Um die folgenden Aufgaben lösen zu können, hier zur Erinnerung die Rechenregel für Logarithmen, die besagt:

wenn y der Logarithmus von b zur Basis a ist

 

\displaystyle \log_{a}{b} = y ,

 

so ist im Umkehrschluss a^y = b.

Das heißt, das Ergebnis y des Logarithmierens gibt an, mit welchem Exponenten man die Basis a potenzieren muss, um den Numerus b zu erhalten.

Berechne anhand dieser Regel die folgenden Aufgaben.

Berechne den Wert von y anhand der Logarithmus-Regel

1 \displaystyle \log_{\frac{1}{2}}0.25=y

Gegeben sei die Gleichung

 

\displaystyle\log_{\frac{1}{2}}0.25=y

 

Man wendet die Rechenregel für Logarithmen an und wandelt 0.25 in einen Bruch um, das heißt \displaystyle 0.25 = \frac{1}{4}, anschließend vereinfacht man die Gleichung

 

    \begin{align*} \log_{\frac{1}{2}}0.25 &= y\\\left( \frac{1}{2}\right)^y &= 0.25\\\left( \frac{1}{2}\right)^y &= \frac{1}{4}\\\frac{1^y}{2^y} &= \frac{1}{4}\\\frac{1}{2^y} &= \frac{1}{4}\\2^y &= 4\\y &= 2\end{align*}

2 \log_{\sqrt{5}}125=y

Gegeben sei die Gleichung

 

\log_{\sqrt{5}}125=y

 

Man wendet die Rechenregel für Logarithmen an und löst auf

 

     \begin{align*} \log_{\sqrt{5}}{125} &= y\\\left( \sqrt{5}\right)^y &= 125\\5^{\left( \frac{1}{2}y\right)} &= 5^3\\5^{\frac{y}{2}} &= 5^3\\\frac{y}{2} &= 3\\y &= 6\end{align*}

 

3 \log0.001=y

Gegeben sei die Gleichung

 

\log0.001=y

 

Der Ausdruck \log{x} bedeutet dabei immer, dass 10 die Basis ist, das heißt \log_{10}{x}. Man wendet die Rechenregel für Logarithmen an und löst auf

 

     \begin{align*} \log{0.001}&= y\\10^y &= 0.001\\10^y &= \frac{1}{1000}\\10^y &= 10^{-3}\\y &= -3\end{align*}

 

4 \displaystyle  \ln \frac{1}{e^5}=y

Gegeben sei die Gleichung

\displaystyle  \ln \frac{1}{e^5}=y

 

Ein Logarithmus mit Basis e wird immer als "natürlicher Logarithmus" bezeichnet und als \ln{x} = \log_{e}{x} dargestellt. Man wendet die Rechenregel für Logarithmen an und löst auf

 

     \begin{align*} \ln \frac{1}{e^5} &= y\\e^{y} &= \frac{1}{e^5}\\e^{y} &= e^{-5}\\y &= -5\end{align*}

 

5  \displaystyle \log_{\sqrt{3}}\sqrt[5]{\frac{1}{81}}=y

Gegeben sei die Gleichung

 

\displaystyle \log_{\sqrt{3}}\sqrt[5]{\frac{1}{81}}=y

 

Man wendet die Rechenregel für Logarithmen an und löst auf

 

    \begin{align*} \log_{\sqrt{3}}\sqrt[5]{\frac{1}{81}} &= y\\\sqrt{3}^y &= \sqrt[5]{\frac{1}{81}}\\3^{\frac{y}{2}} &= \sqrt[5]{\frac{1}{3^4}}\\3^{\frac{y}{2}} &= \sqrt[5]{3^{-4}}\\3^{\frac{y}{2}} &= 3^{-\frac{4}{5}}\\\frac{y}{2} &= -\frac{4}{5}\\y &= -\frac{8}{5}\end{align*}

 

6  \log_{2}{32} = y

Gegeben sei die Gleichung

 

3  \log_{2}{32} = y

 

Man wendet die Rechenregel für Logarithmen an und löst auf

 

    \begin{align*} \log_{2}{32} &= y\\2^{y} &= 32\\2^{y} &= 2^5\\y &= 5\end{align*}

 

7 \displaystyle \log_{9}{\frac{1}{3}} = y

Gegeben sei die Gleichung

 

\displaystyle \log_{9}{\frac{1}{3}} = y

 

Man wendet die Rechenregel für Logarithmen an und löst auf

 

     \begin{align*} \log_{9}{\frac{1}{3}} &= y\\9^{y} &= \frac{1}{3}\\\left( 3^2 \right)^{y} &= 3^{-1}\\3^{2y} &= 3^{-1}\\2y &= -1\\y &= -\frac{1}{2}\end{align*}

 

8 \log_{9}{\sqrt[4]{3}} = y

Gegeben sei die Gleichung

 

\log_{9}{\sqrt[4]{3}} = y

 

Man wendet die Rechenregel für Logarithmen an und löst auf

 

    \begin{align*} \log_{9}{\sqrt[4]{3}} &= y\\9^y &= \sqrt[4]{3}\\\left( 3^2 \right)^{y} &= \sqrt[4]{3}\\3^{2y} &= 3^{\frac{1}{4}}\\2y &= \frac{1}{4}\\y &= \frac{1}{8}\end{align*}

 

9\log_{y}{81} = -4

Gegeben sei die Gleichung

 

\log_{y}{81} = -4

 

Man wendet die Rechenregel für Logarithmen an und löst die Gleichung auf. In diesem Fall verläuft die Auflösung etwas anders, da y die Basis des Logarithmus ist.

