Bestimme die Ellipsengleichung
Bevor wir die Aufgaben lösen, kannst du dir die Zusammenfassung über die Eigenschaften der Ellipse und ihre Gleichung ansehen.
Bestimme die Gleichung des geometrischen Ortes der Punkte 
, deren Summe der Abstände zu den Fixpunkten 
und 
gleich 
ist.
Es muss gelten, dass die Summe der Abstände 
und 
immer ist. Das heißt:
Wir erhalten also
Wir stellen die Gleichung um
Schließlich quadrieren wir und erhalten
Wir stellen fest, dass der Term 
auf beiden Seiten der Gleichung steht. Daher können wir ihn kürzen und es bleibt
Wir lösen die Binome zum Quadrat und erhalten
Wenn wir gleichartige Terme 
durch Division der Gleichung durch 
— umgruppieren, erhalten wir
Wir haben bereits eine Wurzel beseitigt. Um die andere loszuwerden, wiederholen wir den Vorgang. Wir quadrieren den Ausdruck, lösen die Binome und stellen Terme um:
Das heißt:
Bestimme die Gleichung der Ellipse mit dem Brennpunkt
, dem Scheitelpunkt 
und dem Mittelpunkt 
.
Wir wissen, dass die große Halbachse der Abstannd zwischen dem Mittelpunkt 
und dem Scheitelpunkt 
ist. Das heißt:
Außerdem ist die halbe Brennweite die Distanz zwischen dem Mittelpunkt und dem Brennpunkt 
der Ellipse — also die Hälfte der Distanz zwischen den zwei Brennpunkten — das heißt,
Schließlich berechnen wir die kleine Halbachse
Die Mittelpunktsgleichung der Ellipse ist also gegeben durch:
Bestimme die Ellipsengleichung mit folgenden Informationen:
Wir zeigen dir die Berechnung mit den ersten gegebenen Punkten im Detail.
Wir wissen, dass die große Halbachse die Distanz zwischen dem Mittelpunkt und dem Scheitelpunkt ist, also
Außerdem ist die halbe Brennweite der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und dem Brennpunkt der Ellipse — also die Hälfte des Abstands zwischen den zwei Brennpunkten — das heißt:
Schließlich berechnen wir die kleine Halbachse
Die Mittelpunktsgleichung der Ellipse ist:
Wir erhalten
Die kleine Halbachse ist somit gegeben durch
Die Mittelpunktsgleichung der Ellipse ist:
In diesem Fall dividieren wir 
durch 
anstatt 
. Der Grund dafür ist, dass die Hauptachse vertikal verläuft (sowohl , und haben den gleichen Wert für 
).
Die Hauptachse verläuft also vertikal:
Die kleine Halbachse ist somit gegeben durch
Die Mittelpunktsgleichung der Ellipse ist:
Wir beachten nun, dass die 
-Koordinaten an jedem Punkt festgelegt sind. Die Hauptachse der Ellipse verläuft also horizontal.
Außerdem
Die Mittelpunktsgleichung der Ellipse ist
Bestimme die Mittelpunktsgleichung einer Ellipse, deren Hauptachse horizontal verläuft. Einer der Brennpunkte liegt von einem Scheitelpunkt entfernt und 
vom anderen Scheitelpunkt. Der Mittelpunkt befindet sich im Ursprung.
Sieh dir folgende Abbildung an:
Wir wissen, dass die Brennweite 
sein muss. Die halbe Brennweite ist also
Das ist die Entfernung vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Brennpunkt. Der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und dem Scheitelpunkt beträgt somit
Somit erhalten wir
Die Ellipsengleichung lautet somit
Bestimme die Mittelpunktsgleichung einer Ellipse, die durch den Punkt 
verläuft. Der Mittelpunkt liegt im Ursprung, die Hauptachse verläuft horizontal und die Exzentrizität ist 
.
Die Ellipsengleichung muss folgende Form haben:
,
da sich der Mittelpunkt im Ursprung befindet. Außerdem verläuft die Ellipse durch den Punkt . Es muss also gelten:
Wenn wir bestimmen, erhalten wir 
. Und da 
, folgt daraus
Darüber hinaus muss in der Formel für die Exzentrizität Folgendes erfüllt sein
Wenn wir die Gleichung quadrieren, ergibt sich
Wir multiplizieren die Gleichung mit und im Anschluss mit 
. Wir erhalten
Wir fassen gleichartige Terme zusammen
Also ist 
. Die Ellipsengleichung lautet
Schreibe die Mittelpunktsgleichung der Ellipse, deren Mittelpunkt im Ursprung liegt. Außerdem verläuft sie durch den Punkt 
. Ihre Nebenachse misst und verläuft vertikal.
