Was sind Exponentialgleichungen?

 

Bei Exponentialgleichungen steht die Variable im Exponenten einer Potenz.

Zum Beispiel:

a^{x-1}=b

 

a und b sind Konstanten

 

Beim Lösen von Exponentialgleichungen treten im Allgemeinen zwei Fälle auf: Gleichungen, bei denen eine Lösung mittels Exponentenvergleich nur dann möglich ist, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben. Und Gleichungen, bei denen es NICHT möglich ist, die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben. Dann gibt es noch Gleichungen, für deren Lösung bestimmte Rechenschritte nötig sind.

 

Gleichungen, bei denen sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben

Um diese Art von Gleichung zu lösen, werden die Terme der Gleichung so umgeformt, dass sich auf beiden Seiten Potenzen mit gleichen Basen ergeben. Danach können wir die Exponenten gleichsetzen und mittels Exponentenvergleich die Gleichung lösen

 

Gleichungen, bei denen sich KEINE Potenzen mit gleichen Basen ergeben

Um diese Art von Gleichung zu lösen, müssen wir den Logarithmus und die dazugehörigen Regeln anwenden, damit die Variable nicht mehr in der Potenz steht. Danach können wir die resultierende Gleichung lösen

 

Andere Arten von Exponentialgleichungen

Es gibt auch Exponentialgleichungen, bei denen die Variable nur durch die Durchführung bestimmter Rechenschritte bestimmt werden kann

 

 

Unsere besten verfügbaren Mathe-Nachhilfelehrer
Viktor
5
5 (142 Bewertungen)
Viktor
60€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Elisabeth
5
5 (28 Bewertungen)
Elisabeth
32€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Andrea
5
5 (60 Bewertungen)
Andrea
75€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Jonas
5
5 (12 Bewertungen)
Jonas
40€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Boris
5
5 (27 Bewertungen)
Boris
30€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Rafael
5
5 (65 Bewertungen)
Rafael
45€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Thomas
5
5 (35 Bewertungen)
Thomas
100€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Julien
5
5 (18 Bewertungen)
Julien
25€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Viktor
5
5 (142 Bewertungen)
Viktor
60€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Elisabeth
5
5 (28 Bewertungen)
Elisabeth
32€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Andrea
5
5 (60 Bewertungen)
Andrea
75€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Jonas
5
5 (12 Bewertungen)
Jonas
40€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Boris
5
5 (27 Bewertungen)
Boris
30€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Rafael
5
5 (65 Bewertungen)
Rafael
45€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Thomas
5
5 (35 Bewertungen)
Thomas
100€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Julien
5
5 (18 Bewertungen)
Julien
25€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Los geht's

Übungsaufgaben zu Exponentialgleichungen, bei denen sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben

 

 

Löse folgende Exponentialgleichungen

 

1   2^{2x+1}=4

 

2^{2x+1}=4

 

1 Da man für die Zahl 4 auch 2^{2} schreiben kann, können wir die Gleichung wie folgt schreiben:

 

2^{2x+1}=2^{2}

 

2 Da wir auf beiden Seiten der Gleichung die Basis 2 haben, können wir die Exponenten gleichsetzen

 

2x+1=2

 

3 Wir lösen die resultierende Gleichung

 

2x=2-1

2x=1

x=\cfrac{1}{2}

 

2 \sqrt[2x-1]{3^{x-3}}=\sqrt{27}

 

\sqrt[2x-1]{3^{x-3}}=\sqrt{27}

1 Wir wandeln die Wurzeln in Potenzen mit einem Bruch als Exponent um und setzen die Exponenten gleich

 

3^{\frac{x-3}{2x-1}}=3^{\frac{3}{2}}

\cfrac{x-3}{2x-1}=\cfrac{3}{2}

 

2 Wir lösen die resultierende Gleichung

 

2\left ( x-3 \right )=3\left ( 2x-1 \right )

2x-6=6x-3

-4x=3

x=-\cfrac{3}{4}

3 2^{1-x^{2}}=\cfrac{1}{8}

 

2^{1-x^{2}}=\cfrac{1}{8}

 

1 Wir schreiben \cfrac{1}{8} als 2^{-3} und setzen die Exponenten gleich

2^{1-x^{2}}=2^{-3}

1-x^{2}=-3

 

2 Wir lösen die resultierende Gleichung

 

x^{2}=4

x=\pm 2

4 \sqrt[3]{8^{x}}=65536

 

\sqrt[3]{8^{x}}=65536

1 Wir schreiben die Wurzel als Potenz mit einem Bruch als Exponent und zerlegen 65536 in Faktoren

\left (2^{3} \right )^{\frac{x}{3}}=2^{16}

2^{x}=2^{16}

x=16

5 4^{x^{2}-6x}=16384

 

4^{x^{2}-6x}=16384

 

1 Wir zerlegen 4 und 16384 in Faktoren und setzen die Exponenten gleich

 

\left (2^{2} \right )^{x^{2}-6x}=2^{14}

2^{2x^{2}-12x}=2^{14}

2x^{2}-12x=14

 