 

    \begin{align*} \log_{y}{81} &= -4\\y^{-4} &= 81\\\frac{1}{y^{4}} &= 3^4\\y^{4} &= \frac{1}{3^{4}}\\y^{4} &= \frac{1^{4}}{3^{4}}\\y^{4} &= \left(\frac{1}{3}\right)^{4}\\y = \pm \frac{1}{3}\end{align*}

 

10 \log_{2}{y^3} = 6

Gegeben sei die Gleichung

 

\log_{2}{y^3} = 6

 

Man wendet die Rechenregel für Logarithmen an und löst die Gleichung auf. In diesem Fall verläuft die Auflösung etwas anders, da y Teil des logarithmischen Ausdrucks ist

 

    \begin{align*} \log_{2}{y^3} &= 6\\2^{6} &= y^3\\\left( 2^2 \right)^3 &= y^3\\4^3 &= y^3\\y &= 4\end{align*}

 

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Los geht's

Berechne den Logarithmus

 

In den Übungen 11 bis 14 wendet man den Basiswechsel der Logarithmen an, der besagt, dass ein Logarithmus von x mit Basis b gleich

 

\displaystyle \log_{b}{x} = \frac{\log_{c}{x}}{\log_{c}{b}} mit neuer Basis c ist. Der Ausdruck rechts enthält bereits die neue Basis.

 

1 Gegeben sei \log_{10}{2} = 0.3010. Berechne den folgenden Logarithmus:

 

\log_{10}{0.02}

 

Gegeben sei die Gleichung

 

\log_{10}{0.02}

 

Man wandelt den logarithmischen Ausdruck in einen Bruch um und löst auf

 

    \begin{align*} \log_{10}{0.02} &= \log_{10}{\frac{2}{100}}\\&= \log_{10}{2} - \log_{10}{100}\\&= \log_{10}{2} - \log_{10}{10^2}\\&= 0.3010 - 2\\&= -1.6990\end{align*}

 

2 Gegeben sei \log_{10}{2} = 0.3010. Berechne den folgenden Logarithmus:

 

\log_{10}{\sqrt[4]{8}}

 

Gegeben sei der Logarithmus

 

\log_{10}{\sqrt[4]{8}}

 

Man schreibt \sqrt[4]{8} als Potenz von 2 aus.

 

     \begin{align*} \log_{10}{\sqrt[4]{8}} &= \log_{10}{8^{\frac{1}{4}}}\\&= \log_{10}{\left( 2^3 \right)^{\frac{1}{4}}}\\&= \log_{10}{2^{\frac{3}{4}}}\\&= \frac{3}{4}\log_{10}{2}\\&= \frac{3}{4} (0.3010)\\&= 0.22575\end{align*}

 

3 Gegeben sei \log_{10}{2} = 0.3010. Berechne den folgenden Logarithmus:

 

\log_{10}{5}

 

Gegeben sei der Logarithmus

 

\log_{10}{5}

 

Man schreibt 5 zu \displaystyle \frac{10}{2} um und wenden dann Logarithmusgesetze an

 

    \begin{align*} \log_{10}{5} &= \log_{10}{\frac{10}{2}}\\&= \log_{10}{10} - \log_{10}{2}\\&= 1 - 0.3010\\&= 0.6990\end{align*}

 

4 Gegeben sei \log_{10}{2} = 0.3010. Berechne den folgenden Logarithmus:

 

\log_{10}{0.0625}

 

Gegeben sei der Logarithmus

 

\log_{10}{0.0625}

 

Man schreibt 0.0625 zu einem Bruch mit Potenz 2 um und wendet dann Logarithmusgesetze an

 

     \begin{align*} \log_{10}{0.0625} &= \log_{10}{\frac{625}{10^4}}\\2^{6} &= y^3\\&= \log_{10}{\frac{5^4}{2^4 \cdot 5^4}}\\&= \log_{10}{\frac{1}{2^4}}\\&= \log_{10}{2^{-4}}\\&= -4\log_{10}{2}\\&= -4(0.3010)\\&= -1.204\\\end{align*}

 

Schreibe den Logarithmus um

 

1 \displaystyle \ln{\frac{x^2 y (m + n)}{m n}}

Gegeben sei der Ausdruck

 

\displaystyle \ln{\frac{x^2 y (m + n)}{m n}}

 

Man löst die Übung wie folgt:

 

    \begin{align*} \ln{\frac{x^2 y (m + n)}{m n}} &= \ln{x^2 y (m + n)} - \ln{m n}\\&= \ln{x^2} + \ln{y} + \ln{(m + n)} - \ln{m} - \ln{n}\\&= 2\ln{x} + \ln{y} + \ln{(m + n)} - \ln{m} - \ln{n}\\\end{align*}

