Matrizen Teil 2

1 Um die Aufgabe zu lösen, folgen wir der Hierarchie der Rechenoperationen, d. h. wir addieren zunächst die Matrizen: Anschließend berechnen wir das Quadrat der Matrix: Schließlich erhalten wir durch die Berechnungen:

2 Um diese Aufgabe zu lösen, berechnen wir zunächst das Produkt der Matrizen: Anschließend berechnen wir das Quadrat der Matrix:

3 In diesem Fall können wir zur Lösung den Ausdruck umschreiben: als . Sowie

Also ist

Somit haben wir:

Bevor die Lösungen betrachtet werden, ist es wichtig zu wissen, dass die Notation für die Dimension einer Matrix , die aus Zeilen und Spalten besteht, wie folgt bezeichnet wird: . Um die Multiplikation zweier Matrizen durchzuführen, muss außerdem sichergestellt sein, dass: Die Anzahl der Spalten der ersten Matrix muss gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix sein (mit der Besonderheit, dass die aus dem Produkt erhaltene Matrix die gleiche Anzahl von Zeilen wie die erste Matrix und die gleiche Anzahl von Spalten wie die zweite Matrix hat).

1 Um festzustellen, ob es möglich ist, das Produkt zu berechnen, müssen wir die Dimensionen der beteiligten Matrizen analysieren: ist eine Matrix der Dimension , weshalb ist. ist eine Matrix der Dimension . ist eine Matrix der Dimension . Dies kann folgendermaßen ausgedrückt werden:
Da die Anzahl der Spalten von nicht mit der Anzahl der Zeilen von übereinstimmt, kann die Rechenoperation nicht durchgeführt werden.

2 Wir stellen fest:  ist eine Matrix der Dimension . ist eine Matrix der Dimension . ist eine Matrix der Dimension , weshalb eine Matrix der Dimension ist. Wir schreiben um:

Daher kann die Rechenoperation durchgeführt werden; insbesondere hat die resultierende Matrix die Dimension . 

3 Bestimme die Dimension von , so dass das Produkt hergestellt werden kann.
Beachte, dass die Multiplikation zweier Matrizen voraussetzt, dass die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten ist. ist eine Matrix der Dimension . d. h. zwei Zeilen und drei Spalten. Also muss drei Zeilen haben. Das heißt:

4 Bestimme die Dimension von , so dass eine quadratische Matrix ist. Die Matrix hat die Dimension , weshalb ihre transponierte Matrix die Dimension hat. Um sie mit zu multiplizieren, muss die Anzahl der Spalten von der Anzahl der Zeilen von entsprechen, also .
Das Produkt von ist eine Matrix mit der gleichen Anzahl von Zeilen wie , also , und der gleichen Anzahl von Spalten wie . Da das Produkt eine quadratische Matrix ist, muss die Anzahl der Spalten von ebenfalls 2 sein. Somit hat die Matrix die Dimension .

Wir müssen beachten, dass für die Kommutativität zweier Matrizen gelten muss, dass . Wenn wir und nehmen, haben wir folgende Gleichheit:

Wir führen die Berechnungen auf beiden Seiten durch und erhalten:

Daraus lassen sich die folgenden Gleichheiten ableiten:

Die Matrix muss somit wie folgt aussehen:

Um den Wert von zu berechnen, müssen wir auf beiden Seiten der Gleichheit Rechenoperationen durchführen. Zuerst subtrahieren wir auf beiden Seiten und multiplizieren dann mit der inversen Matrix von wie nachstehend gezeigt: Sobald wir die Lösung ausgedrückt haben, berechnen wir die inverse Matrix von : . Schließlich setzen wir ein und berechnen:

Eine Möbelfirma stellt drei Modelle von Regalen her: A, B und C. In jeder der Größen, groß und klein. Täglich werden 1000 große und 8000 kleine Regale vom Typ A, 8000 große und 6000 kleine Regale vom Typ B und 4000 große und 6000 kleine Regale vom Typ C hergestellt. Jedes große Regal hat 16 Schrauben und 6 Halterungen, und jedes kleine Regal hat 12 Schrauben und 4 Halterungen. Dies gilt für alle drei Modelle.