Gleichungssysteme mit Matrizen

1

Dies besagt uns, dass die Matrix  invertierbar ist.

2
wobei gilt

Die adjungierte Matrix ist in diesem Fall:

Die transponierte Matrix der adjungierten ist: 
Deshalb ist die inverse Matrix der Matrix : 
3

 
ist hierbei die Einheitsmatrix (in diesem Fall ).

4

1
21 & 1\\
1 & 2
\end{vmatrix}=1\neq 0[/latex]
Wir stellen fest, dass invertierbar ist. Für die inverse Matrix von gilt: 
Wobei gilt Durch unsere Berechnungen erhalten wir: 
3Wir ersetzen die Werte für , und und erhalten: 
 
 

1 Nutze die Rechenregeln für Matrizen, um die Gleichung umzuformen.

Zuerst müssen wir in der Gleichung bestimmen:

bedeutet hier die Einheitsmatrix (in diesem Fall ).

2 Wir berechnen die inverse Matrix von .

Zunächst überprüfen wir, ob invertierbar ist. Dazu müssen wir die Determinante berechnen:

Dies sagt uns, dass die Matrix invertierbar ist.

Die inverse Matrix von ist gegeben durch:

wobei gilt

Durch die Berechnungen erhalten wir:

3 Wir ersetzen die gefundenen Werte und lösen die Gleichung:

Wir haben die Gleichung:

Wir ersetzen die Werte für , und , und erhalten:

1 Die Gleichung mithilfe der Regeln für das Rechnen mit Matrizen umschreiben.

Zunächst müssen wir in der Gleichung bestimmen:

2 Wir berechnen die inverse Matrix von .

Aus Aufgabe wissen wir, die inverse Matrix von ist:

3 Wir ersetzen die gefundenen Werte und lösen die Gleichung:

Wir haben die Gleichung:

Wir ersetzen die Werte für , und , und erhalten:

1 Die Gleichung mithilfe der Regeln für das Rechnen mit Matrizen umschreiben.

Zunächst müssen wir in der Gleichung bestimmen:

2 Wir berechnen die inverse Matrix von .

Aus Aufgabe wissen wir, die inverse Matrix von ist:

3 Wir ersetzen die gefundenen Werte und lösen die Gleichung:

Wir haben die Gleichung:

Wir ersetzen die Werte für , und , und erhalten:

1 Die Gleichung mithilfe der Regeln für das Rechnen mit Matrizen umschreiben.

Zunächst müssen wir in der Gleichung bestimmen:

2 Wir berechnen die inverse Matrix von .

Zuerst müssen wir die Matrizen und addieren:

Für die inverse Matrix einer Matrix gilt die folgende Formel:

wobei gilt

Durch unsere Berechnungen erhalten wir die inverse Matrix von :

3 Wir ersetzen die gefundenen Werte und lösen die Gleichung:

Wir haben die Gleichung:

Wir ersetzen die Werte für und , und erhalten:

1 Die Gleichung mithilfe der Regeln für das Rechnen mit Matrizen umschreiben.

Zunächst müssen wir in der Gleichung bestimmen:

2 Finde die Matrix, die sich aus  ergibt

Wenn wir die Werte für , und ersetzen und die entsprechenden Rechenschritte durchführen, erhalten wir:

3 Bestimme die inverse Matrix von .

Bevor wir die inverse Matrix bestimmen können, müssen wir überprüfen, ob die Matrix invertierbar ist. Dazu berechnen wir ihre Determinante.

besagt uns, dass sie invertierbar ist. Nun ist die inverse Matrix einer Matrix durch folgende Formel gegeben:

wobei gilt

Wenn wir also in diesem Fall die Berechnungen durchführen, sollten wir Folgendes erhalten:

4 Wir ersetzen die gefunden Werten und lösen die Gleichung:

Wir haben die Gleichung:

Wir ersetzen die Werte für und , und erhalten:

1 Die Gleichung mithilfe der Regeln für das Rechnen mit Matrizen umschreiben.

Zuerst müssen wir in der Gleichung bestimmen:

2 Bestimme die inverse Matrix von .

Zuerst überprüfen wir, ob invertierbar ist. Dazu müssen wir die Determinante wie folgt bestimmen:

Dies besagt uns, dass die Matrix invertierbar ist.

