\hspace{1cm} & \text{inverse Matrix}\\ |A| \hspace{1cm}& \text{Determinante der Matrix}\\ A^{*} \hspace{1cm} &\text{adjungierte Matrix}\\ (A^{*})^t \hspace{1cm} &\text{transponierte Matrix der adjungierten Matrix} \end{align*}

Die adjungierte Matrix ist in diesem Fall: 

A^{*}=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix}
Die transponierte Matrix der adjungierten ist: 
(A^{*})^{t}=\begin{pmatrix} 2 & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix}
Deshalb ist die inverse Matrix der Matrix A
A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix}
3 Die Gleichung mithilfe der Regeln für das Rechnen mit Matrizen umschreiben. Da A eine Inverse besitzt, können wir beide Seiten der Gleichung mit A^{-1} multiplizieren und erhalten somit:
A^{-1} \cdot(A\cdot X)=A^{-1}\cdot B \Rightarrow (A^{-1} \cdot A)\cdot X=A^{-1}\cdot B
 
\Rightarrow (I)\cdot X=A^{-1}\cdot B \Rightarrow X=A^{-1}\cdot B
I ist hierbei die Einheitsmatrix (in diesem Fall 2x2).
4 Wir ersetzen die gefundenen Werte und lösen die Gleichung. 
X=A^{-1}\cdot B \Rightarrow X=\begin{pmatrix} 2 & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 2 & -5 \end{pmatrix}
 
X=\begin{pmatrix} 0 & 17\\ 1 & -11 \end{pmatrix}
 


2 Gegeben sind die Matrizen:

 

A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \hspace{0.5cm} B=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\hspace{0.5cm} C=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}
 

Löse folgende Gleichung:

 

X \cdot A+B=C

1 Die Gleichung mithilfe der Regeln für das Rechnen mit Matrizen umschreiben. Zuerst müssen wir X in der Gleichung bestimmen:
X \cdot A+B=C \Rightarrow X \cdot A=C-B \Rightarrow X=(C-B)\cdot A^{-1}
2 Wir berechnen die inverse Matrix von A. Zuerst überprüfen wir, ob A invertierbar ist. Dazu müssen wir die Determinante berechnen:
|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1\neq 0
Wir stellen fest, dass A invertierbar ist. Für die inverse Matrix von A gilt: 
\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot (A^{*})^t
Wobei gilt

    \begin{align*} A^{-1}\hspace{1cm} & \text{inverse Matrix}\\ |A| \hspace{1cm}& \text{Determinante der Matrix}\\ A^{*} \hspace{1cm} &\text{adjungierte Matrix}\\ (A^{*})^t \hspace{1cm} &\text{transponierte Matrix der adjungierten Matrix} \end{align*}

Durch unsere Berechnungen erhalten wir: 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}
3 Wir ersetzen die gefundenen Werte und lösen die Gleichung:
X=(C-B)\cdot A^{-1}
Wir ersetzen die Werte für A^{-1}, B und C und erhalten: 
X=\Bigg(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\Bigg)\cdot \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}
 
\Rightarrow X=\begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & -2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}
 
\Rightarrow X=\begin{pmatrix} -3 & 2\\ 4 & -3 \end{pmatrix}
 

 

A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \hspace{0.5cm} B=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.5cm} C=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{pmatrix}
 

Berechne den Wert von X in den folgenden Gleichungen:

1 X\cdot A=B+I

 

1 Nutze die Rechenregeln für Matrizen, um die Gleichung umzuformen.

Zuerst müssen wir X in der Gleichung bestimmen:

 

X\cdot A=B+I \Rightarrow X=(B+I)\cdot A^{-1}
 

I bedeutet hier die Einheitsmatrix (in diesem Fall 2\times 2).

 

2 Wir berechnen die inverse Matrix von A.

 

Zunächst überprüfen wir, ob A invertierbar ist. Dazu müssen wir die Determinante berechnen:

 

|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 3 & 4 \end{vmatrix}=1\neq 0
 

Dies sagt uns, dass die Matrix A invertierbar ist.

