Definition
Du hast dich sicherlich schon mit Potenzen befasst und weißt zum Beispiel:
![\[10^{4}=10000\]](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54d18d2024af19cf2bb68e12e3374833_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Angenommen, du möchtest aber eine Potenz, bei der die Zahl 10 potenziert wird und das Ergebnis 10000000 ist, herausfinden. Dies kann wie folgt dargestellt werden:
![\[10^{x}=10000000\]](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0345cc5a922b61113694878c969446bb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Kannst du bei dieser Gleichung '
' bestimmen?
Die Gleichung, die wir aufstellen, ist eine Exponentialgleichung. Um die Variable '' zu bestimmen, müssen wir einen Logarithmus anwenden. Ein Logarithmus ist eine "Rechenoperation" oder "Funktion", mit der man die Potenz erhält, deren gegebene Basis potenziert werden muss, um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten. In unserem Beispiel ist 10 die Basis und das gewünschte Ergebnis ist 10000000. Deshalb gilt:
Im Allgemeinen gilt für den Logarithmus:
hierbei:
a ist die Basis
x ist das gewünschte Ergebnis (auch Potenzwert genannt)
y ist die Potenz, deren Basis a potenziert wird
Als Nächstes zeigen wir dir anhand von ein paar Beispielen, wie man eine Exponentialgleichung als Logarithmusgleichung darstellt:
und 
sind (Eulersche Zahl, 
)Wenn die Zahl die Basis ist, muss sie nicht geschrieben werden:
Der Logarithmus zur Basis heißt natürlicher Logarithmus und wird wie folgt ausgedrückt:
Regeln für den Logarithmus
1 Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren
2 Der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz des Logarithmus des Dividenden und des Logarithmus des Divisors
3 Der Logarithmus einer Potenz ist das Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis der Potenz
4Der Logarithmus einer Wurzel ist der Logarithmus des Radikanten geteilt durch den Wurzelexponenten
![\displaystyle \log\sqrt[n]{A} = \frac{\log A}{n} = \frac{1}{n}\cdot \log A](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c85421036315669e7d770159a75e09ab_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Aus den Regeln 
und 
folgern wir:
![\displaystyle \log\sqrt[n]{A^{m}} = \frac{m\cdot \log A}{n} = \frac{m}{n}\cdot \log A](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9c4da73542f0bd0c73266e1d2d43edde_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
5 Der Logarithmus zur Basis '
' von '' ist '
'
6 Der Logarithmus von ist 
(Die Basis ist nicht von Bedeutung)
Somit gilt:
7 Die Logarithmusbasis muss immer größer als null sein
Für 
gilt 
Anwendung der Logarithmusregeln
Basiswechsel
Um einen Logarithmus zur Basis '
' in einen äquivalenten Ausdruck mit dem Logarithmus zur Basis '' umzuschreiben, können wir folgenden Schritt durchführen:
Wir können den Ausdruck wie folgt umwandeln:
Auf beiden Seiten der Gleichung 
anwenden:
Regel anwenden und '' bestimmen. Wir erhalten:
Deshalb:
Beispiel: 
umwandeln
Wir wenden an:
Rechenschritte und Anwendung der Logarithmusregeln zur Lösung eines mathematischen Ausdrucks
Beispiel: Löse 
durch die Anwendung der Logarithmusregeln.
Wir setzen den zu lösenden Ausdruck mit '' gleich:
Da alle Zahlen Potenzen von 
sind, können wir auf beiden Seiten anwenden:
Durch die Anwendung der Logarithmusregeln auf der rechten Seite erhalten wir:
Logarithmen lösen:
Exponentielle Schreibweise:
Deshalb gilt:
Einen mathematischen Ausdruck mit mehreren Logarithmen so umformen, dass der Ausdruck nur noch einen Logarithmus enthält
Beispiel: Forme den folgenden Ausdruck so um, dass er nur noch einen Logarithmus enthält
Logarithmusregeln anwenden:
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