Was ist der Satz von Weierstraß?
Wenn eine Funktion 
definiert und auf einem abgeschlossenen Intervall 
stetig ist, dann erreicht mindestens ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum auf dem Intervall .
Das heißt, es gibt mindestens zwei Punkte, que hay al menos dos puntos x1, x2, die zu [a,b] gehören, wobei f absolute Extremwerte erreicht:
wenn 
Der Satz von Weierstraß gibt uns keinen Hinweis darauf, wo sich das Maximum und das Minimum befinden, sondern besagt lediglich, dass sie existieren.
In der Praxis kann er zum Beispiel in Unternehmen eingesetzt werden. Beispielsweise kann die Produktion in einem Unternehmen mit der Formel 
berechnet werden, wobei 
die Produktionszeit und 
die Produktionsmenge ist. Wir möchten wissen, ob es eine maximale oder minimale Produktion im Zeitintervall 
Monate bis 
Monate oder 
gibt.
Beispiele für den Satz von Weierstraß
1 
Zunächst analysieren wir, ob sie im gegebenen Intervall stetig ist, und dazu ermitteln wir den Definitionsbereich der Funktion. Sowohl die Funktion 
als auch 
sind Polynomfunktionen, daher ist ihr Definitionsbereich 
. Wenn wir nun 
in beide Funktionen einsetzen, erhalten wir als Ergebnis 
. Wir können also sagen, dass auf dem Intervall im Intervall 
stetig ist.
Nun wenden wir den Satz von Weierstraß an, der besagt, dass die Funktion mindestens ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum auf dem Intervall erreicht. In der folgenden Grafik ist die Funktion dargestellt.
In der Grafik sehen wir ganz deutlich:
wenn 
.
2 
auf dem Intervall 
.
Zunächst analysieren wir, ob sie auf dem gegebenen Intervall stetig ist, und dazu ermitteln wir den Definitionsbereich der Funktion [, der 
ist., Das bedeutet, dass die einzige Zahl, für die die Funktion nicht definiert ist, 
ist und nicht auf dem Intervall liegt.
Wir wenden also den Satz von Weierstraß an. Daraus folgt, dass es mindestens ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum auf dem Intervall gibt.
3 
auf dem Intervall 
.
Zunächst analysieren wir, ob sie auf dem gegebenen Intervall stetig ist. Dazu ermitteln wir den Definitionsbereich der Funktion , und da es sich um eine rationale Funktion handelt, nehmen wir nur den Nenner und setzen ihn gleich 0.
Nun berechnen wir 
,
Der Definitionsbereich ist also 
, was bedeutet, dass die einzige Zahl, für die die Funktion nicht definiert ist, 
ist, und da diese auf dem Intervall [ liegt, können wir den Satz von Weierstraß nicht anwenden, da eine Voraussetzung dafür ist, dass sie auf dem erforderlichen Intervall stetig ist, was im Punkt nicht der Fall ist.
Wir wissen also nicht, ob es auf dem Intervall ein absolutes Maximum und Minimum gibt.
Mit KI zusammenfassen:
Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!
Loading...
