1 Ein Datensatz aus 5 Zahlen, dessen Mittelwert 7,31 ist, wird mit den Zahlen 4,47 und 10,15 addiert. Wie lautet der Mittelwert des neuen Datensatzes?

 

Der Mittelwert des Datensatzes aus 5 Zahlen ist

\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}=7,31

Somit

\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4+x_5= 7,31\cdot 5

Der Mittelwert aus den 7 Zahlen ist

\displaystyle \overline{x}'=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+4,47+10,15}{7}

Das ist dasselbe wie

\displaystyle \overline{x}'=\frac{ 7,31\cdot 5+4,47+10,15}{7}=7,31

 

2 Ein Zahnarzt beobachtet, wie oft Karies bei jedem von 100 Kindern einer bestimmte Schule vorkommt. Die erhaltenen Informationen sind in der folgenden Tabelle dargestellt:

Anzahl Kariesfini
0250,25
1200,20
2xz
3150,15
4y0,05
  • Vervollständige die Tabelle, indem du die Werte für x, y, z ermittelst.
  • Erstelle ein Kreisdiagramm.
  • Berechne die durschnittliche Anzahl von Karies.

 

 

1Tabelle

Die Summe der relativen Häufigkeiten muss 1 sein:

0,25 + 0,2 + z + 0,15 + 0,05 = 1

0,65 + z = 1

z = 0,35

Die relative Häufigkeit eines Datenwerts ist gleich seiner absoluten Häufigkeit geteilt durch 100. Dies ist die Summe der absoluten Häufigkeiten.

\displaystyle \frac{x}{100}=0,35

\displaystyle x=35

\displaystyle \frac{y}{100}=0,05

\displaystyle y=5

 

Anzahl Karies (xi)finifini
0250,250
1200,2020
2350,3570
3150,1545
450,0520
100155

 

2Kreisdiagramm

Wir berechnen die Grade, die einer Einheit der absoluten Häufigkeit entsprechen

\displaystyle x=\frac{360}{100}=3,6^\circ

Wir berechnen die Grade, die jeder absoluten Häufigkeit entsprechen.

25 \cdot 3,6^\circ = 90^\circ

20 \cdot 3,6^\circ = 72^\circ

35 \cdot 3,6^\circ = 126^\circ

15 \cdot 3,6^\circ = 54^\circ

5 \cdot 3,6^\circ = 18^\circ

Kreisdiagramm
 

3Arithmetisches Mittel

\displaystyle \overline{x}=\frac{155}{100}=1,55

 

3 Wir haben einen Datensatz aus 26 Daten:

10, 13, 4, 7, 8, 11, 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18

Ermittle den Median und die Quartile.

 

1 Wir ordnen die Daten

Als Erstes ordnen wir die Daten in aufsteigender Reihenfolge:

3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 18, 18, 20

2 Median

Da wir eine gerade Anzahl von Daten haben, ist der Median der Mittelwert der zentralen Werte:

\displaystyle \text \ \tilde x =\frac{10+10}{2}=10

3 Quartile

Um das erste Quartil zu erhalten, dividieren wir die Anzahl der Daten durch 4

\displaystyle \frac{26}{4} = 6,5

Wir sehen uns an, wo die Werte 6 und 7 liegen und nehmen den Durchschnitt

\displaystyle Q_1 = \frac{7+7}{2}=7

Das zweite Quartil ist der Median

Q_2 = \text \ \tilde x = 10

Um das dritte Quartil zu bestimmen, multiplizieren wir die Anzahl der Daten mit 3 und dividieren durch 4

\displaystyle \frac{(26\cdot 3)}{4} = 19,5

Wir sehen uns an, wo die Werte 19 und 20 liegen und nehmen den Durchschnitt

\displaystyle Q_3 = \frac{13+14}{2}=6,5

 

4 Ein Kinderarzt erstellt folgende Tabelle über das Alter von Kindern, in dem sie ihre ersten Schritte machen:

MonateKinder
91
104
119
1216
1311
148
151
  • Zeichne die Normalverteilungskurve
  • Berechne Modus, Median, Mittelwert und Varianz

 

1 Normalverteilungskurve

 

Normalverteilungskurve

 

2 Tabelle vervollständigen

 

Wir vervollständigen die Tabelle mit folgenden Daten:

Kumulierte Häufigkeit (F_i), um den Median zu berechnen.