Da sich der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung befindet, muss ihre Gleichung folgende Form haben
Da die Nebenachse misst, ist die kleine Halbachse
Da die Ellipse durch den Punkt verläuft, muss die Gleichung Folgendes erfüllen
Wir bestimmen und erhalten
Das heißt
Die Ellipsengleichung lautet somit
Die Brennweite einer Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung ist und die Brennpunkte liegen auf der x-Achse. Ein Punkt der Ellipse ist von ihren Brennpunkten 
bzw. 
entfernt. Berechne die Mittelpunktsgleichung dieser Ellipse.
Die Brennweite misst . Die halbe Brennweite ist also
Ebenso ist die Summe der Abstände von jedem Punkt zu den Brennpunkten immer konstant. Dieser Abstand fällt mit der Hauptachse zusammen, so dass
Schließlich misst die kleine Halbachse
Die Ellipsengleichung lautet
Bestimme die Gleichung der Ellipse, deren Mittelpunkt sich im Ursprung befindet. Die Brennpunkte liegen auf der x-Achse und sie verläuft durch die Punkte 
und 
.
Da die Ellipse durch beide Punkte geht, muss sie das folgende Gleichungssystem erfüllen
Dies ist ein nichtlineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten (der Link zeigt dir, wie du sie lösen kannst). In diesem Fall nehmen wir einen Variablentausch vor
Die Lösung dieses Systems ist
Um das zu überprüfen, kann du die Werte von 
und 
in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzen.
Die Ellipsengleichung lautet
Bestimme die Gleichung der Ellipse, deren Mittelpunkt sich im Ursprung befindet. Die Brennweite ist 
, die Brennpunkte liegen auf der x-Achse und die Fläche des auf den Achsen konstruierten Rechtecks ist 
.
Die Brennweite ist . Somit
Für die großen und kleinen Halbachsen gilt
Auf der anderen Seite haben wir ein Rechteck, dessen Seiten 
und 
messen. Die Fläche ist gegeben durch
Daher müssen wir das folgende nichtlineare Gleichungssystem lösen:
Dieses nichtlineare System kann gelöst werden, indem man die zweite Gleichung nimmt und ihren Wert in die erste Gleichung einsetzt. Dies ergibt eine biquadratische Gleichung. Die Lösung des Systems ist gegeben durch
Die Ellipsengleichung lautet somit
Elemente anhand der Gleichung bestimmen
Ermittle die charakteristischen Elemente und die Mittelpunktsgleichung der Ellipse mit den Brennpunkten: 
und 
. Die Hauptachse misst 
.
Ermittle die charakteristischen Elemente und die Mittelpunktsgleichung der Ellipse mit den Brennpunkten: und . Die Hauptachse misst .
Große Halbachse:
Wir haben 
, weshalb die große Halbachse ist.
Halbe Brennweite:
Der Abstand zwischen den zwei Brennpunkten ist 
. Deshalb ist die halbe Brennweite 
.
Kleine Halbachse:
Wir haben 
, wobei die kleine Halbachse ist. Somit gilt
Die kleine Halbachse misst somit .
Mittelpunktsgleichung:
Da wir bereits die Werte für und haben sowie den Mittelpunkt — der Punkt in der Mitte der Brennpunkte, also 
— ist die Mittelpunktsgleichung gegeben durch
Exzentrizität:
Schließlich ist die Exzentrizität der Ellipse gegeben durch
Gegeben ist die Mittelpunktsgleichung der Ellipse 
. Bestimme die Korrdinaten der Scheitelpunkte, der Nebenscheitelpunkte, der Brennpunkte und die Exzentrizität.
Anhand der Gleichung können wir sehen, dass der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung liegt. Außerdem gilt
Die Scheitelpunkte haben also folgende Koordinaten
,
da die Hauptachse auf der -Achse liegt. Die Nebenscheitelpunkte liegen bei
Die halbe Brennweite ist
Die Brennpunkte befinden sich bei
Schließlich wird die Exzentrizität wie folgt berechnet
Gegeben ist die Ellipse mit der Gleichung 
. Bestimme ihren Mittelpunkt, Halbachsen, Scheitelpunkte, Nebenscheitelpunkte und Brennpunkte.
Anhand der Gleichung sehen wir sofort, dass der Mittelpunkt 
ist. Die kleine und große Halbachse sind
Somit
Die Scheitelpunkte befinden sich also bei 
, es decir
Die Brennpunkte befinden sich bei
Die Nebenscheitelpunkte sind
Stelle grafisch dar und bestimme die Koordinaten der Brennpunkte, Scheitelpunkte, Nebenscheitelpunkte und die Exzentrizität der folgenden Ellipsen.
