Statistik, Arten von Variablen und Berechnung der Maße der zentralen Tendenz

Zeige an, wo es sich um qualitative und wo um quantitative Variablen handelt:

• Dein Lieblingsessen: Qualitativ
• Ein Beruf, der dir gefällt. Qualitativ
• Die Anzahl der Tore, die dein Lieblings-Fußballclub in der letzten Saison geschossen hat. Quantitativ
• Die Anzahl der Schüler in deiner Schule. Quantitativ
• Die Augenfarbe deines Schulfreundes. Qualitativ
• Der IQ der Schüler in deiner Klasse. Quantitativ

Zeige an, ob es sich bei den folgenden Variablen um diskrete oder stetige Variablen handelt.

• Anzahl der Aktien, die täglich an der Börse verkauft werden. Diskret
• Temperaturen, die an einer Beobachtungsstelle stündlich aufgezeichnet werden. Stetig
• Laufzeit eines Fahrzeugs. Stetig
• Durchmesser der Räder verschiedener Autos. Stetig
• Anzahl der Kinder von Familien. Diskret
• Jährliche Volkszählung in Deutschland. Diskret

Zeige an, ob es sich bei den folgenden Variablen um diskrete oder stetige Variablen handelt.

• Die Nationalität einer Person. Qualitativ
• Die Zahl der Liter Wasser in einem Behälter. Quantitativ und stetig
• Die Zahl der Bücher in einem Bücherregal. Quantitativ und diskret
• Die Summe, die man beim Würfeln mit zwei Würfeln erhält. Quantitativ und diskret
• Der Beruf einer Person. Qualitativ
• Die Fläche unterschiedlicher Fließentypen in einem Gebäude. Quantitativ und stetig

Eine Testgruppe hat bei einer Untersuchung die folgenden Bewertungen erhalten:

Erstelle die zugehörige Tabelle mit der Häufigkeitsverteilung und zeichne das Häufigkeitspolygon ein.

In die zweite Zeile wird die Summe aus dem vorherigen Wert der kumulierten Häufigkeit und der entsprechenden absoluten Häufigkeit gebildet. So werden fortlaufend alle Zeilen bis zur letzten ausgefüllt, deren Wert sein muss.

In die fünfte Zeile wird die relative Häufigkeit eingetragen,
die man erhält, indem man jede absolute Häufigkeit durch teilt.
In die sechste Spalte wird die kumulierte relative Häufigkeit eingetragen.
In die erste Zeile wird die erste relative Häufigkeit eingetragen.

In die zweite Zeile wird die Summe aus dem vorherigen Wert der kumulierten relativen Häufigkeit und der entsprechenden kumulierten relativen Häufigkeit gebildet. So werden fortlaufend alle Zeilen bis zur letzten ausgefüllt, deren Wert gleich sein muss.

Das Häufigkeitspolygon

Trage auf der x-Achse die Daten und auf der y-Achse die absoluten Häufigkeiten ein.

Die folgende Zahlenreihe repräsentiert die Anzahl der Sterne der Hotels in einer Stadt:

Schritte zur Erstellung der Häufigkeitstabelle und grafischen Darstellung im Balkendiagramm.

In die vierte Spalte wird die kumulierte Häufigkeit eingetragen.
In die erste Zeile wird die erste absolute Häufigkeit eingetragen.
In die zweite Zeile wird die Summe aus dem vorherigen Wert der kumulierten Häufigkeit und der entsprechenden absoluten Häufigkeit gebildet. So werden fortlaufend alle Zeilen bis zur letzten ausgefüllt, deren Wert sein muss.
In die fünfte Zeile wird die relative Häufigkeit eingetragen,
die man erhält, indem man jede absolute Häufigkeit durch teilt.
In die sechste Spalte wird die kumulierte relative Häufigkeit eingetragen.
In die erste Zeile wird die erste relative Häufigkeit eingetragen.

In die zweite Zeile wird die Summe aus dem vorherigen Wert der kumulierten relativen Häufigkeit und der entsprechenden kumulierten relativen Häufigkeit gebildet. So werden fortlaufend alle Zeilen bis zur letzten ausgefüllt, deren Wert gleich sein muss.

Das Balkendiagramm

Trage auf der x-Achse die Daten und auf der y-Achse die absoluten Häufigkeiten ein.

Schüler haben die folgenden Noten in einer Prüfung erhalten:

Schritte zur Erstellung der Häufigkeitstabelle und grafischen Darstellung im Balkendiagramm.