 

Die inverse Matrix von A ist gegeben durch:

 

\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot (A^{*})^t
wobei gilt

 

    \begin{align*} A^{-1}\hspace{1cm} & \text{inverse Matrix}\\ |A| \hspace{1cm}& \text{Determinante der Matrix}\\ A^{*} \hspace{1cm} &\text{adjungierte Matrix}\\ (A^{*})^t \hspace{1cm} &\text{transponierte Matrix der adjungierten Matrix} \end{align*}

 

Durch die Berechnungen erhalten wir:

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}
 

3 Wir ersetzen die gefundenen Werte und lösen die Gleichung:

 

Wir haben die Gleichung:

 

X=(B+I)\cdot A^{-1}
 

Wir ersetzen die Werte für A^{-1}, B und I, und erhalten:

 

X=\Bigg(\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\Bigg)\cdot \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 9 & -2\\ -2 & 1 \end{pmatrix}
 


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2 A\cdot X+B=C

 

 

1 Die Gleichung mithilfe der Regeln für das Rechnen mit Matrizen umschreiben.

 

Zunächst müssen wir X in der Gleichung bestimmen:

 

A\cdot X+B=C \Rightarrow A\cdot X=C-B \Rightarrow X=A^{-1}\cdot(C-B)
 

2 Wir berechnen die inverse Matrix von A.

 

Aus Aufgabe 1 wissen wir, die inverse Matrix von A ist:

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}
 

3 Wir ersetzen die gefundenen Werte und lösen die Gleichung:

 

Wir haben die Gleichung:

 

X=A^{-1}\cdot(C-B)
 

Wir ersetzen die Werte für A^{-1}, B und C, und erhalten:

 

X=\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}\cdot\Bigg(\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\Bigg)
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -1 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} -4 & 2\\ 3 & -1 \end{pmatrix}
 

 

3 X\cdot A+B=2\cdot C

 

 

1 Die Gleichung mithilfe der Regeln für das Rechnen mit Matrizen umschreiben.

 

Zunächst müssen wir X in der Gleichung bestimmen:

 

X\cdot A+B=2\cdot C \Rightarrow X\cdot A=2\cdot C-B \Rightarrow X=(2\cdot C-B)\cdot A^{-1}
 

2 Wir berechnen die inverse Matrix von A.

 

Aus Aufgabe 1 wissen wir, die inverse Matrix von A ist:

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}
 

3 Wir ersetzen die gefundenen Werte und lösen die Gleichung:

 

Wir haben die Gleichung:

 

X=A^{-1}\cdot(C-B)
 

Wir ersetzen die Werte für A^{-1}, B und C, und erhalten:

 

X=\Bigg(2\cdot\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\Bigg)\cdot\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\Bigg(\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 2 & 6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\Bigg)\cdot\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 0 & 3\\ 1 & 5 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} -9 & 3\\ -11 & 4 \end{pmatrix}
 

 

4 A\cdot X+B\cdot X=C

 

 

1 Die Gleichung mithilfe der Regeln für das Rechnen mit Matrizen umschreiben.

 

Zunächst müssen wir X in der Gleichung bestimmen:

 

A\cdot X+B\cdot X=C \Rightarrow (A+B)\cdot X = C \Rightarrow X=(A+B)^{-1}\cdot C
 

2 Wir berechnen die inverse Matrix von A+B.

 

Zuerst müssen wir die Matrizen A und B addieren:

 

A+B=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 3 & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 4 & 5 \end{pmatrix}
 

Für die inverse Matrix einer Matrix M gilt die folgende Formel:

 

\displaystyle M^{-1}=\frac{1}{|M|}\cdot (M^{*})^t
wobei gilt

 

    \begin{align*} M^{-1}\hspace{1cm} & \text{inverse Matrix}\\ |M| \hspace{1cm}& \text{Determinante der Matrix}\\ M^{*} \hspace{1cm} &\text{adjungierte Matrix}\\ (M^{*})^t \hspace{1cm} &\text{transponierte Matrix der adjungierten Matrix} \end{align*}

 

Durch unsere Berechnungen erhalten wir die inverse Matrix von A+B:

 

(A+B)^{-1}=\begin{pmatrix} 5/7 & -2/7\\ -4/7 & 3/7 \end{pmatrix}
 

3 Wir ersetzen die gefundenen Werte und lösen die Gleichung:

 

Wir haben die Gleichung:

 

X=(A+B)^{-1}\cdot C
 

Wir ersetzen die Werte für (A+B)^{-1} und C, und erhalten:

 

X=\begin{pmatrix} 5/7 & -2/7\\ -4/7 & 3/7 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 3/7 & 4/7\\ -1/7 & 1/7 \end{pmatrix}
 

 

5 X\cdot A\cdot B-X\cdot C=2\cdot C

 

 

1 Die Gleichung mithilfe der Regeln für das Rechnen mit Matrizen umschreiben.

 

Zunächst müssen wir X in der Gleichung bestimmen:

 

