Konzept einer Matrix
Als Matrix bezeichnet man eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Ausdrücken, bestehend aus Zeilen und Spalten. Beispiel einer Matrix "
"
Jede Zahl, die in der Matrix vorkommt, ist ein Element. Somit sind die Elemente unserer vorhergehenden Beispielmatrix die Zahlen 
.
Die Anzahl der Zeilen und Spalten einer Matrix nennt man die Dimension einer Matrix.
Eine Matrix mit 
Zeilen und 
Spalten können wir 
benennen (die linke Zahl des Fußindexes gibt immer die Zeilen an, während die rechte Zahl die Spalten angibt) oder 
(in Klammern). Ein beliebiges Element, das sich in der Zeile 
und in der Spalte 
befindet, nennen wir 
(ohne Klammern). Ein Element unterscheidet sich von einem anderen durch die Position, die es einnimmt. Also die Zeile und die Spalte, zu der es gehört.
Beispiel:
Aus dem vorhergehenden Beispiel wissen wir, dass die Elemente unserer Matrix
wie folgt sind (je nach deren Position): 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
und 
. Außerdem ist ihre Dimension 
Zeilen und 
Spalten, weshalb wir als 
oder 
benennen können.
Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie dieselbe Dimension haben und die Elemente sich jeweils an der gleichen Stelle befinden und ebenso dieselben sind. Wenn wir also in mathematischer Form die Matrizen 
und 
haben:
und sind gleich, wenn 
, 
und 
für irgendeinen Wert 
und 
.
Beispiel:
Gegeben sind die Matrizen
Wir wissen, dass und gleich sind, da sie die selbe Dimension haben und die Elemente an den jeweiligen Positionen übereinstimmen. Jedoch sind und 
nicht gleich, da 
, aber 
. Deshalb gilt 
.
Rechnen mit Matrizen
Summe aus Matrizen
Gegeben sind die Matrizen 
und 
mit derselben Dimension. Ihre Summenmatrix ist: 
. Das heißt, jene Matrix, deren Elemente man erhält, indem man die Elemente der beiden Matrizen, die sich jeweils an der selben Position befinden, addiert (Element plus Element).
Beispiel:
Gegeben sind die Matrizen
Summe der Matrizen:
Gesetze
-
- Assoziativ: Gegeben sind die Matrizen
, 
und , es gilt
.
- Assoziativ: Gegeben sind die Matrizen
-
- Neutrales Element: Es existiert eine Matrix
. Wenn wir diese Matrix mit der Matrix addieren, erhalten wir
.Alle Elemente der Matrix
sind nur Nullen.
- Neutrales Element: Es existiert eine Matrix
-
- Additiv Inverses: Für jede Matrix existiert eine Matrix
, genannt additiv Inverses für :
.Die Elemente der Matrix
sind die Elemente von A multipliziert mit 
.
- Additiv Inverses: Für jede Matrix
- Kommutativ: Gegeben sind die Matrizen
und , es gilt
.
Produkt aus einer reellen Zahl und einer Matrix
Gegeben ist eine Matrix und eine reelle Zahl 
. Das Produkt aus der Matrix und der Zahl ist wie folgt: Jedes Element der Matrix wird der Reihe nach mit 
multipliziert, in anderen Worten 
.
Beispiel:
Gegeben ist die Matrix
und der reelle Skalar 
. Multiplikation der Matrizen
Gesetze
-
- Assoziativität: Gegeben ist die Matrix und die Skalare
y 
, es gilt
.
- Assoziativität: Gegeben ist die Matrix
-
- Distributivität bei den Skalaren : Gegeben ist die Matrix und die Skalare und , es gilt
.
- Distributivität bei den Skalaren : Gegeben ist die Matrix
-
- Distributivität bei den Matrizen: Gegeben sind die Matrizen und und der Skalar
, es gilt
.
- Distributivität bei den Matrizen: Gegeben sind die Matrizen
- Neutraler Skalar: Gegeben ist die Matrix und der Skalar
, es gilt
.
Produkt aus Matrizen
Zwei Matrizen und lassen sich nur dann miteinander multiplizieren, wenn die Anzahl der Spalten von mit der Anzahl der Zeilen von übereinstimmt.
Die Multiplikation zweier multiplizierbarer Matrizen 
und 
ergibt eine neue Matrix 
, deren Anzahl der Zeilen mit der Anzahl der Zeilen von und deren Anzahl der Spalten mit der Anzahl der Spalten von übereinstimmt.
Das Element 
der Produktmatrix erhält man, indem man jedes Element der Zeile 
der Matrix 
mit jedem Element der Spalte 
der Matrix multipliziert und sie addiert 
.
