Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable im Exponenten auftaucht.

Um eine Exponentialgleichung zu lösen, müssen wir Folgendes beachten:

 

Potenzgesetze

 

  • a> 0
  • a\neq 0
  • a^{0}=1
  • a^{1}=a
  • a^{-n}=\cfrac{1}{a^{n}}
  • a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}
  • a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}
  • (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}
  • a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}
  • a^{n}\div b^{n}=(a\div b)^{n}
  • wenn a^{n}=a^{m}, ist m=n 

 

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Los geht's

Exponentialgleichungen lösen

 

Fall 1: Exponentialgleichungen mit gleicher Basis

 

Die nötigen Schritte zur Bildung einer gleichen Basis durchführen, sodass wir die Exponenten gleichsetzen können.

 

Beispiele

 

1 \sqrt[3]{8^{x}}=65536

 

Wir formen die rechte Seite in 8^{\frac{x}{3}} um und zerlegen die Zahl 65536=2^{16}

 

8^{\frac{x}{3}}=2^{16}

 

Da 8=2^{3}, gilt:

 

(2^{3})^{\frac{x}{3}}=2^{16}

 

2^{x}=2^{16}

 

Wir setzen die Potenzen gleich

 

x=16

 

2 \sqrt[2x-1]{3^{x-3}}=\sqrt{27}

 

Wir wandeln die Wurzeln in Potenzen mit einem Bruch als Exponent um und setzen die Exponenten gleich

 

3^{\cfrac{x-3}{2x-1}}=3^{\cfrac{3}{2}}

 

\cfrac{x-3}{2x-1}=\cfrac{3}{2}

 

Wir lösen die sich daraus ergebende Gleichung:

 

x=-\cfrac{3}{4}

 

3 2^{x+1}+2^{x}+2^{x-1}=28

 

Wir klammern 2^{x} aus

 

2^{x}(2+1+2^{-1})=28

 

Wir wenden die Regel zum Umgang mit negativen Potenzen an und führen die erforderlichen Schritte durch. Wir erhalten 2^{x}

 

2^{x}\left (3+\cfrac{1}{2} \right )=28

 

2^{x}\left (\cfrac{7}{2} \right )=28

 

2^{x}=8

 

Wir formen die Gleichung um, sodass beide Seiten die gleiche Basis haben und setzen die Exponenten gleich

 

2^{x}=2^{3}

 

x=3

 

Fall 2: Die Summe der Terme bei einer geometrischen Folge

 

Wenn wir die Summe von n Termen einer geometrischen Folge haben, wenden wir folgende Formel an:

 

S_{n}=\cfrac{a_{n}\cdot r-a_{1}}{r-1}

 

Beispiel

 

1+2+4+8+...+2^{x}=1023

 

Anwenden der Formel:

 

1023=\cfrac{2^{x}\cdot 2-1}{2-1}

 

Wir bestimmen 2^{x} und formen so um, dass beide Seiten die gleiche Basis haben

 

512=2^{x}

 

2^{9}=2^{x}

 

x=9

Fall 3: Substitution

 

Wenn wir eine komplexere Gleichung haben, können wir zur Lösung auf die Substitution zurückgreifen.

 

Beispiele

 

1 2^{2x+1}-3\cdot 2^{x}+1=0

 

Zuerst wenden wir die Regel zum Produkt von Potenzen an, um die Gleichung zu vereinfachen.

 

2^{2x}\cdot 2-3\cdot 2^{x}+1=0

 

Wir wenden die Regel zur Potenzierung von Potenzen an

 

(2^{x})^{2}\cdot 2-3\cdot 2^{x}+1=0

 

Wir substituieren t=2^{x}

 

2t^{2}-3t+1=0

 

Wir faktorisieren die Gleichung und erhalten

 

(2t-1)(t-1)=0

t_{1}=\cfrac{1}{2}\; \; \; \; \; t_{2}=1

 

Wir führen die Rücksubstitution durch

 

\frac{1}{2}=2^{x}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x_{1}=-1

1=2^{x}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x_{2}=0

 

 

2 2-3^{-x}+3^{x+1}=0

 

Wir wenden die Regeln zu Potenzen von Produkt oder Quotient an, um die Summe oder Differenz aus den Exponenten zu entfernen

 

2-\cfrac{1}{3^{x}}+3^{x}\cdot 3=0

 

Wir substituieren t=3^{x}

 

2-\cfrac{1}{t}+3t=0

 

Wir multiplizieren beide Terme mit t

 

2t-1+3t^{2}=0

 

Wir faktorisieren und lösen die Gleichung

 

(3t-1)(t+1)=0

t_{1}=\cfrac{1}{3}\; \; \; \; \; t_{2}=-1

 

Wir führen die Rücksubstitution durch

 

\cfrac{1}{3}=3^{x}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x=-1

-1=3^{x}

 

Bei der zweiten Gleichung erhalten wir keine Lösung

 

3 4^{3x}=8^{x}+3

 

Wir zerlegen in die Faktoren 4=2^{2} und 8=2^{3}

 

(2^{2})^{3x}=2^{3x}+3

 

Wir substituieren

 

2^{3x}=t

t^{2}-t-3=0

 

t=\cfrac{1\pm \sqrt{13}}{2}

 

Wir führen die Rücksubstitution nur mit der positiven Lösung durch.

 

2^{3x}=\cfrac{1+\sqrt{13}}{2}

 

Da wir keine Exponenten gleichsetzen können, logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung und wenden auf der linken Seite der Gleichung die Regel an:

 

\log _{a}(x^{n})=n\log _{a}x

 

\log 2^{3x}=\log \cfrac{1+\sqrt{13}}{2}

3x\log 2=\log \cfrac{1+\sqrt{13}}{2}

 

Wir bestimmen x

 

x=\cfrac{\log \cfrac{1+\sqrt{13}}{2}}{3\log 2}=0,441

 

Für die negative Lösung erhalten wir keine Lösungsmenge, da wir beim Anwenden des Logarithmus im zweiten Term den Logarithmus einer negativen Zahl erhalten. Dieser existiert nicht.

 

Fall 4: Ungleiche Basis

 

Um eine Variable, die sich im Exponent einer Potenz befindet, zu bestimmen, wendet man den Logarithmus, dessen Basis die Basis der Potenz ist, an.

 

a^{x}=b

 

\log_{a}a^{x}=\log_{a}b\; \; \; \; \; x\log_{a}a=\log_{a}b\; \; \; \; \; x=\log_{a}b

 

Beispiel

 

1 10^{x+2}=5

 

Auf beiden Seiten der Gleichung logarithmieren

 

\log 10^{x+2}=\log 5

 

Wir wenden die Regel zum Logarithmus einer Potenz an

 

(x+2)\log 10=\log 5

 

Es gilt \log10=1

 

x+2=\log 5

 

Wir bestimmen x

 

x=\log5 -2 = -1,3010

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Eva