1 2\log x=3+\log\cfrac{x}{10}

 

 

2\log x=3+\log\cfrac{x}{10}

1 Wir wenden auf der rechten Seite die Regel für den Logarithmus eines Quotienten an

2\log x=3+\log x-\log 10

 

2 Wir subtrahieren \log x auf beiden Seiten und beachten dabei \log 10 = 1. Wir erhalten:

 

\log x =3-1

\log x =2

 

3 Wir beachten die Definition des Logarithmus und dass es sich hier um einen Zehnerlogarithmus handelt:

x=10^{2}\; \Rightarrow \; x=100

 

2 \log x+ \log (x+3) = 2\log (x+1)

 

 

\log x+ \log (x+3) = 2\log (x+1)
1 Wir wenden auf der linken Seite die Regel für die Summe von Logarithmen an:

\log \left [ x\left ( x+3 \right ) \right ]=\log (x+1)^{2}

 

 

2 Durch den Numerivergleich (oder Gleichsetzen) erhalten wir:

 

x(x+3)=(x+1)^{2}

 

3 Wir lösen die Gleichung und überprüfen die Lösung

 

x^{2}+3x=x^{2}+2x+1

x=1

 

3 4\log\left ( \cfrac{x}{5} \right )+\log \left ( \cfrac{625}{4} \right )=2\log x

 

 

4\log\left ( \cfrac{x}{5} \right )+\log \left ( \cfrac{625}{4} \right )=2\log x

1 Wir wenden auf beiden Seiten die Regel für den Logarithmus einer Potenz an

\log \left ( \cfrac{x}{5} \right )^{4}+\log \left ( \cfrac{625}{4} \right )=\log x^{2}

 

2 Wir wenden die Regel für den Logarithmus eines Produkts an

 

\log\left ( \cfrac{x^{4}}{625}\cdot \cfrac{625}{4} \right )=\log x^{2}

 

3 Auf der linken Seite rechnen wir

 

\log \left ( \cfrac{x^{4}}{4} \right )=\log x^{2}

 

4 Numerivergleich

 

\cfrac{x^{4}}{4}=x^{2}

x^{4}-4x^{2}=0

 

5 Wir lösen die Gleichung

 

x^{2}\left ( x^{2}-4 \right )=0

x^{2}(x+2)(x-2)=0

x_{1}=0\; \; \; \; \; x_{2}=-2\; \; \; \; \; x_{3}=2

6 Weder x=0 noch x=-2 sind Lösungen, da wir beim Einsetzen in die Gleichung den Logarithmus von 0 oder einer negativen Zahl erhalten. Diese Logarithmen existieren nicht. Somit ist x=2 die einzige Lösung

 

4 2\log x-2\log (x+1)=0

 

2\log x-2\log (x+1)=0

1 Wir bringen 2\log (x+1) auf die rechte Seite der Gleichung und wenden die Regel einer Potenz auf beiden Seiten der Gleichung an

 

2\log x=2\log (x+1)

\log x^{2}=\log (x+1)^{2}

 

2 Durch den Numerivergleich erhalten wir die Werte für {x}

 

{\begin{array}{rcl}x^{2}&=&(x+1)^{2} \\ && \\ x^{2}-(x+1)^{2} &=& 0 \\ && \\ (x-x-1)(x+x+1) &=& 0 \end{array}}

 

3 Wir lösen den ersten Faktor und erhalten 0=1. Dies ist eine unwahre Aussage und bedeutet, dass die Gleichung keine Lösung hat. Beim zweiten Faktor erhalten wir {x=-\displaystyle \frac{1}{2}}, allerdings ist {\log \left(-\frac{1}{2}\right)} nicht definiert und bedeutet, dass die Gleichung keine Lösung hat.

5 \log x = \cfrac{2-\log x}{\log x}

 

 

\log x = \cfrac{2-\log x}{\log x}

1 Wir lösen den Bruch auf und führen die Substitution durch

 

\left ( \log x \right )^{2} + \log x-2=0

t=\log x

t^{2}+t-2=0

2 Wir lösen die Gleichung

 

t_{1}=1\; \; \; \; \; t_{2}=-2

 

3 Wir führen die Rücksubstitution durch und wenden die Definition des Logarithmus an

\log x=1\; \Rightarrow \; x=10

 

\log x=-2\; \Rightarrow \; x=10^{-2}=\cfrac{1}{100}

 

6 \log (25-x^{3})-3\log (4-x)=0

 

 

\log (25-x^{3})-3\log (4-x)=0

1 Wir bringen den zweiten Summanden auf die rechte Seite der Gleichung und wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz an

