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Pi – Wie die Kreiszahl die Mathe Welt fasziniert

Von Lea, veröffentlicht am 24/01/2018 Blog > Nachhilfe > Mathe > Pi – Warum Mathematik Formeln auch Schön sein können

Zunächst einmal stellt sich die Frage: Wieso Pi?

Was ist das überhaupt?

Pi ist ein griechischer Buchstabe, mit dem zum Beispiel die griechischen Wörter περιφέρεια und περίμετρος anfangen. Auf Deutsch heißen sie „Peripherie“ und „Umfang“.

Die Kreiszahl Pi π wurde in der Form, in der wir sie kennen, das erste Mal 1647 von William Outright erwähnt und erlangte erst 1748 größere Bekanntheit, als Leonhard Euler es in seinem Werk Introductio in Analysin Infinitorum auf 148 Stellen genau anführte.

In der Mathematik dient Pi dazu, das Volumen in einem Körper oder aber den Umfang und die Fläche in einem Kreis zu berechnen.

Woher stammt also diese Faszination und Begeisterung rund um Pi?

Um das große Interesse an Pi zu verstehen, werden wir uns zunächst die Geschichte der Kreiszahl und die Entdeckung der Nachkommastellen von Pi anschauen. Anschließend können wir sehen, dass Pi eine irrationale, transzendente und universelle Zahl sein kann.

Zum Schluss erzählen wir Euch noch einige spannende Mathe Mysterien rund um die Zahl Pi.

Selbst wenn Ihr Mathe, Algebra, Trigonometrie und die Sätze von Gauß, Thales und Pythagoras nicht mögt, werdet Ihr in diesem Artikel mit Sicherheit etwas Spannendes finden!

Lest ein Stückchen weiter, um im Matheunterricht ein Experte für die Zahl Pi zu werden und etwas Neues über die mathematische Kultur (ja, so etwas gibt es!) zu lernen.

Die Geschichte und der Ursprung der Faszination um die Zahl Pi

Heutzutage können wir mit Hilfe von Computern bis zu 22 Billionen Dezimalstellen von Pi berechnen – selbstverständlich war das jedoch nicht immer der Fall.

Wie kann man die vielen Stellen der Kreiszahl Pi berechnen? Noch heute wird Archimedes‘ Näherungsverfahren für Pi benutzt. | Quelle: Pixabay

  • Schon in der Antike begeisterten sich die Gelehrten und Mathematiker für Pi und suchten den besten Wert, um das Konzept der Kreiszahl zu repräsentieren.
  • 1680 v. Chr.: Der älteste Wert von Pi ist das Wert der Babylonier. Sie sollen den Umfang eines Kreises mit dem eines Sechsecks verglichen haben. Der ungefähre Wert von Pi war daher 3 + 1/8 = 3,125.
  • 1650 v. Chr.: Der 1855 entdeckte Papyrus Rhind klärt uns darüber auf, dass die Ägypter sich ebenso mit der Zahl Pi beschäftigten und sich ihr annähern wollten. Der ägyptische Schriftgelehrte Ahmes entwickelt ein Konzept, in dem die Fläche eines Kreises mit einem 9 Flächeneinheiten der Fläche eines Rechtecks mit 8 Flächeneinheiten entspricht. Mathematisch entspricht das (16/9)2, was ungefähr 3,16 ergibt.
  • 700 v. Chr.: Der indische Text Shatapatha Brahmana kommt ebenfalls auf eine Annäherung der Zahl Pi von 25/8, also 3,125. Indische Mathematiker korrigierten in der vedischen Epoche diesen Versuch und errechneten mithilfe von astronomischen Formeln einen Wert für Pi von 3,1416.
  • Archimedes (287 – 212 v. Chr.) war der erste, der in seiner Abhandlung zur Kreismessung der Zahl Pi einen Rahmen gab. In seiner schlauen Methode nahm Archimedes an, dass Pi zwischen dem Wert des Umfangs eines regulären Vielecks innerhalb des Kreises und dem Umfang eines regulären Vielecks außerhalb des Kreises liegt. Mit einem Polygon mit 96 Seiten erreichte Archimedes die folgende Annäherung: 220/71 < Pi < 22/7.

Diese Methode von Archimedes wird noch heute verwendet, mehr als 2000 Jahre nach seinem Tod. Das spricht auf jeden Fall für sie!

Kennt Ihr schon die berühmtesten mathematischen Paradoxe?

Der Wettkampf um die Dezimalstellen

Weil sich das Verfahren nach Archimedes als sehr nützlich bewiesen hat, haben im Laufe der Zeit zahlreiche Mathematiker diese Methode verwendet, um nach und nach immer mehr Nachkommastellen der Zahl Pi zu bestimmen.