Das Produkt aus der Variable und ihrer absoluten Häufigkeit x_i\cdot f_i, um den Mittelwert zu berechnen.

Das Produkt aus der Variable zum Quadrat und ihrer absoluten Häufigkeit x_i^2\cdot f_i, um die Varianz und die Standardabweichung zu berechnen.

 

xifiFixifixi2fi
911981
104540400
11914991089
1216301922304
1311411431859
148491121568
1515015225
506107526

 

3 Modus

 

Der Modus ist der Wert mit der höchsten absoluten Häufigkeit

Betrachtet man die Spalte f_i, so entspricht die höchste absolute Häufigkeit (16) dem Wert 12

\text \ \overline x \ <sub>d</sub> = 12

 

4 Median

 

Um den Median zu berechnen, dividieren wir N\ (50) durch 2. Wir sehen, dass die Zelle F_i, in der sich 25 befindet, 12 entspricht

\displaystyle \frac{50}{2} = 25

\text \ \tilde x = 12

 

5 Arithmetisches Mittel

 

Wir berechnen das Ergebnis aus dem Produkt aus der Variablen und ihrer absoluten Häufigkeit (x_i\cdot f_i), die 610 ist, und dividieren sie durch N \ (50)

\displaystyle \overline{x}=\frac{610}{50}=12,2

 

6 Varianz

 

Wir berechnen das Ergebnis aus x^2_i \cdot f_i \ (7526), dividieren es durch N\ (50) und subtrahieren vom Ergebnis das arithmetische Mittel zum Quadrat (12,2^2)

\displaystyle \sigma^2 =\frac{7526}{50}-12,2^2=1,68

 

5 Vervollständige folgende statistische Tabelle mit den fehlenden Daten:

xifiFini
140,08
24
3160,16
470,14
5528
638
7745
8

Berechne Mittelwert, Median und Modus dieser Verteilung.

 

1 Tabelle

 

  • Zeile 1

Die erste kumulierte Häufigkeit fällt mit der ersten absoluten Häufigkeit zusammen

F_1= 4

Die erste kumulierte relative Häufigkeit n_1 entspricht der ersten absoluten Häufigkeit (4) geteilt durch N

\displaystyle \frac{4}{N}=0,08

N=50

Somit ist 50 die Gesamtzahl der Daten

  • Zeile 2

Die zweite kumulierte Häufigkeit entspricht der vorhergehenden kumulierten Häufigkeit (4) plus die entsprechende absolute Häufigkeit

F_2= 4 + 4 = 8

Die kumulierte relative Häufigkeit n_2 entspricht der absoluten Häufigkeit (4) geteilt durch N \ (50)

\displaystyle n_2=\frac{4}{50}=0,08

  • Zeile 3

Um die absolute Häufigkeit zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten

1. Mittels der kumulierten relativen Häufigkeit:

\displaystyle \frac{f_3}{50}=0,16

f_3=0,16\cdot 50=8

2. Die absolute Häufigkeit ist die Differenz aus F_3 und F_2

f_3= 16 - 8 = 8

  • Zeile 4

Die kumulierte Häufigkeit entspricht der vorhergehenden kumulierten Häufigkeit (16) plus die entsprechende absolute Häufigkeit (7)

F_4= 16 + 7 = 23

  • Zeile 5

Die kumulierte relative Häufigkeit n_5 entspricht der absoluten Häufigkeit (5) geteilt durch N\ (50)

\displaystyle n_5=\frac{5}{50}=0,1

  • Zeile 6

Analog zu Zeile drei haben wir zwei Möglichkeiten

Die absolute Häufigkeit enspricht der kumulierten Häufigkeit (38) minus die vorhergehende kumulierte Häufigkeit (28). Das heißt, der Differenz aus F_6 und F_5

f_6= 38 - 28 = 10

Die kumulierte relative Häufigkeit n_6 entspricht der absoluten Häufigkeit (10) geteilt durch N \ (50)