 

\log (25-x^{3})=3\log (4-x)

\log (25-x^{3})=\log (4-x)^{3}

 

2 Wir wenden den Numerivergleich an und führen die nötigen Rechenschritte durch

 

25-x^{3}=(4-x)^{3}

25-x^{3}=64-48x+12x^{2}-x^{3}

 

3 Wir lösen die Gleichung mithilfe der a-b-c-Formel

 

12x^{2}-48x+39=0

 

\displaystyle x1,2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

 

\displaystyle x1,2 = \frac{48 \pm \sqrt{2304 - 1872}}{2 \cdot 12}

 

\displaystyle x1,2 = \frac{48 \pm \sqrt{432}}{24}

 

\displaystyle x1,2 = \frac{48 \pm \sqrt{144 \cdot 3}}{24}

 

\displaystyle x1,2 = \frac{48 \pm 12\sqrt{3}}{24}

 

x=2\pm \cfrac{\sqrt{3}}{2}

 

7 \cfrac{\log (16-x^{2})}{\log (3x-4)}=2

 

\cfrac{\log (16-x^{2})}{\log (3x-4)}=2

1 Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit \log(3x-4)

 

\log (16-x^{2})=2\log (3x-4)

 

2 Wir wenden auf der rechten Seite die Regel für den Logarithmus einer Potenz an und denken dabei an die Umkehrfunktion von Logarithmen

 

\log (16-x^{2})=\log (3x-4)^{2}

16-x^{2}=(3x-4)^{2}

 

3 Wir lösen die Gleichung. x=0 ist keine Lösung, da wir den Logarithmus einer negativen Zahl im Nenner erhalten, wenn wir den Wert in die Gleichung einsetzen.

 

10x^{2}-24x=0

x_{1}=0\; \; \; \; \; x_{2}=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}

 

8 \cfrac{\log (35-x^{3})}{\log (5-x)}=3

 

\cfrac{\log (35-x^{3})}{\log (5-x)}=3

1 Wir formen um

 

\log (35-x^{3})=3\log (5-x)

 

2 Wir wenden auf der rechten Seite die Regel für den Logarithmus einer Potenz an und führen anschließend den Numerivergleich durch

 

\log (35-x^{3})=log (5-x)^{3}

35-x^{3}=(5-x)^{3}

3 Wir führen die nötigen Rechenschritte durch und lösen die quadratische Gleichung

 

x^{2}-5x+6=0

x_{1}=2\; \; \; \; \; x_{2}=3

 

9 \log 2 + \log (11-x^{2})=2\log (5-x)

 

\log 2 + \log (11-x^{2})=2\log (5-x)

1 Wir wenden auf der linken Seite den Logarithmus eines Produkts an. Auf der rechten Seite wenden wir die Regel für den Logarithmus einer Potenz an.

 

\log \left [ 2\left ( 11-x^{2} \right ) \right ]=\log \left ( 5-x \right )^{2}

 

2 Durch den Numerivergleich ergibt sich:

 

2(11-x^{2})=(5-x)^{2}

 

3 Wir lösen die Gleichung und stellen fest, dass wir nicht den Logarithmus von 0 oder einer negativen Zahl erhalten

 

3x^{2}-10x+3=0

 

x_{1}=3\; \; \; \; \; x_{2}=\cfrac{1}{3}

 

10 \log_{5}x+\cfrac{\log_{5}125}{\log_{5}x}=\cfrac{7}{2}

 

\log_{5}x+\cfrac{\log_{5}125}{\log_{5}x}=\cfrac{7}{2}

1 Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit \log_{5}x und bringen alle Terme auf die linke Seite

 

(\log_{5}x)^{2}-\cfrac{7}{2}\log_{5}x+\log_{5}125=0

 

2 Wir beachten, dass \log_{5}125=\log_{5}5^{3}=3 und formen um:

 

2(\log_{5}x)^{2}-7\log_{5}x+6 =0

 

3 Wir führen die Substitution durch

 

t=\log_{5}x

2t^{2}-7t+6=0

3 Wir lösen die Gleichung

 

t_{1}=2\; \; \; \; \; t_{2}=\cfrac{3}{2}

 

4 Wir führen die Rücksubstitution durch

 

\log_{5}x=2\; \Rightarrow \; x=5^{2}\; \Rightarrow \; x=25

 

\log_{5}x=\cfrac{3}{2}\; \Rightarrow \; x=5^{\frac{3}{2}}\; \Rightarrow \; x=5\sqrt{5}

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Eva