  • 5 Stellen nach dem Komma: Liu Hui benutzte das Verfahren, um eine Annäherung von Pi bis zum Hunderttausendstel zu ermitteln.
  • 6 Stellen nach dem Komma: Die Schätzung wird vom Mathematiker Tsu Chung Chih bis aufs Millionenstel erweitert (3,141592).
  • 14 Stellen nach dem Komma: Der persische Astronom Dschamschid al-Kaschi basierte im Jahre 1424 seine Berechnung der 14 ersten Dezimalstellen von Pi noch immer auf dem Näherungsverfahren von Archimedes.

Wie groß ist "Pi" eigentlich wirklich? Heute kennen wir mehrere Milliarden Nachkommastellen von Pi! | Quelle: Pixabay

Die westliche Welt hielt sich noch einige Zeit mit der Berechnung der rekordhaften Dezimalstellen von Pi zurück, bis im 17. Jahrhundert Leonardo da Pisa, Fibonacci genannt, einige interessante Annäherungen für Pi präsentierte.

  • 20 bis 32 Dezimalstellen: Der deutsche Mathematiker Ludolph van Ceulen ermittelt im Jahre 1596, noch immer auf der Grundlage von Archimedes Näherungsverfahren, mit Vielecken mit 480 Milliarden Seiten (60*233) die 20 ersten Nachkommastellen von Pi. 1615 folgten die Nachkommastellen bis 32. Wegen seiner Hartnäckigkeit mit der Zahl wird Pi seitdem auch häufig als Ludolphsche Zahl bezeichnet.

Die Entdeckung der Analysis und Differentialrechnung stellt einen wichtigen Wendepunkt in der Berechnung der Nachkommastellen von Pi dar.

Zahlreiche Mathematiker wie John Wallis, Gottfried Wilhelm Leibniz, James Stirling oder sogar Edward Newton begriffen, dass Pi nicht nur geometrisch erfasst werden kann, sondern auch mit Hilfe von Zahlen Folgen.

  • 71 bis 100 Nachkommastellen: 1699 erhält Abraham Sharp 71 korrekte Dezimalstellen für Pi, die Hürde der 100 Stellen nach dem Komma knackt John Machin 1706 mit dem Arkustangens. Pi war zu einer beliebten Herausforderung für Mathe Forscher auf der ganzen Welt und zum Zeichen für Prestige geworden.
  • Mehrere Tausend bis Milliarden Nachkommastellen: Heutzutage können die besten Computer mehrere Tausend bis Milliarden Dezimalstellen für Pi berechnen – es sind nicht mehr die Menschen, die das unmögliche erreichen müssen.

Inzwischen haben die Menschen weitere Wege gefunden, sich mit der Zahl Pi zu amüsieren, zum Beispiel so viele Dezimalstellen wie möglich auswendig aufsagen zu können. Es gibt sogar einen exklusiven Club der Personen, die die ersten 1000 Nachkommastellen von Pi aufsagen können (The Pi 1000-Club).

Zu den bekanntesten Pi-Aufzählern gehören Daniel Tammet, der im Jahr 2004 ganze 22 514 Dezimalstellen aufzählte – das Ganze dauerte mehr als 5 Stunden.

Der aktuelle Rekord wird von einem Japaner gehalten, der 100 000 Nachkommastellen von Pi aufsagen kann. Falls Ihr es mal versuchen wollt, es dauert nur 16,5 Stunden…

Pi scheint unendlich und daher sehr geheimnisvoll. Kennt Ihr noch weitere Mysterien in der Mathematik?

Die Eigenschaften von Pi

Wagen wir uns nun ins Herz der zwei kleinen Buchstaben, die seit tausenden von Jahren immer wieder Überraschungen für uns bereithalten!

Das ist alles nicht ganz rational

Pi ist eine irrationale Zahl, das bedeutet, dass es (im Gegensatz zu einer rationalen Zahl) unmöglich ist, sie als Bruch aus zwei ganzen Zahlen zu schreiben.

Ihre Dezimalstellen sind weder periodisch noch endlich. Mit anderen Worten, die Nachkommastellen von Pi sind unvorhersehbar und es gibt kein Modell, das sie voraussagen kann.

Die ersten Mathematiker fanden das Prinzip der Unendlichkeit und Unbestimmbarkeit sehr abstrakt und sahen Pi sogar als Beleidigung der Allwissenheit Gottes an.

Eine transzendente Zahl

Pi ist eine transzendente Zahl, das bedeutet wiederum, dass sie niemals die Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sein kann.

Allerdings existieren einige Formeln, die Pi mit anderen mathematischen Konstanten in Verbindung setzen, zum Beispiel dem Goldenen Schnitt, der auch dem Aufbau der Fibonacci-Folge entspricht.