X\cdot A\cdot B-X\cdot C=2\cdot C \Rightarrow X\cdot(A\cdot B-C)=2\cdot C \Rightarrow X=2\cdot C \cdot (A\cdot B-C)^{-1}
 

2 Finde die Matrix, die sich aus  A\cdot B-C ergibt

 

Wenn wir die Werte für A, B und C ersetzen und die entsprechenden Rechenschritte durchführen, erhalten wir:

 

A\cdot B-C=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{pmatrix}
 

=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 10 & 7 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 9 & 4 \end{pmatrix}
 

3 Bestimme die inverse Matrix von A\cdot B-C.

 

Bevor wir die inverse Matrix bestimmen können, müssen wir überprüfen, ob die Matrix invertierbar ist. Dazu berechnen wir ihre Determinante.

 

|A\cdot B-C|=\begin{vmatrix} 2 & 0\\ 9 & 4 \end{vmatrix}=8\neq 0
 

A\cdot B-C besagt uns, dass sie invertierbar ist. Nun ist die inverse Matrix einer Matrix M durch folgende Formel gegeben:

 

 

\displaystyle M^{-1}=\frac{1}{|M|}\cdot (M^{*})^t
wobei gilt

 

    \begin{align*} M^{-1}\hspace{1cm} & \text{inverse Matrix}\\ |M| \hspace{1cm}& \text{Determinante der Matrix}\\ M^{*} \hspace{1cm} &\text{adjungierte Matrix}\\ (M^{*})^t \hspace{1cm} &\text{transponierte Matrix der adjungierten Matrix} \end{align*}

 

Wenn wir also in diesem Fall die Berechnungen durchführen, sollten wir Folgendes erhalten:

 

(A\cdot B-C)^{-1}=\begin{pmatrix} 4/8 & 0\\ -9/8 & 2/8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1/2 & 0\\ -9/8 & 1/4 \end{pmatrix}
 

4 Wir ersetzen die gefunden Werten und lösen die Gleichung:

 

Wir haben die Gleichung:

 

X=2\cdot C\cdot(A\cdot B-C)^{-1}
 

Wir ersetzen die Werte für (A\cdot B-C)^{-1} und C, und erhalten:

 

X=2\cdot \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{pmatrix}\codt\begin{pmatrix} 1/2 & 0\\ -9/8 & 1/4 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 2 & 6 \end{pmatrix}\codt\begin{pmatrix} 1/2 & 0\\ -9/8 & 1/4 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} -7/2 & 1\\ -23/4 & 3/2 \end{pmatrix}
 

 

Matrizengleichungen

 

Gegeben sind folgende Matrizen:

 

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \hspace{0.5cm} B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.5cm} C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
 

Löse die Gleichung:

 

1 A\cdot X+2\cdot B=3\cdot C

 

 

1 Die Gleichung mithilfe der Regeln für das Rechnen mit Matrizen umschreiben.

 

Zuerst müssen wir X in der Gleichung bestimmen:

 

A\cdot X+2\cdot B=3\cdot C \Rightarrow A\cdot X=3\cdot C-2\cdot B \Rightarrow X=A^{-1}\cdot(3\cdot C-2\cdot B)
 

2 Bestimme die inverse Matrix von A.

 

Zuerst überprüfen wir, ob A invertierbar ist. Dazu müssen wir die Determinante wie folgt bestimmen:

 

|A|=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=1\neq 0
 

Dies besagt uns, dass die Matrix A invertierbar ist.

 

Die inverse Matrix von A ist gegeben durch:

 

\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot (A^{*})^t
wobei gilt:

 

    \begin{align*} A^{-1}\hspace{1cm} & \text{inverse Matrix}\\ |A| \hspace{1cm}& \text{Determinante der Matrix}\\ A^{*} \hspace{1cm} &\text{adjungierte Matrix}\\ (A^{*})^t \hspace{1cm} &\text{transponierte Matrix der adjungierten Matrix} \end{align*}

 

Durch unsere Berechnungen erhalten wir:

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
 

3 Wir ersetzen die gefunden Werte und lösen die Gleichung.

Wenn wir die Werte für A^{-1}, B und C in der Gleichung ersetzen und die Gleichung lösen, erhalten wir:

 

X=A^{-1}\cdot(3\cdot C-2\cdot B)
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\Bigg(3\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}-2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\Bigg)
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\Bigg(\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\Bigg)
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}
 

\RightarrowX=\begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -5 & 5 & 2 \\ 5 & -3 & 1 \end{pmatrix}
 

 

Gleichungssysteme mit Matrizen

 

1Löse das Gleichungssystem in Form einer Matrix:

 

\left\{\begin{matrix} x+y+z & =6\\ x+2y+5z& =12 \\ x+4y+25z & =36 \end{matrix}\right.
 