Beispiel:
Gegeben sind die Matrizen
Multiplikation der Matrizen:
Gesetze
-
- Assoziativ: Gegeben sind die Matrizen ,
und , es gilt
.
- Assoziativ: Gegeben sind die Matrizen
-
- Neutrales Element: Gegeben ist die Matrix
, für die eine Matrix 
existiert. Es gilt
.Die Diagonale der Matrix
enthält ausschließlich 
, alle anderen Zahlen sind
- Neutrales Element: Gegeben ist die Matrix
-
- Nicht-kommutativ: Gegeben sind die Matrizen und . Für die meisten Fälle gilt
.
- Nicht-kommutativ: Gegeben sind die Matrizen
- Distributivität des Produkts in Bezug auf die Summe: Für die gegebenen Matrizen , und gilt
.
.
Inverse Matrix
ist eine Matrix mit der gleichen Anzahl an Zeilen und Spalten. Wenn eine Matrix 
existiert, für die gilt
,
wobei 
die Einheitsmatrix ist, sagen wir, die Matrix ist invertierbar oder regulär. Außerdem ist 
die inverse Matrix zu 
.
Beispiel:
Gegeben ist die Matrix
.
Inverse Matrix:
Um dies zu überprüfen, sehen wir uns Folgendes an
Gesetze
Arten von Matrizen
1. Zeilenmatrix
Eine Matrix, die nur aus einer Zeile besteht.
Beispiel:
2. Spaltenmatrix
Beispiel:
3. Rechteckige Matrix
Bei dieser Matrix stimmt die Anzahl der Zeilen nicht mit der Anzahl der Spalten überein, ihre Dimension ist 
.
Beispiel:
4. Quadratische Matrix
Die Anzahl der Zeilen stimmt mit der Anzahl der Spalten überein.
Die Elemente der Form 
bilden die Hauptdiagonale.
Die Nebendiagonale besteht aus den Elementen, für deren Indizes Folgendes gilt: 
Beispiel:
5 Nullmatrix
Alle Elemente sind null.
Wobei 
für alle und 
.
Beispiel:
6. Obere Dreiecksmatrix
Die Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind 
.
Beispiel:
Da die Definition von der Hauptdiagonalen abhängt, muss die Matrix quadratisch sein.
7. Untere Dreiecksmatrix
Die Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind .
Beispiel:
Da die Definition von der Hauptdiagonalen abhängt, muss die Matrix quadratisch sein.
8. Diagonalmatrix
Alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen sind null.
Beispiel:
Da es sich um Dreiecksmatrizen handelt, sind die Matrizen quadratisch.
9. Skalarmatrix
Eine Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonalen gleich sind.
Beispiel:
Da es sich um eine Diagonalmatrix handelt, ist die Matrix quadratisch.
10. Einheitsmatrix
Eine Diagonalmatrix, bei der die Elemente der Hauptdiagonalen 1 sind.
Beispiel:
Da es sich um eine Skalarmatrix handelt, ist die Matrix quadratisch.
11. Transponierte Matrix
Die transponierte Matrix einer Matrix A ist die Matrix, die man erhält, wenn man die Zeilen und Spalten vertauscht (die erste Zeile wird zur ersten Spalte usw.). Wenn wir die Matrix 
haben,
ist deren transponierte Matrix 
, für die gilt
Beispiel:
Gegeben ist die Matrix
deren transponierte Matrix
ist.
Eigenschaften:
12. Reguläre Matrix
Quadratische Matrix, die eine Inverse besitzt.
13. Singuläre Matrix
Matrix, deren inverse Matrix nicht existiert. Zum Beispiel existiert für keine rechteckige Matrix (nicht quadratisch) eine Inverse (eine Matrix muss quadratisch sein, damit eine Inverse existiert).
14. Idempotente Matrix
Für eine idempotente Matrix gilt:
Beispiel:
Sehen wir uns folgende Matrix an
,
Wir stellen fest, dass
15. Selbstinverse Matrix
Für eine selbstinverse Matrix gilt:
Beispiel:
Wir sehen uns folgende Matrix an
,
Wir stellen fest, dass
16. Symmetrische Matrix
Für eine symmetrische Matrix gilt
Beispiel:
Wir sehen uns folgende Matrix an
,
Wir stellen fest, dass
.
17. Antisymmetrische oder schiefsymmetrische Matrix
Für eine antisymmetrische Matrix gilt:
Beispiel:
Wir sehen uns folgende Matrix an
,
Wir stellen fest, dass
.
18. Orthogonale Matrix
Für eine orthogonale Matrix gilt:
Beispiel:
Wir sehen uns folgende Matrix an
,
Wir stellen fest, dass ihre transponierte Matrix
,
ist.
Wir multiplizieren mit ihrer transponierten Matrix 
und erhalten
.
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