Pi ist überall

Für Pi werden sogar Kuchen gebacken! Mit der Pi-Pie feiern viele Fans die Kreiszahl. | Quelle: Visualhunt

Die Allgegenwärtigkeit von Pi auch außerhalb der Geometrie trägt auch dazu bei, dass sich mathematische Wissenschaftler ebenso wie Mathe Amateure so sehr für die Zahl interessieren.

Für Pi konnten bislang keine Regelmäßigkeiten in einer Kettenbruchentwicklung ermittelt werden und so gibt es nur Näherungsbrüche.

Wissenschaftliche Untersuchungen über transzendente und irrationale Zahlen, besonders Pi, zielen auf eine Lösung für das geometrische Problem der Quadratur des Kreises ab. Es ist unmöglich, mit einem Lineal oder einem Zirkel ein Quadrat zu zeichnen, des exakt die gleiche Fläche wie ein gegebener Kreis hat.

Auch in der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung taucht Pi auf, zum Beispiel im Buffonschen Nadelproblem.

Einige amerikanische Mathematiker haben Mathe außerdem dazu benutzt, die Helden von Game of Thrones zu berechnen. Vielleicht haben sie dafür ja auch Pi benutzt?

Einige Kuriositäten rund um die Kreiszahl Pi

Noch faszinierender ist es eigentlich, dass Pi nicht nur in der Mathematik allgegenwärtig erscheint. Pi ist überall da, wo es Kreise gibt: in der Sonne, Augen, Glühbirnen, einer DNA Sequenz!

Pi ist sogar ein Teil der Gleichung der Heisenbergschen Unschärferelation, die eine wichtige Aussage in der Quantenmechanik ist.

Die Cheops Pi-ramide

Die Zahl Pi taucht auch in mystischen Bauten auf, die überhaupt nichts mit Kreisen zu tun haben. Zumindest ist dies der Fall für die berühmte Cheops-Pyramide.

Die Kreiszahl ist überall - auch in Ägypten und Bauten! Pi soll die mathematische Grundlage für die Cheops Pyramide sein. | Quelle: Pixabay

Es gibt viele Werke, die beweisen, dass Pi den Zusammenhang zwischen dem Umfang des Fundaments und der verdoppelten Höhe der Pyramide von Gizeh bildet. Dieser mathematische Zusammenhang ist also im Fall der Cheops-Pyramide Pi – rechnet doch mal den Umfang des Fundaments aus!

Purer Zufall oder eine akkurate architektonische Planung?

Mathe und Literatur

Viele unter Euch halten wahrscheinlich Mathe und Literatur automatisch für zwei komplett verschiedene Bereiche. Lasst Euch jedoch gesagt sein, dass Pi es schafft, die beiden Fächer zu verbinden.

Mit einigen Gedichten könnt Ihr die ersten Nachkommastellen von Pi lernen und ganz einfach Eure Freunde beeindrucken. Dahinter steckt folgende Idee: die Anzahl der Buchstaben jeden Wortes entspricht der jeweiligen Dezimalstelle von Pi.

Mit diesem einfachen Spruch lernt Ihr ganz leicht die ersten 23 Dezimalstellen von Pi:

„Wie, o dies π macht ernstlich so vielen viele Müh

3,     1   4     1     5             9         2      6        5        3

Lernt immerhin Jünglinge leichte Verselein

5            8                 9               7             9

wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein!“

3    2    3          8          4        6      2       6          4

Fassen wir zusammen:

Woher stammt die Begeisterung rund um die Zahl Pi?

  • Die Faszination ist historisch! Pi beschäftigt seit beinahe 4000 Jahren so viele Menschen, weil die Zahl die Geschichte der Mathematik stark beeinflusst hat. Jeder große Mathematiker war von diesem Symbol begeistert.
  • Es gibt noch einige offene Geheimnisse! Es ist eine Tatsache, dass Pi noch immer nicht all seine Geheimnisse offenbart hat. Das Symbol, das die besten Mathematiker überlebt, behält einen Großteil seines Mysteriums bei. Hinzu kommt, dass es ein sehr schönes Symbol ist, das Mathematik mit dem Rest der Welt verbindet.
  • Lang lebe Mathe! Mathematik wird häufig als trockene Wissenschaft angesehen, die keinen Platz für Vorstellungskraft und Kreativität hat. Pi verleiht Mathe eine edle Seite, die diesem Klischee widerspricht.
  • Pi ist etwas ganz besonderes! Seine außergewöhnlichen Eigenschaften, seine Unsterblichkeit und seine Allgegenwärtigkeit in der Wissenschaft sorgen dafür, dass Pi einen ganz eigenen Status hat.

Pi ist ein Beweis dafür, dass Mathe unglaublich schön sein kann. Genießt und feiert also den nächsten Pi Day am 14. März: 3.14. in der amerikanischen Schreibweise für Daten.

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