\displaystyle n_6=\frac{10}{50}=0,2

  • Zeile 7

Die kumulierte relative Häufigkeit n_7 entspricht der absoluten Häufigkeit (7) geteilt durch N \ (50)

\displaystyle n_7=\frac{7}{50}=0,17

  • Zeile 8

Die letzte kumulierte Häufigkeit entspricht N

\displaystyle F_8= N = 50

Die absolute Häufigkeit entspricht der kumulierten Häufigkeit (50) minus die vorhergehende kumulierte Häufigkeit (45). Das heißt, der Differenz aus F_8 und F_7

f_8= 50 - 45 = 5

Die kumulierte relative Häufigkeit n_8 entspricht der absoluten Häufigkeit (5) geteilt durch N \ (50)

\displaystyle n_8=\frac{5}{50}=0,1

 

2 Tabelle vervollständigen

 

Mit den erhaltenen Daten können wir die Tabelle vervollständigen. Außerdem ergänzen wir die Tabelle um die Spalte (x_i\cdot f_i) des Produkts aus Variable und absoluter Häufigkeit, um den Mittelwert zu berechnen

 

xifiFinixifi
1440,084
2480,088
38160,1624
47230,1428
55280,1025
610380,2060
77450,1449
85500,1040
50238

3 Arithmetisches Mittel

 

Wir berechnen die Summe aus Variable und absoluter Häufigkeit (x_i \cdot f_i), die 238 ist, und teilen sie durch N\ (50)

\displaystyle \overline{x}=\frac{238}{50}=4,76

 

4 Median

 

Um den Median zu berechnen, dividieren wir N\ (50) durch 2. Wir stellen fest, dass die Zelle F_i, in der sich 25 befindet, 5 entspricht

\displaystyle \frac{50}{2} = 25

\text{\tilde x} = 5

 

5 Modus

 

Der Modus ist der Wert mit der höchsten absoluten Häufigkeit

Die Spalte f_i zeigt, dass die höchste absolute Häufigkeit (10) der Zahl 6 entspricht

\text{\tilde x_d}=6

 

6 Sieh dir folgende Daten an: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Aufgabe:

  • Berechne Mittelwert und Varianz.
  • Wenn wir alle oben genannten Daten mit 3 multiplizieren, wie lauten dann der neue Mittelwert und die neue Varianz?

 

Berechne Mittelwert und Varianz

 

1 Mittelwert

Wir ordnen die Daten

2, 3, 4, 6, 8, 10.

Wir addieren die Werte und dividieren durch die Gesamtzahl der Daten.

\displaystyle \overline{x}_1=\frac{2+3+4+6+8+10}{6}=\frac{33}{6}=5,5

2 Varianz

Wir nehmen den Durchschnitt der Zahlen zum Quadrat und subtrahieren den Mittelwert zum Quadrat.

\displaystyle \sigma_1^2=\frac{2^2+3^2+4^2+6^2+8^2+10^2}{6}-5,5^2=\frac{229}{6}-5,5^2=7,92

Mit 3 multipliziert...

 

1 Mittelwert

Wenn wir alle Werte der Variablen mit 3 multiplizieren, wird das arithmetische Mittel mit 3 multipliziert

\displaystyle \overline{x}_2=5.5\cdot 3=16,5

2 Varianz

Wenn wir alle Werte der Variablen mit 3 multiplizieren, wird die Varianz mit 3 zum Quadrat multipliziert

\displaystyle \sigma_1^2=7,92\cdot 3^2=71,28

 

7 Das Ergebnis, das man erhält, wenn zwei Würfel 120 Mal geworfen werden, ist in folgender Tabelle gegeben:

ErgebnisMale, die Würfel geworfen wurden
23
38
49
511
620
719
816
913
1011
116
124
  • Berechne Mittelwert und Standardabweichung.
  • Ermittle den Prozentsatz der Werte innerhalb des Intervalls (\overline{x}-\sigma,\overline{x}+\sigma).