Die inverse Matrix von ist gegeben durch:

wobei gilt:

Durch unsere Berechnungen erhalten wir:

3 Wir ersetzen die gefunden Werte und lösen die Gleichung.

Wenn wir die Werte für , und in der Gleichung ersetzen und die Gleichung lösen, erhalten wir:

1 Schreibe das Gleichungssystem in eine Matrix um. Mit den Koeffizienten der Gleichungen können wir folgende Matrix erstellen:

Nun nehmen wir die drei Unbekannten und bilden den Spaltenvektor:
Schließlich nutzen wir die Lösungen der Gleichungen und schreiben sie wie folgt als Spaltenvektor:
Wenn wir die Gleichungen also in Form einer Matrix schreiben, erhalten wir:
 
 
2 Bestimme die Inverse von . Zunächst überprüfen wir, ob invertierbar ist. Dazu müssen wir die Determinante berechnen:

Dies besagt uns, dass die Matrix invertierbar ist. Die inverse Matrix von ist gegeben durch: 
wobei gilt Durch unsere Berechnungen erhalten wir:

3 Wir ersetzen die gefundenen Werte und lösen die Gleichung. Wir haben folgende Gleichung:

Wenn wir die Werte für , und ersetzen und die Gleichung lösen, erhalten wir:

 
Dies bedeutet:

Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit  
Wir addieren die erste und die zweite Gleichung und erhalten:
 
Nun nehmen wir die erste Gleichung und lösen nach auf. Wir ersetzen dabei den für gefundenen Wert.

 
 
 

Um diese Gleichung zu lösen, ohne die Determinanten zu berechnen, denken wir daran, dass die Determinante 0 ist, wenn der Rang der Matrix nicht vollständig ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass eine der Zeilen eine Linearkombination der beiden anderen ist. Wir benennen wie folgt: für die erste Zeile, für die zweite Zeile und für die dritte Zeile. Folglich ist die Determinante 0, wenn gilt:

Wir können nun das folgende Gleichungssystem erstellen:

Wir denken daran, dass, obwohl es sich nicht um ein lineares System handelt, es 3 Variablen und 3 Gleichungen sind. Somit können wir sie lösen. Wir beginnen mit der Gleichsetzung der ersten beiden Gleichungen:

Hier gibt es zwei Fälle: oder . Wenn , können wir die Gleichung durch teilen, um zu erhalten. Nehmen wir nun an, da ist, dass aus der ersten Gleichung folgt:
Deshalb ist . Bei der dritten Gleichung haben wir dann:

Daraus ergibt sich . Die Lösungen sind also und . 

Die Determinante in dieser Aufgabe ist komplizierte als im vorherigen Beispiel. Dies liegt daran, dass wir arbiträre Einträge haben: , und .
Wenn wir jedoch alle Lösungen finden möchten, müssen wir wie in der vorhergehenden Aufgabe vorgehen. Wir benennen zunächst die Zeilen: , und . Somit ergibt sich folgendes Gleichunssystem:

Wir stellen fest, dass die Variablen des Gleichungssystems , und sind. Die Buchstaben , und sind keine Variablen. Deshalb sind die Lösungen in den Termen , und zu finden. Wir haben wieder kein lineares Gleichungssystem. Wir beginnen mit der Bestimmung von in der ersten Gleichung und erhalten:
In diesem Fall nehmen wir an, dass (im Fall von löst ein beliebiger Wert für die Gleichung). Wenn wir den Wert für in der zweiten Gleichung ersetzen und bestimmen, erhalten wir:

Somit ist eine Lösung. Anstatt den Wert für in der zweiten Gleichung zu ersetzen, ersetzen wir ihn in der dritten Gleichung:

 
Somit sind unsere Lösungen: und .