 

2 \displaystyle \log_{2}{\frac{a^2 - b^2}{ab}}

Gegeben sei der Ausdruck

 

\displaystyle \log_{2}{\frac{a^2 - b^2}{ab}}

 

Man löst die Übung wie folgt:

 

    \begin{align*} \log_{2}{\frac{a^2 - b^2}{ab}} &= \log_{2}{\frac{(a + b)(a - b)}{ab}}\\&= \log_{2}{(a + b)(a - b)} - \log_{2}{ab}\\&= \log_{2}{(a + b)} + \log_{2}{(a - b)} - \log_{2}{ab}\\&= \log_{2}{(a + b)} + \log_{2}{(a - b)} - \log_{2}{a} - \log_{2}{b}\\\end{align*}

 

3 \log_{10}{2\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}}

Gegeben sei der Ausdruck

 

\log_{10}{2\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}}

 

Man löst die Übung wie folgt:

 

    \begin{align*} \log_{10}{2\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}} &= \log_{10}{2\left(2 \sqrt{2 \sqrt{2}} \right)^{\frac{1}{2}}}\\&= \log_{10}{2} + \log_{10}{\left(2 \sqrt{2 \sqrt{2}} \right)^{\frac{1}{2}}}\\&= \log_{10}{2} + \frac{1}{2}\log_{10}{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}\\&= \log_{10}{2} + \frac{1}{2}\log_{10}{2} + \frac{1}{2}\log_{10}{\left(2 \sqrt{2} \right)^{\frac{1}{2}}}\\&= \frac{3}{2}\log_{10}{2} + \frac{1}{4}\log_{10}{2 \sqrt{2}}\\&= \frac{3}{2}\log_{10}{2} + \frac{1}{4}\log_{10}{2 (2)^{\frac{1}{2}}}\\&= \frac{3}{2}\log_{10}{2} + \frac{1}{4}\log_{10}{2} + \frac{1}{4}\log_{10}{(2)^{\frac{1}{2}}}\\&= \frac{7}{4}\log_{10}{2} + \frac{1}{8}\log_{10}{2}\\&= \frac{15}{8}\log_{10}{2}\\\end{align*}

 


Man erhält den Wert von x, indem man Logarithmen anwendet

4 x = \sqrt[5]{493}

 

Gegeben sei die Gleichung

 

x = \sqrt[5]{493}

 

Man löst die Übung wie folgt:

 

    \begin{align*} x &= \sqrt[5]{493}\\\log_{10}{x} &= \log_{10}{\sqrt[5]{493}}\\\log_{10}{x} &= \log_{10}{493^{\frac{1}{5}}}\\\log_{10}{x} &= \frac{1}{5}\log_{10}{493}\\\log_{10}{x} &= \frac{1}{5}(2.6928)\\\log_{10}{x} &= 0.53856\\x &= 10^{0.53856}\\x &= 3.4559\\\end{align*}

 

5 \displaystyle x = \frac{\sqrt[3]{0.3688}}{22.958^5}

Gegeben sei die Gleichung

 

\displaystyle x = \frac{\sqrt[3]{0.3688}}{22.958^5}

 

Man löst die Übung wie folgt:

 

    \begin{align*} x &= \frac{\sqrt[3]{0.3688}}{22.958^5}\\\log_{10}{x} &= \log_{10}{\frac{\sqrt[3]{0.3688}}{22.958^5}}\\\log_{10}{x} &= \log_{10}{\sqrt[3]{0.3688}} - \log_{10}{22.958^5}\\\log_{10}{x} &= \log_{10}{0.3688^{\frac{1}{3}}} - \log_{10}{22.958^5}\\\log_{10}{x} &= \frac{1}{3}\log_{10}{0.3688} - 5\log_{10}{22.958}\\\log_{10}{x} &= -6.94907\\x &= 10^{-6.94907}\\x &= \frac{1.12442}{10^7}\\\end{align*}

 

6 \displaystyle x = \frac{425\sqrt{2.73}}{\sqrt[3]{48.4}}

Gegeben sei die Gleichung

 

\displaystyle x = \frac{425\sqrt{2.73}}{\sqrt[3]{48.4}}

 

Man löst die Übung wie folgt:

 

    \begin{align*} x &= \frac{425\sqrt{2.73}}{\sqrt[3]{48.4}}\\\log_{10}{x} &= \log_{10}{\frac{425\sqrt{2.73}}{\sqrt[3]{48.4}}}\\\log_{10}{x} &= \log_{10}{425\sqrt{2.73}} - \log_{10}{\sqrt[3]{48.4}}\\\log_{10}{x} &= \log_{10}{425} + \frac{1}{2}\log_{10}{2.73} - \frac{1}{3}\log_{10}{48.4}\\\log_{10}{x} &= 2.6284 + \frac{1}{2}(0.4362) - \frac{1}{3}(1.6848)\\\log_{10}{x} &= 2.2849\\x &= 10^{2.2849}\\x &= 192.708\end{align*}

 

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Eva