 

1 Tabelle vervollständigen

 

Wir vervollständigen die Tabelle mit:

Dem Produkt aus Variable und absoluter Häufigkeit x_i\cdot f_i, um den Mittelwert zu berechnen.

Dem Produkt aus Variable zum Quadrat und absoluter Häufigkeit x_i^2\cdot f_i, um die Standardabweichung zu berechnen.

 

xifixifixi2fi
23612
382472
4936144
51155275
620120720
719133931
8161281024
9131171053
10111101100
11666726
121448576
1208436633

 

2 Arithmetisches Mittel

 

Wir haben die Tabelle um die Spalte x_i \cdot f_i erweitert, da wir die Summe (843) erhalten möchten. Diese dividieren wir dann durch N \ (129), um den Mittelwert zu erhalten

\displaystyle \overline{x}=\frac{843}{120}=7,025

 

3 Standardabweichung

 

Wir haben die Tabelle um die Spalte x_i^2\cdot f_i erweitert, da wir die Summe (6633) erhalten möchten. Diese dividieren wir durch N \ (120) und subtrahieren vom Ergebnis das arithmetische Mittel zum Quadrat (7.025^2). Schließlich ziehen wir noch die Wurzel

\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{6633}{120}-7.025^2}=2,434

 

4 Prozentsatz

 

Da wir die Standardabweichung kennen, können wir das genannte Intervall berechnen.

\overline{x}-\sigma = 4,591

\overline{x}+\sigma = 9,459

Die Werte innerhalb des Intervalls (4,591,9,459) sind diejenigen, die den Summen von 5, 6, 7, 8 und 9 entsprechen. Wir addieren die absoluten Häufigkeiten.

11 + 20 + 19 + 16 + 13 = 79

Mittels der folgenden Verteilung bestimmen wir den Prozentsatz:

\displaystyle \frac{120}{100}=\frac{79}{x} \hspace{2cm} x=\frac{79\cdot 100}{120}= 65,83\%

 

8 Die Körpergröße der Spieler einer Basketballmannschaft ist in der Tabelle angegeben:

GrößeAnzahl der Spieler
[170, 175)1
[175, 180)3
[180, 185)4
[185, 190)8
[190, 195)5
[195, 200)2

Berechne:

  • Mittelwert.
  • Median.
  • Standardabweichung.
  • Wieviele Spieler liegen über dem Mittelwert plus Standardabweichung?

 

1 Tabelle vervollständigen

 

Wir vervollständigen die Tabelle mit:

Der kumulierten Häufigkeit (F_i), um den Median zu berechnen

Dem Produkt aus Variable und absoluter Häufigkeit (x_i\cdot f_i), um den Mittelwert zu berechnen

Dem Produkt aus Variable zum Quadrat und absoluter Häufigkeit (x_i^2 \cdot f_i), um die Varianz und die Standardabweichung zu berechnen

 

 xifiFixifixi 2i
[1.70, 1.75)1,725111,7252,976
[1.75, 1.80)1,775345,3259,453
[1.80, 1.85)1,825487,30013,324
[1.85, 1.90)1,8758161528,128
[1.90, 1.95)1,9255219,6258,53
[1.95, 2.00)1,9752233,957,802
2342,92580,213

 

2 Mittelwert

 

Wir berechnen das Ergebnis aus Variable mal absolute Häufigkeit (x_i\cdot f_i), das 42.925 ist und teilen durch N\ (23)

\displaystyle \overline{x}=\frac{42,925}{23}=1,866

 

3 Median

 

Wir suchen das Intervall, in dem der Median liegt. Hierzu dividieren wir N\ (23) durch 2, da der Median der Zentralwert ist

\displaystyle \frac{23}{2} = 11,5

Wir suchen in der Spalte der kumulierten Häufigkeiten (F_i) das Intervall, das 11,5 enthält

\text{Mediane Klassse:} \ \ \ \rightarrow \ \ \ [1,85, 1,90)

Wir wenden die Formel zur Berechnung des Medians für gruppierte Daten an und extrahieren folgende Daten:

