Kapitel

Berechnung von Quartilen für gruppierte Daten

Bevor wir mit den Rechenaufgaben starten, erinnere dich, dass Q_1, Q_2 und Q_3 den Werten von 25%, 50% und 75% der Daten entsprechen. Außerdem stimmt Q_2 mit dem Median überein.

 

1 Berechne die Quartile der Daten 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.

  • Ordne die Daten ihrer Größe nach aufsteigend 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 und weise die Quartile aus:

    \begin{equation*}{\begin{array}{ccccccc}2, & 3, & 4, & 5, &6, & 7, &9 \\ &\downarrow &&\downarrow &&\downarrow & \\ & Q_{1} && Me && Q_{3} & \end{array}}\end{equation*}

 

2 Berechne die Quartile der Daten 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.

  • Ordne die Daten ihrer Größe nach aufsteigend: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9
  • In diesem Fall ist Q_1=\frac{2+3}{2}=2,5
  • Q_2=Me=\frac{4+5}{2}=4,5
  • Q_3=\frac{6+7}{2}=6,5

3 Berechne die Quartile der Daten:

    \begin{equation*}10, 13, 4, 7, 8, 11, 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18\end{equation*}

  • Ordne die Daten aufsteigend: 3,4,4,5,6,7,7,8,8,9,9,10,10,10,10,11,12,13,13,14,16,16,17,18,18,20.
  • In diesem Fall ist Q_1=\frac{26}{4}=6,5
  • Q_2=Me=10
  • Q_3=\frac{26\cdot 3}{4}=14
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Los geht's

Berechnung von Quartilen anhand unterschiedlicher Tabellen

 

4 Berechne die Quartile Q_1 y Q_3 der folgenden Tabelle:

 

{f_{i}}
[10, 15) 3
[15, 20) 5
[20, 25) 7
[25, 30) 4
[30, 35) 2

{x_{i}} {f_{i}} {F_{i}}
[10, 15) 12,5 3 3
[15, 20) 17,5 5 8
[20, 25) 22,5 7 15
[25, 30) 27,5 4 19
[30, 35) 32,5 2 21
21

 

Berechne das erste Quartil

  • Suche das Intervall, in dem sich das erste Quartil befindet, indem du {N=21} mit 1 multiplizierst und durch 4 teilst

    \begin{equation*}{\displaystyle\frac{1\cdot 21}{4}=5,25}\end{equation*}

  • Suche in der Spalte der kumulierten Häufigkeit {(F_{i})} das Intervall, das 5,25 enthält
  • Die Klasse von {Q_{1}} ist: [15, 20)
  • Wende die Formel zur Berechnung der Quartile für gruppierte Daten an, indem du folgende Daten extrahierst:

 

    \begin{equation*}{L_{i} = 15}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{F_{i-1}= 3}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{f_{i} = 5}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{a_{i} = 5}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{Q_{1}=15+\displaystyle\frac{5,25-3}{5}\cdot 5=17,25}\end{equation*}

Berechnung des dritten Quartils

  • Suche das Intervall, in dem sich das dritte Quartil befindet, indem du 3 mit {N=21} multiplizierst und durch 4 teilst

    \begin{equation*}{\displaystyle\frac{3\cdot 21}{4}=15,75}\end{equation*}

  • Suche in der Spalte der kumulierten Häufigkeit {(F_{i})}\end{equation*} das Intervall, das 15,75 enthält
  • Die Klasse von {Q_{3}} ist: [25, 30)
  • Wende die Formel zur Berechnung der Quartile für gruppierte Daten an, indem du folgende Daten extrahierst:

    \begin{equation*}{L_{i} = 25}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{F_{i-1}= 15}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{f_{i} = 4}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{a_{i} = 5}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{Q_{3}=25+\displaystyle\frac{15,75-15}{4}\cdot 5=25,94}\end{equation*}

 

5Gegeben sei die folgende statistische Verteilung:

 

{f_{i}}
[0, 5) 3
[5, 10) 5
[10, 15) 7
[15, 20) 8
[20, 25) 2
[25, {\infty}) 6

Berechne die Quartile Q_1 und Q_3.

