Zu lösende Aufgaben

 

1 \left\{\begin{matrix} \ 3^{2x+y} =3^7 \\ 3^{x-2y}=3 \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} \ 3^{2x+y} =3^7 \\ 3^{x-2y}=3 \end{matrix}\right.

1 Ermittle die Exponenten und ihre jeweilige Basis

 

Da die Basen der Potenzen in beiden Teilen der Gleichung dieselben sind, werden die Exponenten angeglichen und das  2\times 2 -Gleichungssystem wird aufgelöst. Erinnere dich daran, dass bei Potenzen mit Exponent 1 dieser normalerweise nicht sichtbar ist.

 

\left\{ \begin{matrix} 2x+y =7 \\ x-2y=1 \end{matrix}\right.

 

2 Wende das Substraktionsverfahren an, um das  2\times 2 -Gleichungssystem zu lösen

 

Multipliziere die erste Gleichung mit 2

2(2x+y=7) \Longrightarrow 4x+2y=14

Addiere nun beide Gleichungen Term für Term

 

\begin{matrix} 4x+2y=14 \\ x-2y=1 \\ \hline 5x+0=15 \end{matrix} \quad\Longrightarrow \quad x=\dfrac{15}{5}=3.

 

Den Wert für y erhältst du, indem du den Wert für x auf einer der beiden Seiten einsetzt:

 

4(3)+2y=14 \Longrightarrow y=\dfrac{14-12}{2}=1.

 

Die Lösung der Gleichung ist folglich x=3\ y=1.

 

2 \left\{\begin{matrix} \ \ \dfrac{2^{2x-3}}{2^{3y+2}}=2^8 \\ 3x-2y=17 \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} \ \ \dfrac{2^{2x-3}}{2^{3y+2}}=2^8 \\ 3x-2y=17 \end{matrix}\right.

1 Ermittle die Exponenten und ihre jeweilige Basis

 

Um eine Potenz derselben Basis in der gesamten Gleichung zu erhalten, löse zunächst den Bruch der ersten Gleichung auf:

 

2^8 =\dfrac{2^{2x-3}}{2^{3y+2}}= 2^{(2x-3)-(3y+2)} =2^{2x-3y-5} \Longrightarrow 2^{2x-3y-5}= 2^8.

 

Die Exponenten der ersten Gleichung können jetzt miteinander gleichgesetzt werden, da ihre Potenzen dieselbe Basis haben. Vereinfache nun die Gleichung:

2x-3y-5= 8 \Longrightarrow 2x-3y=13;

 

Ziehe für das 2\times 2 -Gleichungssystem die ursprüngliche zweite Gleichung heran und löse auf

 

\left\{\begin{matrix} 2x-3y=13 \\ 3x-2y=17 \end{matrix}\right.

 

2 Wende das Substitutionsverfahren (=Einsetzverfahren) an, um das  2\times 2 -Gleichungssystem zu lösen

 

indem du die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit -3 multiplizierst

 

\begin{matrix} 2(2x-3y=13) &\Longrightarrow 4x-6y=26 \\ \ & \ \\ -3(3x-2y=17) &\Longrightarrow -9x+6y=-51. \\ \end{matrix}

 

Addiere nun beide Gleichungen Term für Term und du erhältst den Wert für  x:

 

\begin{matrix} 4x-6y=26 \\ -9x+6y=-51 \\ \hline -5x+0=-25 \end{matrix} \quad\Longrightarrow \quad x=\dfrac{-25}{-5}=5.

 

Den Wert für y erhältst du, indem du den Wert für x auf einer der beiden Seiten einsetzt:

2(5)-3y=13 \Longrightarrow y=\dfrac{13-10}{-3}=-1.

Die Lösung der Gleichung ist folglich x=5\ y=-1.

 

3 \left\{\begin{matrix} \ \ \ 5^x\cdot 25^y=5^7\\ 2^{x-1}\cdot 2^{y+2}=64 \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} \ \ \ 5^x\cdot 25^y=5^7\\ 2^{x-1}\cdot 2^{y+2}=64 \end{matrix}\right.

1 Ermittle die Exponenten und ihre jeweilige Basis

 

Mache dir die Eigenschaften des Potenzprodukts zunutze, um beide Gleichungen zu vereinfachen und auf jeweils einen Exponenten zu bringen

5^7=5^x\cdot 25^y=5^x\cdot (5^2)^y=5^{x+2y} \Longrightarrow 5^{x+2y}=5^7,

 

2^6=64= 2^{x-1}\cdot 2^{y+2} = 2^{x+y+1} \Longrightarrow 2^{x+y+1} =2^6

 

Bilde das 2\times 2 -Gleichungssystem indem du die Exponenten aus beiden Gleichungen miteinander gleichsetzt, da sie auf beiden Seiten dieselbe Basis haben

 

\left\{\begin{matrix} x+2y=7 \\ x+y+1 =6 \end{matrix}\right.

 

2 Wende das Substitutionsverfahren (=Einsetzverfahren) an, um das  2\times 2 -Gleichungssystem zu lösen

 

Das Substitutionsverfahren besteht darin, eine von zwei Variablen einer Gleichung zu ermitteln und anschließend das Ergebnis bzw. den so erhaltenen Term in die zweite Gleichung einzusetzen, um den Wert der zweiten Variablen herauszufinden:

 

\begin{matrix} x+2y=7 \Longrightarrow x=7-2y\\ \ \\ (7-2y)+y+1 =6 \Longrightarrow y=\dfrac{6-8}{-1}=2 \end{matrix}

 

Durch Einsetzen des Werts von y in der Gleichung x=7-2y erhält man x=3. Die Lösung der Gleichung ist folglich x=3\ y=2.