1 Schreibe das Gleichungssystem in eine Matrix um. Mit den Koeffizienten der Gleichungen können wir folgende Matrix erstellen:
M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 25 \end{pmatrix}
Nun nehmen wir die drei Unbekannten (x,\ y,\ z) und bilden den Spaltenvektor:
V=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}
Schließlich nutzen wir die Lösungen der Gleichungen und schreiben sie wie folgt als Spaltenvektor:
S=\begin{pmatrix} 6\\ 12\\ 36 \end{pmatrix}
Wenn wir die Gleichungen also in Form einer Matrix schreiben, erhalten wir:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 25 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\ 12\\ 36 \end{pmatrix}
 
\Rightarrow M\cdot V= S
 
\Rightarrow V=M^{-1}\cdot S
2 Bestimme die Inverse von M. Zunächst überprüfen wir, ob M invertierbar ist. Dazu müssen wir die Determinante berechnen:
|M|=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 25 \end{vmatrix}=12\neq 0
Dies besagt uns, dass die Matrix M invertierbar ist. Die inverse Matrix von M ist gegeben durch: 
\displaystyle M^{-1}=\frac{1}{|M|}\cdot (M^{*})^t
wobei gilt

    \begin{align*} M^{-1}\hspace{1cm} & \text{inverse Matrix}\\ |M| \hspace{1cm}& \text{Determinante der Matrix}\\ M^{*} \hspace{1cm} &\text{adjungierte Matrix}\\ (M^{*})^t \hspace{1cm} &\text{transponierte Matrix der adjungierten Matrix} \end{align*}

Durch unsere Berechnungen erhalten wir:

M^{-1}=\begin{pmatrix} 30/12 & -21/12 & 3/12 \\ -20/12 & 24/12 & -4/12 \\ 2/12 & -3/12 & 1/12 \end{pmatrix}
3 Wir ersetzen die gefundenen Werte und lösen die Gleichung. Wir haben folgende Gleichung:
V=M^{-1}\cdot S
Wenn wir die Werte für V, M^{-1} und S ersetzen und die Gleichung lösen, erhalten wir:
\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 30/12 & -21/12 & 3/12 \\ -20/12 & 24/12 & -4/12 \\ 2/12 & -3/12 & 1/12 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 6\\ 12\\ 36 \end{pmatrix}
 
\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}
Dies bedeutet: 
x=3 \hspace{0.5cm} y=2 \hspace{0.5cm} z=1 \hspace{0.5cm}
 

 

Berechnung von Matrizen in Gleichungssystemen

 

1Bestimme die Matrizen A und B, um das Gleichungssystem zu überprüfen:

 

\left\{\begin{matrix} 2\cdot A+B=&\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\vspace{0.5cm} \\ A-3\cdot B=&\begin{pmatrix} -4 & -3 & -2\\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{matrix}\right.
 

Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit −2 
\left\{\begin{matrix} 2\cdot A+B=&\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\vspace{0.5cm} \\ -2\cdot A+6\cdot B=&\begin{pmatrix} 8 & 6 & 4\\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{matrix}\right.
Wir addieren die erste und die zweite Gleichung und erhalten:
\begin{matrix} 7\cdot B= &\begin{pmatrix} 9 & 8 & 6\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{matrix}
 
\Rightarrow B=& \frac{1}{7}\cdot\begin{pmatrix} 9 & 8 & 6\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{9}{7} & \frac{8}{7} & \frac{6}{7}\vspace{0.2cm}\\ 0 & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}
Nun nehmen wir die erste Gleichung und lösen nach A auf. Wir ersetzen dabei den für B gefundenen Wert.
2\cdot A+B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}
 
\Rightarrow A=\frac{1}{2}\cdot\Bigg(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{9}{7} & \frac{8}{7} & \frac{6}{7}\vspace{0.2cm}\\ 0 & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}\Bigg)
 
\Rightarrow A=\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-2}{7} & \frac{6}{7} & \frac{8}{7}\vspace{0.2cm}\\ -2 & \frac{6}{7} & \frac{-2}{7} \end{pmatrix}
 
\Rightarrow A=\begin{pmatrix} \frac{-1}{7} & \frac{3}{7} & \frac{4}{7}\vspace{0.2cm}\\ -1 & \frac{3}{7} & \frac{-1}{7} \end{pmatrix}
 

2Löse die Gleichung:

 

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & x & 1\\ 1 & 1 & x^{2} \end{vmatrix}=0
 

Die Determinanten berechnen wir nicht.