In die vierte Spalte wird die kumulierte Häufigkeit eingetragen.
In die erste Zeile wird die erste absolute Häufigkeit eingetragen.
In die zweite Zeile wird die Summe aus dem vorherigen Wert der kumulierten Häufigkeit und der entsprechenden absoluten Häufigkeit gebildet. So werden fortlaufend alle Zeilen bis zur letzten ausgefüllt, deren Wert sein muss.
In die fünfte Zeile wird die relative Häufigkeit () eingetragen, die man erhält, indem man jede absolute Häufigkeit duch teilt.

In die sechste Spalte wird die kumulierte relative Häufigkeit eingetragen.
In die erste Zeile wird die erste relative Häufigkeit eingetragen.
In die zweite Zeile wird die Summe aus dem vorherigen Wert der kumulierten relativen Häufigkeit und der entsprechenden kumulierten relativen Häufigkeit gebildet. So werden fortlaufend alle Zeilen bis zur letzten ausgefüllt, deren Wert gleich sein muss.

Das Balkendiagramm

Trage auf der x-Achse die Daten und auf der y-Achse die absoluten Häufigkeiten ein.

Die Schüler einer Klasse haben die folgende Punktzahl von möglichen Punkten in einer Physikklausur erhalten.

a. Erstelle die Häufigkeitstabelle.

In die vierte Spalte wird die kumulierte Häufigkeit eingetragen.
In die erste Zeile wird die erste absolute Häufigkeit eingetragen.
In die zweite Zeile wird die Summe aus dem vorherigen Wert der kumulierten Häufigkeit und der entsprechenden absoluten Häufigkeit gebildet. So werden fortlaufend alle Zeilen bis zur letzten ausgefüllt, deren Wert sein muss.

In die fünfte Zeile wird die relative Häufigkeit () eingetragen, die man erhält, indem man jede absolute Häufigkeit duch teilt.
In die sechste Spalte wird die kumulierte relative Häufigkeit eingetragen.
In die erste Zeile wird die erste relative Häufigkeit eingetragen.

In die zweite Zeile wird die Summe aus dem vorherigen Wert der kumulierten relativen Häufigkeit und der entsprechenden kumulierten relativen Häufigkeit gebildet. So werden fortlaufend alle Zeilen bis zur letzten ausgefüllt, deren Wert gleich sein muss.

b. Erstelle das Histogramm und das Häufigkeitspolygon.

Das Histogramm

Das Häufigkeitspolygon wird gebildet, indem man die Mittelpunkte jedes Rechtecks miteinander verbindet

Für diese Aufgabe ist die folgende Häufigkeitsverteilung gegeben:

Berechne:

a. Den Modus, Median und Mittelwert.

b. Die Spannweite, mittlere Abweichung, Varianz und Standardabweichung.

Ergänze die Tabelle mit folgenden Maßen:

der kumulierten Häufigkeit (), um den Median zu berechnen
dem Produkt aus der Variablen und ihrer absoluten Häufigkeit (), um den Mittelwert zu berechnen
der Abweichung bezüglich des Mittelwerts und ihrem Produkt mit der absoluten Häufigkeit , um die mittlere Abweichung zu berechnen
dem Produkt aus der Variablen zum Quadrat und ihrer absoluten Häufigkeit (), um die Varianz und die Standardabweichung zu berechnen

Modus
Der Modus ist der Wert mit der höchsten absoluten Häufigkeit.

In der Spalte der entspricht die absolute Häufigkeit dem Wert .

.

Median
Um den Median zu berechnen, teilt man durch . Man kann feststellen, dass sich in der Zeile der der Wert für befindet, der am nächsten an liegt, und zwar der Wert , der dem Median entspricht.

Mittelwert
Berechne die Summe der Variablen und ihrer absoluten Häufigkeit (), die ist, und teile sie durch .

Mittlere Abweichung
Berechne die Summe der Produkte der Abweichungen vom Mittelwert mit ihren zugehörigen absoluten Häufigkeiten , die ist, und teile durch .

Spannweite
Berechne die Differenz aus dem größten und kleinsten Wert.

.

Varianz
Berechne die Summe aus , teile sie durch und ziehe vom Ergebnis den Mittelwert zum Quadrat ab.

.

Standardabweichung
Bilde die Quadratwurzel der Varianz

Berechne Mittelwert, Median und Modus der folgenden Zahlenreihe:

Erstelle eine Tabelle mit den folgenden Spalten:

Werte der Variablen ().

Absolute Häufigkeiten ().

Kumulierte Häufigkeiten (), um den Median zu berechnen.

Produkt aus der Variablen und ihrer absoluten Häufigkeit (), um den Mittelwert zu berechnen.

Modus
Der Modus ist der Wert mit der höchsten absoluten Häufigkeit.

