Aufgaben und Problemstellungen zu reellen Funktionen – Teil 2

Die Definitionsmenge einer Polynomfunktion ist

Diese Funktion ist auch eine Polynomfunktion, da kein x im Nenner steht. Sie kann wie folgt geschrieben werden:

Ihre Definitionsmenge ist also

Die Definitionsmenge einer rationalen Funktion ist minus die Werte, für die der Nenner null wird.

Wir müssen den Nenner 0 setzen und die Gleichung lösen.

Die Lösungen der Gleichung sind die Punkte, die nicht zur Definitionsmenge gehören, da durch sie der Nenner 0 wird.

Wir setzen den Nenner gleich 0 und lösen die Gleichung.

Die Lösungen der Gleichung sind die Punkte, die nicht zur Definitionsmenge gehören, da durch sie der Nenner 0 wird.

Wir setzen den Nenner gleich 0 und lösen die Gleichung.

Da die Gleichung keine Lösungen hat, wird der Nenner nicht durch eine reelle Zahl 0.

Wir setzen den Nenner gleich 0 und lösen die Gleichung.

Da diese Gleichung eine doppelte Nullstelle hat, ist das einzige Element, das nicht zur Definitionsmenge gehört, -1.

Wir setzen den Nenner gleich 0 und lösen die Gleichung.

Wir stellen fest, dass das Polynom ein Binom hoch 3 ist.

Da diese Gleichung eine dreifache Nullstelle hat, ist das einzige Element, das nicht zur Definitionsmenge gehört, .

Wir setzen den Radikanden größer oder gleich 0 und lösen die Ungleichung

Die Werte der Definitionsmenge müssen also größer oder gleich 2 sein

Wir multiplizieren die Ungleichung mit –1 und das Vorzeichen der Ungleichung ändert sich

Die Werte der Definitionsmenge müssen also kleiner oder gleich 2 sein

Wir setzen gleich 0, um die Nullstellen der Gleichung zu ermitteln.

Wir lösen die Gleichung durch Faktorisieren oder mithilfe der Mitternachtsformel. Die Nullstellen sind und .

Die Nullstellen teilen die Zahlengerade in 3 Intervalle: .
Wir analysieren die Positiviät oder Negativität von in diesen Intervallen. Dazu nehmen Sie einfach jeweils einen Punkt. Wir kommen zu folgendem Schluss:

Sie muss größer (wir nehmen die Intervalle mit dem Vorzeichen +) oder gleich 0 sein (wir nehmen als Lösung die Extremwerte der Intervalle).

Wir multiplizieren mit –1 und ändern das Vorzeichen der Ungleichung

Wir lösen die Gleichung und die Nullstellen sind 2 und 4

Wir nehmen das negative Intervall als Lösung an, weil wir jetzt kleiner als oder gleich 0 haben.

Diese Gleichung hat eine doppelte Nullstelle: wird als Binom zum Quadrat faktorisiert.

Da sie größer oder gleich 0 ist, und auch jede Zahl zum Quadrat positiv oder 0 ist, ist die Definitonsmenge

Wenn wir gleich 0 setzen, hat die entsprechende Gleichung keine reellen Lösungen.

Wenn wir einen beliebigen Wert nehmen, ist sie positiv.

Ein Binom zum Quadrat ist immer positiv, aber da wir das Vorzeichen vorangestellt haben, ist sie stets negativ.

Wir finden nur eine Lösung mit , da hierfür die Gleichung 0 wird

Wir nehmen die positiven Intervalle und die Nullstellen

Die Nullstellen sind 1, 3 und 0. Dies teilt die Zahlegerade in folgende Intervalle:

Da die Wurzel im Nenner steht, muss der Radikand größer als 0 sein, darf aber nicht gleich sein, da er sonst den Nenner aufheben würde.

In diesem Fall muss der Nenner ungleich 0 sein und die Wurzel des Zählers muss größer oder gleich 0 sein.

Die Lösung ist die Schnittmenge der beiden Mengen

Da es sich um eine Wurzel mit ungeradem Wurzelexponenten handelt, ist der einzige Punkt, der nicht zur Definitionsmengegehört, , da so der Nenner 0 wird.

Die Definitionsmenge einer Exponentialfunktion ist

Da der Exponent rational ist, gehört nicht zur Definitionsmenge, da es den Nenner aufhebt.

Damit der Logarithmus existiert, muss die Funktion größer als 0 sein.

Da der Nenner immer positiv ist, sehen wir und nur den Zähler an.

Der Sinuswert befindet sich zwischen und . Somit ist immer kleiner oder gleich .

Der Kosinuswert ist immer kleiner oder gleich . Somit ist

Symmetrie zu den Ordinatenachsen. Gerade Funktion.

Symmetrie zum Ursprung. Ungerade Funktion.

.

Symmetrie zum Ursprung. Ungerade Funktion.

Symmetrie zu den Ordinatenachsen. Gerade Funktion.

bei

Wir nehmen eine Steigung, , am Punkt .

Die Funktion steigt oder fällt am Punkt , wenn sie im Intervall steigt oder fällt

Um dies zu überprüfen, berechnen wir die Änderungsrate im gegebenen Intervall:

Die Funktion steigt bei

bei

Wir nehmen eine Steigung, , am Punkt .

Die Funktion steigt oder fällt am Punkt , wenn sie im Intervall steigt oder fällt.

Um dies zu überprüfen, berechnen wir die Änderungsrate im gegebenen Intervall:

Wir schreiben die Funktion mit und

Wir bestimmen die Variable in Funktion der Variablen

Wir tauschen die Variablen

Wir bestimmen die Variable in Funktion der Variablen

Wir tauschen die Variablen

Wir eliminieren die Nenner

Wir eliminieren die Klammer und klammern den gemeinsamen Faktor aus. Schließlich tauschen wir die Variablen

Wir tauschen die Variablen

Wir bestimmen die Variable in Funktion der Variablen

Wir tauschen die Variablen

Es handelt sich nicht um eine Funktion. Es existiert keine Umkehrfunktion, da jedes Element zwei Abbildungen hat und eine Funktion höchstens eine Abbildung haben kann.

Beweise, dass:

Tatsächlich ist die identische Abbildung