 

Um diese Gleichung zu lösen, ohne die Determinanten zu berechnen, denken wir daran, dass die Determinante 0 ist, wenn der Rang der Matrix nicht vollständig ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass eine der Zeilen eine Linearkombination der beiden anderen ist. Wir benennen wie folgt: F_1 für die erste Zeile, F_2 für die zweite Zeile und F_3 für die dritte Zeile. Folglich ist die Determinante 0, wenn gilt:
F_1=\alpha\cdot F_2+\beta\cdot F_3
Wir können nun das folgende Gleichungssystem erstellen:
\left\{\begin{matrix} \alpha+\beta=1 \\ \alpha\cdot x+\beta=1 \\ \alpha +\beta\cdot x^{2}=1 \end{matrix}\right.
Wir denken daran, dass, obwohl es sich nicht um ein lineares System handelt, es 3 Variablen und 3 Gleichungen sind. Somit können wir sie lösen. Wir beginnen mit der Gleichsetzung der ersten beiden Gleichungen:
\alpha+\beta=\alpha\cdot x+\beta \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \alpha=\alpha\cdot x
Hier gibt es zwei Fälle: \alpha = 0 oder \alpha \neq 0. Wenn \alpha \neq 0, können wir die Gleichung durch \alpha teilen, um x = 1 zu erhalten. Nehmen wir nun an, da \alpha = 0 ist, dass aus der ersten Gleichung folgt:
1=\alpha+\beta=\beta
Deshalb ist \beta = 1. Bei der dritten Gleichung haben wir dann:
1=\alpha+\beta\cdot x^{2}\Rightarrow 1=x^{2}
Daraus ergibt sich x = \pm 1. Die Lösungen sind also x=1 und x=-1

3Löse die Gleichung:

 

\begin{vmatrix} a & b & c\\ a & x & c\\ a & b & x^{2} \end{vmatrix}=0
 

Die Determinanten berechnen wir nicht.

 

Die Determinante in dieser Aufgabe ist komplizierte als im vorherigen Beispiel. Dies liegt daran, dass wir arbiträre Einträge haben: a, b und c.
Wenn wir jedoch alle Lösungen finden möchten, müssen wir wie in der vorhergehenden Aufgabe vorgehen. Wir benennen zunächst die Zeilen: F_1, F_2 und F_3. Somit ergibt sich folgendes Gleichunssystem:
\left\{\begin{matrix} \alpha\cdot a+\beta\cdot a=a \hspace{1cm} Erste\ Spalte\\ \alpha\cdot x+\beta\cdot b=b \hspace{1cm} Zweite\ Spalte\\ \alpha\cdot c+\beta\cdot x^{2}=c \hspace{1cm} Dritte\ Spalte \end{matrix}\right.
Wir stellen fest, dass die Variablen des Gleichungssystems \alpha, \beta und x sind. Die Buchstaben a, b und c sind keine Variablen. Deshalb sind die Lösungen in den Termen a, b und c zu finden. Wir haben wieder kein lineares Gleichungssystem. Wir beginnen mit der Bestimmung von \alpha in der ersten Gleichung und erhalten:
\alpha\cdot a+\beta\cdot a=a \Rightarrow \alpha+\beta=1 \Rightarrow \alpha=1-\beta
In diesem Fall nehmen wir an, dass a \neq 0 (im Fall von a = 0 löst ein beliebiger Wert für x die Gleichung). Wenn wir den Wert für \alpha in der zweiten Gleichung ersetzen und \beta bestimmen, erhalten wir:
\alpha\cdot x+\beta\cdot b=b \Rightarrow (1-\beta)\cdot x+\beta\cdot b=b \Rightarrow (1-\beta)\cdot x=(1-\beta)\cdot b \Rightarrow x=b
Somit ist x=b eine Lösung. Anstatt den Wert für \alpha=1-\beta in der zweiten Gleichung zu ersetzen, ersetzen wir ihn in der dritten Gleichung:
\alpha\cdot c+\beta\cdot x^{2}=c \Rightarrow (1-\beta)\cdot c+\beta\cdot x^{2}=c
 
\Rightarrow \beta\cdot x^{2}=\beta\cdot c \Rightarrow x=\pm\sqrt{c}
Somit sind unsere Lösungen: x=b und x=\pm\sqrt{c}

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.