In der Spalte der entspricht die absolute Häufigkeit dem Wert .

.

Median
Um den Median zu berechnen, teilt man durch . Man kann feststellen, dass sich in der Zeile der der Wert befindet, der entspricht.

.

Mittelwert
Berechne die Summe der Variablen und ihrer absoluten Häufigkeit (), die ist und teile durch .

.

Ermittle die Varianz und die Standardabweichung der folgenden Datenreihe:

Berechne den Mittelwert:

.

Wende die Varianzformel an:

.

Ziehe die Quadratwurzel der Varianz:

.

Berechne Mittelwert, Median und Modus der folgenden Zahlenreihe:

Modus
Der Modus ist , da sich dieser Wert am häufigsten wiederholt.

.

Median
Da die Reihe eine gerade Anzahl von Werten hat, ist der Median der Mittelwert zwischen den beiden mittleren Werten.

.

Mittelwert
Wende die Formel für den Mittelwert an.

.

Ermittle die Varianz, die mittlere Abweichung und die Standardabweichung der folgenden Zahlenreihe:

a.

Mittelwert

Mittlere Abweichung

Varianz
.

Standardabweichung
.

b.

Mittelwert
.

Mittlere Abweichung
.

Varianz

Standardabweichung
.

Aus einem Test mit Angestellten einer Fabrik gingen folgende Ergebnisse hervor:

Erstelle das Histogramm und das Polygon der kumulierten Häufigkeiten.

Füge eine neue Spalte hinzu, in welche du die kumulierte Häufigkeit () einträgst:

In die erste Zeile wird die erste absolute Häufigkeit eingetragen.

In die zweite Zeile wird die Summe aus dem vorherigen Wert der kumulierten Häufigkeit und der entsprechenden absoluten Häufigkeit gebildet. So werden fortlaufend alle Zeilen bis zur letzten ausgefüllt, deren Wert sein muss.

 

Gegeben seien die folgenden statistischen Zahlenreihen:

a.

b.

Berechne

Modus, Median und Mittelwert
Mittlere Abweichung, Varianz und Standardabweichung
Die Quartile und .
Die Dezile und .
Die Perzentile und .

a.  

Modus
Es gibt keinen Modus, da alle Werte dieselbe Häufigkeit haben.

Median
Ordne die Daten der Reihenfolge nach aufsteigend:

Der Median ist daher

.

Mittelwert

Varianz

Standardabweichung

Mittlere Abweichung

Spannweite

Quartile

Dezile
Die Formel zur Bestimmung der Dezile lautet

Die gesuchten Dezile befinden sich daher an den Stellen:

Perzentile
Die Formel zur Bestimmung der Perzentile lautet

Die gesuchten Perzentile befinden sich daher an den Stellen:

b. 

Modus
Es gibt keinen Modus, da alle Werte dieselbe Häufigkeit haben.

Median
Ordne die Daten der Reihenfolge nach aufsteigend:

Der Median ist daher

.

Mittelwert

Varianz

Standardabweichung

Mittlere Abweichung

Spannweite

Quartile

Dezile
Die Formel zur Bestimmung der Dezile lautet

Die gesuchten Dezile befinden sich daher an den Stellen:

Perzentile
Die Formel zur Bestimmung der Perzentile lautet

Die gesuchten Perzentile befinden sich daher an den Stellen:

Ergänze die Tabelle mit:

der kumulierten Häufigkeit (), um den Median zu berechnen.

dem Produkt aus der Variablen und ihrer absoluten Häufigkeit (), um den Mittelwert zu berechnen.

der Abweichung bezüglich des Mittelwerts und ihrem Produkt mit der absoluten Häufigkeit , um die mittlere Abweichung zu berechnen

dem Produkt aus der Variablen zum Quadrat und ihrer absoluten Häufigkeit (), um die Varianz und die Standardabweichung zu berechnen

Modus
Suche zuerst das Intervall, indem sich der Modus befindet. Dieses ist das Intervall mit der höchsten absoluten Häufigkeit ()

Die Modalklasse lautet:

Wende die Formel zur Berechnung des Modus für gruppierte Daten an, indem du folgende Daten extrahierst:

.

.

.

Median
Suche das Intervall, in dem sich der Median befindet. Teile hierzu durch , da der Median der mittlere Wert ist

.

Ermittle in der Spalte der kumulierten Häufigkeit () das Intervall, das den Wert enthält

Die Klasse des Medians lautet: .

Wende die Formel zur Berechnung des Medians für gruppierte Daten an, indem du folgende Daten extrahierst:

.

.

.

.

.

.

