Definition

Du hast dich sicherlich schon mit Potenzen befasst und weißt zum Beispiel:

 

    \[10^{4}=10000\]

 

Angenommen, du möchtest aber eine Potenz, bei der die Zahl 10 potenziert wird und das Ergebnis 10000000 ist, herausfinden. Dies kann wie folgt dargestellt werden:

 

    \[10^{x}=10000000\]

 

Kannst du bei dieser Gleichung 'x' bestimmen?

 

Die Gleichung, die wir aufstellen, ist eine Exponentialgleichung. Um die Variable 'x' zu bestimmen, müssen wir einen Logarithmus anwenden. Ein Logarithmus ist eine "Rechenoperation" oder "Funktion", mit der man die Potenz erhält, deren gegebene Basis potenziert werden muss, um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten. In unserem Beispiel ist 10 die Basis und das gewünschte Ergebnis ist 10000000. Deshalb gilt:

\log_{10}10000000=X

 

Im Allgemeinen gilt für den Logarithmus:

 

\log_{a}X=Y

 

hierbei:

 

a ist die Basis

x ist das gewünschte Ergebnis (auch Potenzwert genannt)

y ist die Potenz, deren Basis a potenziert wird

Als Nächstes zeigen wir dir anhand von ein paar Beispielen, wie man eine Exponentialgleichung als Logarithmusgleichung darstellt:

 

4^{3} = 64         \Rightarrow        \log_{4}64 = 3

\displaystyle 5^{-2} = \frac{1}{25}       \Rightarrow        \displaystyle\log_{5}\frac{1}{25} = -2

\displaystyle 36^{\frac{1}{2}} = 6        \Rightarrow        \displaystyle \log_{36}6 = \frac{1}{2}}

 

 
Es ist zu betonen, dass die meist verwendeten Basen bei Logarithmen 10 und e sind (Eulersche Zahl, e = 2,718281828459...)

Wenn die Zahl 10 die Basis ist, muss sie nicht geschrieben werden:

\log_{10}A=\log A

 

Der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus und wird wie folgt ausgedrückt:

\log_{e}X = \ln X

 

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Los geht's

Regeln für den Logarithmus

 

1 Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren

\log(A\cdot B) = \log A + \log B

 

2 Der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz des Logarithmus des Dividenden und des Logarithmus des Divisors

 

\displaystyle\log(\frac{A}{B}) = \log A - \log B

 

3 Der Logarithmus einer Potenz ist das Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis der Potenz

\log A^{n} = n\cdot \log A

 

4Der Logarithmus einer Wurzel ist der Logarithmus des Radikanten geteilt durch den Wurzelexponenten

 

\displaystyle \log\sqrt[n]{A} = \frac{\log A}{n} = \frac{1}{n}\cdot \log A

 

Aus den Regeln 3 und 4 folgern wir:

 

\displaystyle \log\sqrt[n]{A^{m}} = \frac{m\cdot \log A}{n} = \frac{m}{n}\cdot \log A

 

5 Der Logarithmus zur Basis 'avon 'a' ist '1'

\log_{a}a = 1

 

6 Der Logarithmus von 1 ist 0 (Die Basis ist nicht von Bedeutung)

\log 1=0

 

Somit gilt:

\log 10=1

\ln e=1

 

7 Die Logarithmusbasis muss immer größer als null sein

 

Für      \log X=Y      gilt      X> 0

 

Anwendung der Logarithmusregeln

 

Basiswechsel

 

Um einen Logarithmus zur Basis 'b' in einen äquivalenten Ausdruck mit dem Logarithmus zur Basis 'a' umzuschreiben, können wir folgenden Schritt durchführen:

 

\log _{b}N =x

 

Wir können den Ausdruck wie folgt umwandeln:

b^{x} = N

 

Auf beiden Seiten der Gleichung   \log _{a}   anwenden:

 

\log _{a}b^{x} = \log _{a}N

 

Regel 3 anwenden und 'x' bestimmen. Wir erhalten:

 

x\cdot \log _{a}b=\log _{a}N

\displaystyle x=\frac{\log _{a}N}{\log _{a}b}

 

Deshalb:

\displaystyle \log _{b}N=\frac{\log _{a}N}{\log _{a}b}

 

Beispiel:  \log _{4}64  \log _{2} umwandeln

 

Wir wenden an:    \displaystyle \log _{b}N=\frac{\log _{a}N}{\log _{a}b}

\displaystyle \log _{4}64=\frac{log_{2}64}{\log _{2}4}

 

Rechenschritte und Anwendung der Logarithmusregeln zur Lösung eines mathematischen Ausdrucks

 

Beispiel: Löse \displaystyle \frac{64\cdot 8\cdot 128}{16^{4}} durch die Anwendung der Logarithmusregeln.

Wir setzen den zu lösenden Ausdruck mit 'x' gleich:

 

\displaystyle x=\frac{64\cdot 8\cdot 128}{16^{4}}

 

Da alle Zahlen Potenzen von 2 sind, können wir auf beiden Seiten \log _{2} anwenden:

 

\displaystyle \log _{2}x=\log _{2}\frac{64\cdot 8\cdot 128}{16^{4}}

 

Durch die Anwendung der Logarithmusregeln auf der rechten Seite erhalten wir:

 

\log _{2}x=\log _{2}64+\log _{2}8+\log _{2}128-\log _{2}16^{4}

\log _{2}x=\log _{2}64+\log _{2}8+\log _{2}128-4\cdot \log _{2}16

 

Logarithmen lösen:

\log _{2}x=6+3+7-4\cdot 4

\log _{2}x=16-16

\log _{2}x=0

 

Exponentielle Schreibweise:

x=2^{0}

x=1

 

Deshalb gilt:

\displaystyle \frac{64\cdot 8\cdot 128}{16^{4}}=1

 

 

Einen mathematischen Ausdruck mit mehreren Logarithmen so umformen, dass der Ausdruck nur noch einen Logarithmus enthält

 

 

Beispiel: Forme den folgenden Ausdruck so um, dass er nur noch einen Logarithmus enthält

\log 9+4\cdot \log 27-\log 81

 

Logarithmusregeln anwenden:

 

\log 9+4\cdot \log 27-\log 81

=\log 9+\log 27^{4}-\log 81

=\log (9\cdot 27^{4})-\log 81

\displaystyle =\log \frac{9\cdot 27^{4}}{81}

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Eva