Füge eine neue Spalte hinzu, in welche du die kumulierte Häufigkeit {(F_{i})} einträgst:

  • In die erste Zeile wird die erste absolute Häufigkeit eingetragen. In die zweite Zeile wird die Summe aus dem vorherigen Wert der kumulierten Häufigkeit und der entsprechenden absoluten Häufigkeit gebildet. So werden fortlaufend alle Zeilen bis zur letzten ausgefüllt, deren Wert {N=31} sein muss:
{x_{i}} {f_{i}} {F_{i}}
[0, 5) 2,5 3 3
[5, 10) 7,5 5 8
[10, 15) 12,5 7 15
[15, 20) 17,5 8 23
[20, 25) 22,5 2 25
[25, {\infty}) 6 31
31

Berechne das erste Quartil

  • Suche das Intervall, in dem sich das erste Quartil befindet, indem du {N=31} mit 1 multiplizierst und durch 4 teilst

    \begin{equation*}{\displaystyle\frac{1\cdot 31}{4}=7,75}\end{equation*}

  • Suche in der Spalte der kumulierten Häufigkeit {(F_{i})} das Intervall, das 7,75 enthält
  • Die Klasse von {Q_{1}} ist: [5, 10)
  • Wende die Formel zur Berechnung der Quartile für gruppierte Daten an, indem du folgende Daten extrahierst:

    \begin{equation*}{L_{i} = 5}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{F_{i-1}= 3}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{f_{i} = 5}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{a_{i} = 5}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{Q_{1}=5+\displaystyle\frac{7,75-3}{5}\cdot 5=9,75}\end{equation*}

Berechnung des dritten Quartils

  • Suche das Intervall, in dem sich das dritte Quartil befindet, indem du 3 mit {N=31} multiplizierst und durch 4 teilst

    \begin{equation*}{\displaystyle\frac{3\cdot 31}{4}=23,25}\end{equation*}

  • Suche in der Spalte der kumulierten Häufigkeit {(F_{i})} das Intervall, das 23,25 enthält
  • Die Klasse von {Q_{3}} ist: [20, 25)
  • Wende die Formel zur Berechnung der Quartile für gruppierte Daten an, indem du folgende Daten extrahierst:

    \begin{equation*}{L_{i} = 20}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{F_{i-1}= 23}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{f_{i} = 2}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{a_{i} = 5}\end{equation*}

 

{Q_{3}=20+\displaystyle\frac{23,25-23}{2}\cdot 5= 20,63}\end{equation*}

Rechenaufgaben: statistische Verteilung

 

6 Das Histogramm einer statistischen Verteilung bildet das Körpergewicht von 100 Schülern einer Abschlussklasse ab:

abbildung-1-histogramm

Ab welchem Gewicht bilden die Daten die 25% schwersten Schüler ab?

Erstelle die Tabelle:

{x_{i}} {f_{i}} {F_{i}}
[60,63) 61,5 5 5
[63, 66) 64,5 18 23
[66, 69) 67,5 42 65
[69, 72) 70,5 27 92
[72, 75) 73,5 8 100
100

 

  • Suche das Intervall, in dem sich das dritte Quartil befindet, indem du 3 mit {N=100} multiplizierst und durch 4 teilst

    \begin{equation*}{\displaystyle\frac{75}{100}\cdot 100=75}\end{equation*}

  • Suche in der Spalte der kumulierten Häufigkeit {(F_{i})} das Intervall, das 75 enthält
  • Die Klasse {Q_{3}} ist: [69, 72)
  • Wende die Formel zur Berechnung der Quartile für gruppierte Daten an, indem du folgende Daten extrahierst:

    \begin{equation*}{L_{i} = 69}\end{equation*}

    \begin{equation*}{F_{i-1}= 65}\end{equation*}

    \begin{equation*}{f_{i} = 27}\end{equation*}

    \begin{equation*}{a_{i} = 3}\end{equation*}

    \begin{equation*}{Q_{3}=69+\displaystyle\frac{75-65}{27}\cdot 3=70,11}\end{equation*}

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan bringe ich die Lernartikel von echten Mathe-Profis logisch und verständlich ins Deutsche, damit du als Mathelerner bei Superprof deine Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden kannst.