L_i= 1,85

F_{i-1}=8

f_i=8

a_i= 0,05

Der Median ist

\displaystyle \text{\tilde x}=1,85 + \frac{\frac{23}{2}-8}{8}\cdot 0,05 = 1,872

 

4 Standardabweichung

 

Wir berechnen das Ergebnis aus x^2_i \cdot f_i \ (80,213), dividieren durch N \ (23) und subtrahieren das arithmetische Mittel zum Quadrat (21,79^2). Schließlich ziehen wir die Wurzel

\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{80,213}{23}-1,866^2}=0,077

Somit

\displaystyle \overline{x}+\sigma=1,866 + 0,077 = 1,943

Dieser Wert gehört zu einem Perzentil, das im vorletzten Intervall liegt.

\displaystyle 1,943=1,90+\frac{\frac{23}{100}\cdot k -16}{5}\hspace{2cm} k=88

Wir ermitteln folgendes Verhältnis:

\displaystyle \frac{100}{100-88}=\frac{23}{x} \hspace{2cm} x=3

Es gibt nur 3 Spieler, die über \overline{x}+\sigma liegen

 

9 Ein Würfel wird 200 Mal geworfen. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle dargestellt:

 123456
fia323533b35

Bestimme a und b, wenn bekannt ist, dass der Durchschnittswert 3,6 ist.

 

1 Vervollständige die Tabelle

 

Wir ermitteln das Ergebnis aus f_i und x_i\cdot f_i

xifixifi
1aa
23264
335125
433132
5b5b
635210
135+a+b511+a+5b

 

2 Gleichungen aufstellen

 

Die Summe der absoluten Häufigkeiten enspricht 200

\displaystyle \sum f_i=200

\displaystyle 135+a+b=200

Daraus können wir schließen, dass

 a+b=65

Die Summe aus x_i\cdot f_i geteilt durch N \ (200) ist der Mittelwert

\displaystyle \frac{\sum x_i\cdot f_i}{200}=3,6

\displaystyle \frac{511+a+5b}{200}=3,6

Daraus können wir schließen, dass

\displaystyle a+5b=209

 

3 Wir lösen das Gleichungssystem

 

Wir lösen das Gleichungssystem

\left\{\begin{matrix} a+b=65\ \ \ \\ a+5b=209 \end{matrix}\right. \hspace{1cm}\rightarrow \hspace{1cm} \begin{matrix} \left\{\underline{\begin{matrix} -\not{a}-b=-65\ \ \ \\ \not{a}+5b=209 \ \end{matrix}}\right.\\ \ \ \ \ \ \ 4b=144 \end{matrix}

Schließlich

a = 29

b=36

 

10 Wir sehen uns folgendes Histogramm an. Dieses stellt die Gewichtsverteilung unter 100 Gymnasiasten dar:

Histogramm der Verteilung

  • Erstelle die Verteilungstabelle.
  • Wenn Andreas 72 kg wiegt, wieviele Schüler wiegen weniger als er?
  • Berechne den Modus.
  • Bestimme den Median.
  • Ab welchen Werten sind die 25\% der schwersten Schüler einzuordnen?

 

1 Verteilungstabelle

 

 xifiFi
[60,63)61,555
[63, 66)64,51823
[66, 69)67,54265
[69, 72)70,52792
[72, 75)73,58100
100

2 Schüler, die weniger als Andreas wiegen

 

Wir sehen, dass die ersten vier Intervalle die Schüler enthalten, die weniger wiegen als Andreas. Wir addieren die absoluten Häufigkeiten (f_i)

5 + 18 + 42 + 27 = 92 \ \ \rightarrow \ \ \text{Schüler, die weniger als Andreas wiegen}

 

3 Modus

 

Als Erstes suchen wir das Intervall, in dem der Modus liegt. Also das Intervall mit der höchsten absoluten Häufigkeit (f_i)

Die Modalklasse ist: [66, 69)

Wir wenden die Formel zur Berechnung des Modus für gruppierte Daten an und extrahieren folgende Daten:

