Logarithmusgleichung

Bei Logarithmusgleichungen steht die Unbekannte in irgendeiner Form in Verbindung mit einem Logarithmus.

Bevor wir eine Logarithmusgleichung lösen, müssen wir die Regeln zum Umgang mit Logarithmen kennen.

 

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Los geht's

Regeln

 

1 log_{a}b=x \Rightarrow a^{x}=b

 

2 log_{a}a=1

 

3 log_{10}A=logA

 

4 log\left ( A\cdot B \right )=logA+logB

 

5 \displaystyle log\left ( \frac{A}{B} \right )=logA-logB

 

6 logA^{n}=n\cdot logA

 

Außerdem müssen wir die Lösungen überprüfen, um zu kontrollieren, dass wir nicht den Logarithmus einer negativen Zahl oder Null erhalten. Dies passiert häufig bei Logarithmen, die einen Ausdruck zweiten Grades enthalten.

 

Beispiele zur Lösung von Logarithmusgleichungen

 

Löse die folgenden Logarithmusgleichungen

1log(x)=2

 

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir nur Regel 1 anwenden (Definition des Logarithmus):

 

10^{2}=x

 

100=x

 

x=100

2 log(x^{2})=8

 

Wir wenden zunächst Regel 6 an, dann Regel 1 und erhalten so:

 

2\cdot log(x)=8

 

\displaystyle log(x)=\frac{8}{2}

 

log(x)=4

 

10^{4}=x

 

x=10000

3log_{4}(4-3x)=3

 

Wir wenden Regel 1 an, danach bestimmen wir die Variable x

 

4^{3}=4-3x

 

64=4-3x

 

3x=4-64

 

3x=-60

 

x=-20

 

Beim ersten Term wenden wir den Logarithmus eines Produkts an, beim zweiten die Regel vom Logarithmus einer Potenz.

 

4 log(x)+log(x+3)=2\cdot log(x+1) Mithilfe der Logarithmusregeln können wir die Logarithmen der Gleichung zusammenfassen. Auf der linken Seite der Gleichung wenden wir Regel 4 an, auf der rechten Seite der Gleichung wenden wir Regel 6 an:

log[x\cdot (x+3)]=log(x+1)^{2}

 

Sobald sich auf jeder Seite der Gleichung nur noch ein Logarithmus befindet, dürfen wir wie folgt gleichsetzen (Numerivergleich):

 

x\cdot (x+3)=(x+1)^{2}

 

Wir lösen die Gleichung:

x\cdot (x+3)=(x+1)^{2}

 

x^{2}+3x=x^{2}+2x+1

 

3x=2x+1

x=1

5 \displaystyle \frac{log(16-x^{2})}{log(3x-4)}=2

 

Den Nenner des Bruchs mit der rechten Seite der Gleichung multiplizieren:

 

log(16-x^{2})=2\cdot log(3x-4)

 

Wir wenden Regel 6 an und setzen gleich:

 

log(16-x^{2})=log(3x-4)^{2}

 

16-x^{2}=(3x-4)^{2}

 

Wir lösen die Gleichung:

16-x^{2}=9x^{2}-24x+16

 

10x^{2}-24x=0

 

2x(5x-12)=0

 

x_{1}=0          \displaystyle x_{2}=\frac{12}{5}

 

In diesem Fall müssen wir überprüfen, ob eine der Lösungen der Logarithmus einer negativen Zahl ist:

 

Wir verwenden x_{1}=0:

 

\displaystyle\frac{log(16-0^{2})}{log(3\cdot0-4)}=2

 

Im Nenner erhalten wir:

log(-4)

 

Wir erhalten den Logarithmus einer negativen Zahl. Dies stellt eine Scheinlösung dar, da der Logarithmus einer negativen Zahl nicht berechnet werden kann. Deshalb ergibt sich als Lösung für die Gleichung \displaystyle x_{2}=\frac{12}{5}.

 

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Eva