Mittelwert
Berechne die Summe der Variablen und ihrer absoluten Häufigkeit (), die ist und teile sie durch

Mittlere Abweichung
Berechne die Summe der Produkte der Abweichungen vom Mittelwert mit ihren zugehörigen absoluten Häufigkeiten , die ist, und teile durch

Varianz
Berechne die Summe aus , teile sie durch und ziehe vom Ergebnis den Mittelwert zum Quadrat, , ab.

Standardabweichung
Bilde die Quadratwurzel der Varianz

Quartile
Berechne das erste Quartil
Suche das Intervall, in dem sich das erste Quartil befindet, indem du mal multiplizierst und das Ergebnis durch teilst

Suche in der Spalte der kumulierten Häufigkeit () das Intervall, das enthält

Die Modalklasse von lautet:

Wende die Formel zur Berechnung der Quartile für gruppierte Daten an, indem du folgende Daten extrahierst:

Ermittle das dritte Quartil
Suche das Intervall, in dem sich das dritte Quartil befindet, indem du mal multiplizierst und das Ergebnis durch teilst

Suche in der Spalte der kumulierten Häufigkeit () das Intervall, das enthält

Die Modalklasse von ist:

Wende die Formel zur Berechnung der Quartile für gruppierte Daten an, indem du folgende Daten extrahierst:

Dezile
Ermittle das dritte Dezil
Suche das Intervall, indem sich das dritte Dezil befindet, indem du mit multiplizierst und das Ergebnis durch teilst

Suche in der Spalte der kumulierten Häufigkeit () das Intervall, das enthält

Die Modalklasse von ist:

Wende die Formel zur Berechnung der Dezile für gruppierte Daten an, indem du folgende Daten extrahierst:

Berechne das sechste Dezil
Suche das Intervall, indem sich das sechste Dezil befindet, indem du mit multiplizierst und das Ergebnis durch teilst

Suche in der Spalte der kumulierten Häufigkeit () das Intervall, das enthält

Die Modalklasse von ist:

Wende die Formel zur Berechnung der Dezile für gruppierte Daten an, indem du folgende Daten extrahierst:

Perzentile
Das Perzentil ist gleich dem Dezil

Berechne das Perzentil 70
Suche das Intervall, in dem sich das Perzentil befindet, indem du mit multiplizierst und das Ergebnis durch teilst

Suche in der Spalte der kumulierten Häufigkeit () das Intervall, das enthält

Die Modalklasse von ist:

Wende die Formel zur Berechnung der Perzentile für gruppierte Daten an, indem du folgende Daten extrahierst:

Füge eine neue Spalte hinzu, in welche du die kumulierte Häufigkeit () einträgst:

In die erste Zeile wird die erste absolute Häufigkeit eingetragen.

In die zweite Zeile wird die Summe aus dem vorherigen Wert der kumulierten Häufigkeit und der entsprechenden absoluten Häufigkeit gebildet. So werden fortlaufend alle Zeilen bis zur letzten ausgefüllt, deren Wert sein muss.

Modus
Suche zuerst das Intervall, indem sich der Modus befindet. Dieses ist das Intervall mit der höchsten absoluten Häufigkeit ()

Die Modalklasse lautet:

Wende die Formel zur Berechnung des Modus für gruppierte Daten an, indem du folgende Daten extrahierst:

Unterer Grenzwert:

Median
Suche das Intervall, in dem sich der Median befindet. Teile hierzu durch , da der Median der mittlere Wert ist

Suche in der Spalte der kumulierten Häufigkeit () das Intervall, das enthält

Die Klasse des Medians lautet:

Wende die Formel zur Berechnung des Medians für gruppierte Daten an, indem du folgende Daten extrahierst:

Quartile
Berechne das erste Quartil
Suche das Intervall, in dem sich das erste Quartil befindet, indem du mit multiplizierst und das Ergebnis durch teilst

Suche in der Spalte der kumulierten Häufigkeit () das Intervall, das enthält

Die Klasse von ist:

Wende die Formel zur Berechnung der Quartile für gruppierte Daten an, indem du folgende Daten extrahierst:

Ermittle das dritte Quartil
Suche das Intervall, in dem sich das dritte Quartil befindet, indem du mit multiplizierst und das Ergebnis durch teilst

Suche in der Spalte der kumulierten Häufigkeit ) das Intervall, das enthält

Die Klasse von ist:

Wende die Formel zur Berechnung der Quartile für gruppierte Daten an, indem du folgende Daten extrahierst:

Mittelwert
Der Mittelwert kann nicht berechnet werden, da die Grenze der Klasse des letzten Intervalls nicht ermittelt werden kann.