\text{Untergrenze:} \ \ 66

f_i= 42

f_{i-1}= 18

f_{i+1}=27

a_i= 3

Somit ist der Modus

\displaystyle \text{Mo} =66+\frac{42-18}{(42-18)+(42-27)}\cdot 3=67,85

 

4 Median

 

Wir suchen das Intervall, in dem der Median liegt. Dazu dividieren wir N durch 2, da der Median der Zentralwert ist

\displaystyle \frac{100}{2}=50

Wir suchen in der Spalte der kumulierten Häufigkeiten (F_i) das Intervall, das 50 enthält

\text{Mediane Klasse:} \ \ \ \rightarrow \ \ \ [66, 69)

Wir wenden die Formel zur Berechnund des Medians für gruppierte Daten an und extrahieren folgende Daten:

L_i= 66

F_{i-1}= 23

f_i=42

a_i= 3

Wir berechnen somit den Median

\displaystyle \text{\tilde x} =66+\frac{50-23}{42}\cdot 3 =67,93

 

5 Drittes Quartil

 

Der Wert oberhalb dessen sich 25\% der Schüler, die mehr wiegen, befinden, ist das dritte Quartil.

Wir suchen das Intervall, in dem sich das dritte Quartil befindet. Wir multiplizieren 3 mit N \ (100) und dividieren durch 4

\displaystyle \frac{75}{100}\cdot 100 =75

Wir suchen in der Spalte der kumulierten Häufigkeiten (F_i) das Intervall, das 75 enthält

Die Klasse von Q_3 ist: [69, 72)

Wir wenden die Formel zur Berechnung von Quartilen für gruppierte Daten an und extrahieren folgende Daten:

L_i= 69

F_{i-1}= 65

f_i= 27

a_i= 3

Somit ist das dritte Quartil

\displaystyle Q_3 =69+\frac{75-65}{27}\cdot 3 =70,11

 

11 Berechne aus dieser Verteilung der kumulierten absoluten Häufigkeiten:

AlterFi
[0,2)4
[2,4)11
[4,6)24
[6,8)34
[8,10)40
  • Arithmetisches Mittel und Standardabweichung.
  • Zwischen welchen Werten liegen die 10 mittleren Altersstufen?
  • Stelle die Normalverteilungskurve von kumulierten absoluten Häufigkeiten dar.

 

1 Tabelle vervollständigen

 

Wir erweitern die Tabelle um eine Spalte mit den absoluten Häufigkeiten (f_i)

Die erste absolute Häufigkeit stimmt mit der ersten kumulierten Häufigkeit überein. Um die folgenden Häufigkeiten zu berechnen, müssen wir die vorherige absolute Häufigkeit von der folgenden absoluten Häufigkeit subtrahieren

 

 xifiFixifixi2fi
[0,2)14444
[2,4)37112163
[4,6)5132465325
[6,8)7103470490
[8,10)964054486
402141368

 

2 Mittelwert

 

Wir haben die Tabelle um die Spalte x_i \cdot f_i erweitert, da wir das Ergebnis (214) ermitteln möchten. Dieses dividieren wir dann durch N (40), um den Mittelwert zu erhalten

\displaystyle \overline{x}=\frac{214}{40} = 5,35

 

3 Standardabweichung

 

Wir haben die Tabelle um die Spalte x^2_i \cdot f_i erweitert, da wir das Ergebnis (1368) ermitteln möchten. Dieses dividieren wir dann durch N\ 40 und subtrahieren vom Ergebnis das arithmetische Mittel zum Quadrat (5,35^2). Zum Schluss ziehen wir die Wurzel

\displaystyle \sigma =\sqrt{\frac{1368}{40}-5,35^2} =2,36

 

4 Zentrales Alter

 

Sehen wir uns nun an, welchen Prozentsatz die 10 Altersstufen ausmachen

\displaystyle \frac{40}{10}=\frac{100}{x} \hspace{2cm} x=25\%

Die 10 Schüler repräsentieren die zentralen 25\% der Verteilung.

Grafische Darstellung der Verteilung

Wir müssen P_{37,5} und P_{62,5} bestimmen.