 

4 \left\{\begin{matrix} \ \ \ \ \ 2^x + 5^y=9\\ 2^{x-1} + 5^{y+1}=9 \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} \ \ \ \ \ 2^x + 5^y=9\\ 2^{x-1} + 5^{y+1}=9 \end{matrix}\right.

1 Ermittle die Exponenten und ihre jeweilige Basis

 

Wende bei der zweiten Gleichung das Potenzgesetz an, um die Summen und Subtraktionen in den Exponenten als Produkt und Bruch darzustellen:

 

9=2^{x-1} + 5^{y+1}=2^{-1}\cdot 2^{x}+5\cdot 5^y \Longrightarrow \dfrac{1}{2}2^x +5\cdot 5^y=9

 

Durch Tausch der Variablen u=2^x , v=5^y und Einsetzen in den zuvor erhaltenen Ausdruck und in die erste Gleichung erhält man das   2\times 2 -Gleichungssystem

 

\left\{\begin{matrix} \ \ u+v=9\\ \dfrac{1}{2}u+5v=9. \end{matrix}\right.

 

2 Wende das Substraktionsverfahren an, um das  2\times 2 -Gleichungssystem zu lösen

 

Das Substitutionsverfahren besteht darin, eine von zwei Variablen einer Gleichung zu ermitteln und anschließend das Ergebnis bzw. den so erhaltenen Term in die zweite Gleichung einzusetzen, um den Wert der zweiten Variablen herauszufinden. In diesem Fall soll nach der Variablen  u aufgelöst werden:

 

\begin{matrix} \ \ u+v=9 \Longrightarrow u=9-v\\ \ \\ \dfrac{1}{2}u+5v=9 \Longrightarrow u=18-10v \end{matrix}\quad \Longrightarrow \quad 18-10v=9-v.

 

Berechne den Wert von v und setze ihn in einer der Gleichungen des Gleichungssystems ein, um den Wert für u zu ermitteln. Setze die erhaltenen Werte für v und u nun wieder in die Gleichung ein, um die Werte für x, y zu erhalten.

 

    \begin{align*} 18-10v&=9-v \Longrightarrow v=\dfrac{18-9}{9}=1\\ \ \\ u&=9-(1)=8\\ \ \\ 2^x=8 &\quad \Longrightarrow \quad x=3\\ 5^y=1 &\quad \Longrightarrow \quad y=0 \end{align*}

 

Die Lösung der Gleichung ist folglich x=3\ y=0.

5 \left\{\begin{matrix} 3^x -2^y=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 3^{x-1} = 2^{y-2}+1 \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} 3^x -2^y=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 3^{x-1} = 2^{y-2}+1 \end{matrix}\right.

1 Ermittle die Exponenten und ihre jeweilige Basis

 

Wende bei der zweiten Gleichung das Potenzgesetz and, um die in der Potenz erscheinenden Subtraktionen als Divisionen darzustellen:

 

\dfrac{1}{3}3^{x} = \dfrac{1}{2^2}2^{y}+1 \Longrightarrow \dfrac{1}{3}3^x-\dfrac{1}{4}2^y=1.

 

Durch Tauschen der Variablen u=3^x , v=2^y und Einsetzen in den zuvor erhaltenen Ausdruck und in die erste Gleichung erhält man das 2\times 2 -Gleichungssystem

 

\left\{\begin{matrix} \ \ \ \ u -v=1\\ \dfrac{1}{3}u-\dfrac{1}{4}v=1.\end{matrix}\right.

 

2 Wende das Substraktionsverfahren an, um das  2\times 2 -Gleichungssystem zu lösen

 

Löse in beiden Gleichungen nach u auf und wende das Gleichsetzungsverfahren an, um eine Gleichung mit der Variablen v zu erhalten

 

\begin{matrix} \ \ u-v=1 \Longrightarrow u=1+v\\ \ \\ \dfrac{1}{3}u-\dfrac{1}{4}v=1 \Longrightarrow u=3+ \dfrac{3}{4}v \end{matrix} \quad \Longrightarrow \quad 1+v= 3+ \dfrac{3}{4}v.

 

Berechne den Wert von v und setze ihn in eine der Gleichungen des Gleichungssystems ein, um den Wert für u zu ermitteln. Setze die erhaltenen Werte für v und u nun wieder in die Gleichung ein, um die Werte für x, y zu erhalten.

 

    \begin{align*} 1+v&= 3+ \dfrac{3}{4}v \Longrightarrow v=2\div \dfrac{1}{4}=8\\ \ \\ u&=3+ \dfrac{3}{4}(8) =3+6=9\\ \ \\ 3^x=9 &\quad \Longrightarrow \quad x=2\\ 2^y=8 &\quad \Longrightarrow \quad y=3 \end{align*}

 

Die Lösung der Gleichung ist folglich x=2\ y=3.

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Melanie S

Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan bringe ich die Lernartikel von echten Mathe-Profis logisch und verständlich ins Deutsche, damit du als Mathelerner bei Superprof deine Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden kannst.