Der Mittelpunkt befindet sich im Ursprung. Die kleine und große Halbachse sind
Die Scheitelpunkte befinden sich bei
Die Nebenscheitelpunkte sind
Die halbe Brennweite ist
Daher befinden sich die Brennpunkte bei
Schließlich ist die Exzentrizität
Zunächst müssen wir die Gleichung als Mittelpunktsgleichung schreiben und dividieren deshalb durch 
:
Aus der Gleichung ergibt sich, dass der Mittelpunkt im Ursprung 
liegt und dass
Daher befinden sich die Scheitelpunkte bei
und die Nebenscheitelpunkte befinden sich bei
Außerdem ist die halbe Brennweite
Somit befinden sich die Brennpunkte bei
Schließlich ist die Exzentrizität gegeben durch
Die Gleichung steht bereits als Mittelpunktsgleichung. Aus dieser Gleichung geht hervor, dass der Mittelpunkt bei liegt. Außerdem sind die kleine und große Halbachse gegeben durch
Die halbe Brennweite ist gegeben durch
Wir stellen fest, dass die Hauptachse auf der -Achse liegt. Die Scheitelpunkte befinden sich also bei
Die Nebenscheitelpunkte befinden sich bei
Und die Brennpunkte sind die Punkte
Schließlich ist die Exzentrizität gegeben durch
Schließlich haben wir eine Gleichung, die nicht in der Form der Mittelpunktsgleichung vorliegt. Wir dividieren zunächst durch und erhalten
Aus der Gleichung geht hervor, dass
Wir sehen außerdem, dass die Hauptachse auf der -Achse liegt. Die Scheitelpunkte befinden sich also bei
Die Nebenscheitelpunkte sind die Punkte
Die Brennpunkte sind die Punkte
Schließlich ist die Exzentrizität
Stelle grafisch dar und bestimme die Koordinaten der Brennpunkte, Scheitelpunkte und Nebenscheitelpunkte der folgenden Ellipsen.
Um die wichtigen Punkte der Ellipse zu bestimmen, müssen wir ihre Gleichung als Mittelpunktsgleichung schreiben. Der Weg dazu ist die quadratische Ergänzung:
Schließlich dividieren wir durch ,
Es ist also klar, dass der Mittelpunkt bei 
liegt. Außerdem kann man feststellen, dass
Zudem verläuft die Hauptachse horizontal, so dass sich die Scheitelpunkte bei
befinden
Die Nebenscheitelpunkte befinden sich bei
Und die Brennpunkte befinden sich bei
Wir wenden wieder die quadratische Ergänzung an:
Schließlich dividieren wir durch 
,
Es ist also klar, dass der Mittelpunkt bei 
liegt. Außerdem kann man feststellen, dass
Außerdem verläuft die Hauptachse vertikal, so dass sich die Scheitelpunkte bei
befinden
Die Nebenscheitelpunkte befinden sich bei
Und die Brennpunkte befinden sich bei
Wir wenden wieder die quadratische Ergänzung an:
Schließlich dividieren wir durch 
,
Es ist also klar, dass der Mittelpunkt bei 
liegt. Außerdem kann man feststellen, dass
Außerdem verläuft die Hauptachse horizontal, so dass sich die Scheitelpunkte bei
befinden
Die Nebenscheitelpunkte befinden sich bei
Und die Brennpunkte befinden sich bei
Wir wenden wieder die quadratische Ergänzung an:
Schließlich dividieren wir durch 
,
Es ist also klar, dass der Mittelpunkt bei 
liegt. Außerdem kann man feststellen, dass
Außerdem verläuft die Hauptachse vertikal, so dass folgende Punkte sind
Die Nebenscheitelpunkte befinden sich bei
Und die Brennpunkte befinden sich bei
Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts der Sehne, die die Gerade 
mit der Ellipse schneidet, deren Gleichung 
lautet.
Sieh dir zunächst die Abbildung der Geraden und der Ellipse an:
Aus der Abbildung können wir ableiten, dass wir die Koordinaten der Punkte und 
finden müssen. Dann ist 
der Mittelpunkt dieser beiden Punkte.
Die Bestimmung der Koordinaten von und ist gleichbedeutend mit der Lösung des folgenden nichtlinearen Gleichungssystems
Auch dieses System wird durch Substitution gelöst. Die Lösungen sind gegeben durch
Der Mittelpunkt der Sehne ist also gegeben durch
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