\displaystyle \frac{37,5}{100}\cdot 40=15\hspace{2cm} P_{37,5}=4+\frac{15-11}{13}\cdot 2=4,61

\displaystyle \frac{62,5}{100}\cdot 40=25 \hspace{2cm} P_{37,5}=6+\frac{25-24}{10}\cdot 2=6,2

Die 10 zentralen Altersstufen liegen im Intervall: [4,61, 6,2].

 

5 Normalverteilungskurve

 

Normalverteilungskurve

 

12 Eine Person A ist 1,75 m groß und lebt in einer Stadt, in der die Durchschnittsgröße 1,60 m beträgt. Die Standardabweichung liegt bei 20 cm. Eine andere Person B ist 1,80 m groß und lebt in einer Stadt, in der die Durchschnittsgröße 1,70 m beträgt. Die Standardabweichung liegt bei 15 cm. Welche von den beiden Personen ist im Verhältnis größer als ihre Mitbürger*innen?

 

Wir ermitteln die Standardwerte dieser Personen in der entsprechenden Verteilung

Hierbei ist es wichtig, mit den gleichen Maßeinheiten zu arbeiten, da die Körpergröße hier in cm angegeben ist

Der Standardwert der ersten Person ist:

\displaystyle Z_A=\frac{175-160}{20}=0,75

Der Standardwert der zweiten Person ist:

\displaystyle Z_B=\frac{180-170}{15}=0,667

Wenn wir die Werte vergleichen, sehen wir, dass Person A größer im Vergleich zu ihren Mitbürger*innen ist, als Person B.

 

13 Ein Lehrer hat zwei Tests mit einer Gruppe von 40 Schülern durchgeführt und kam zu folgenden Ergebnissen: Für den ersten Test ist der Mittelwert 6 und die Standardabweichung 1,5.

Für den zweiten Test ist der Mittelwert 4 und die Standardabweichung 0,5.

Ein Schüler bekommt eine 6 im ersten Test und im zweiten eine 5. In welchem der beiden Tests erhielt er in Bezug auf seine Gruppe eine bessere Punktzahl?

 

Wir ermitteln die Standardwerte des Schülers in den Verteilungen jedes Tests

Der Standardwert im ersten Test lautet:

\displaystyle Z_1=\frac{6-6}{1,5}=0

Der Standardwert im zweiten Test lautet:

\displaystyle Z_2=\frac{5-4}{0,5}=2

Wenn wir die Werte vergleichen, stellen wir fest, dass er im zweiten Test eine höhere Punktzahl erzielen konnte.

 

14 In 4 Sälen eines Kinos waren an einem bestimmten Tag 200, 500, 300 und 1000 Personen anwesend.

  • Berechne das Streuungsmaß der Anzahl der anwesenden Personen.
  • Berechne den Variationskoeffizienten.
  • Wenn am Tag der Vorstellung 50 Personen mehr in jedem Kinosaal anwesend wären, wie würde sich das auf das Streuungsmaß auswirken?

 

1 Standardabweichung

 

Wir bestimmen das arithmetische Mittel

\displaystyle \overline{x}=\frac{200+500+300+1000}{4}=500

Schließlich berechnen wir die Standardabweichung

\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{200^2+500^2+300^2+1000^2}{4}-500^2}=308,2

 

2 Variationskoeffizient

 

Um den Variationskoeffizienten zu berechnen, müssen wir die Standardabweichung durch das arithmetische Mittel dividieren

\displaystyle \text{C.V}=\frac{308,2}{500}=0,616

 

3 Streuungsmaß mit 50 zusätzlichen Personen

 

Wenn in allen Kinosälen 50 Personen mehr anwesend sind, steigt das arithmetische Mittel auch um 50 Personen. Somit

\overline{x}=550

Die Standardabweichung variiert nicht, da wir den Datensatz um die gleiche Menge erweitern.

\displaystyle \text{C.V}=\frac{308,2}{550}=0,56

Das relative Streuungsmaß ist geringer als im zweiten Fall.

 


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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.