2 Wir vereinfachen und lösen die resultierende Gleichung

 

x^{2}-6x-7=0

(x-7)(x+1)=0

x_{1}=7          x_{2}=-1

6 4^{\sqrt{x+1}}-2^{\sqrt{x+1}+2}=0

 

4^{\sqrt{x+1}}-2^{\sqrt{x+1}+2}=0

1 Wir bringen den zweiten Term auf die rechte Seite der Gleichung, zerlegen 4 in Faktoren und setzen die Exponenten gleich

2^{2\sqrt{x+1}}=2^{\sqrt{x+1}+2}

2\sqrt{x+1}=\sqrt{x+1}+2

 

2 Wir lösen die resultierende irrationale Gleichung

x=3

 

Übungsaufgaben zu Exponentialgleichungen, bei denen sich KEINE Potenzen mit gleichen Basen ergeben

 

1 3^{x^{2}-1}=134

 

3^{x^{2}-1}=134

 

1 Da wir unterschiedliche Basen haben, wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus an

log\left (3^{x^{2}-1} \right )=log\left (134 \right )

 

2 Wir wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz auf der linken Seite der Gleichung an

 

\left ( x^{2}-1 \right )log\left (3 \right )=log\left (134 \right )

 

3 Wir bringen log(3) auf die andere Seite und lösen die Gleichung

 

x^{2}-1=\cfrac{log(134)}{log(3)}=4,4582

 

x^{2}=5,4582

x=\pm 2,336

2 2^{2x}\cdot 2=3^{x}\cdot 3^{5}

 

2^{2x}\cdot 2=3^{x}\cdot 3^{5}

 

1 Wir können die Gleichung wie folgt umschreiben

 

4^{x}\cdot 2=3^{x}\cdot 243

 

2 Wir bringen 3^{x} auf die linke Seite der Gleichung und 2 auf die rechte Seite der Gleichung

 

\cfrac{4^{x}}{3^{x}}=\cfrac{243}{2}

 

\left (\cfrac{4}{3} \right )^{x}=121,5

 

3 Wir wenden auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus an

 

log\left (\cfrac{4}{3} \right )^{x}=log\left (121,5 \right )

 

4 Wir wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz auf der linken Seite der Gleichung an und lösen die resultierende Gleichung

 

x\cdot log\left (\cfrac{4}{3} \right )=log\left (121,5 \right )

 

x=\cfrac{log(121,5)}{log\left ( \cfrac{4}{3} \right )}

 

x=16,685

3 3^{x}\cdot 5^{2x}=150

 

3^{x}\cdot 5^{2x}=150

1 Wir wenden den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung an und wenden die Regel für den Logarithmus eines Produkts auf der linken Seite der Gleichung an

log\left (3^{x}\cdot 5^{2x} \right )=log\left (150 \right )

log\left ( 3 \right )^{x}+log\left ( 5 \right )^{2x}=log\left (150 \right )

 

2 Wir wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz an und klammern x aus

 

x\cdot log(3)+2x\cdot log(5)=log(150)

x\cdot \left [log(3)+2log(5) \right ]=log(150)

 

3 Wir bestimmen die Variable und führen die nötigen Rechenschritte durch

 

x=\cfrac{log(150)}{log(3)+2log(5)}

 

x=1.16

 

 

 

Übungsaufgaben zum Lösen von Exponentialgleichungen mithilfe von bestimmten Rechenschritten

 

1 2^{x+1}+2^{x}+2^{x-1}=28

 

2^{x+1}+2^{x}+2^{x-1}=28

1 Wir wenden die Regel für die Potenz eines Produkts oder Quotienten an und entfernen so die Summe oder Differenz aus den Exponenten

2^{x}\cdot 2+2^{x}+\cfrac{2^{x}}{2}=28

 

2 Wir klammern 2^{x} aus

 

2^{x}\cdot \left ( 2+1+\cfrac{1}{2} \right )=28

 

3 Wir bestimmen 2^{x} und formen so um, dass beide Seiten der Gleichung die gleiche Basis 2 haben

 

2^{x}\cdot \cfrac{7}{2}=28

2^{x}=8

2^{x}=2^{3}

 

4 Wir setzen die Exponenten gleich

x=3

 

2 3^{1-x}-3^{x}=2

 

3^{1-x}-3^{x}=2

 

1 Wir wenden die Regel für die Potenz des Quotienten an und entfernen so die Differenz aus dem Exponenten

\cfrac{3}{3^{x}}-3^{x}=2

 

2 Wir führen die Substituition durch und ersetzen in der Gleichung wie folgt

 

t=3^{x}

\cfrac{3}{t}-t=2

 

3 Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit t, bringen alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und erhalten somit

t^{2}+2t-3=0

 

4 Durch das Lösen der quadratischen Gleichung erhalten wir

 

t_{1}=1          t_{2}=-3

 

5 Wir setzen die Werte für t in t=3^{x} ein

3^{x}=1   ... (1)

3^{x}=-3  ... (2)

 

6 Die Gleichung (2) hat keine Lösung, da eine Potenz mit positiver Basis keine negative Zahl sein kann. Somit können wir nur Gleichung (1) lösen

x=0

3 2-3^{-x}+3^{x+1}=0

 

2-3^{-x}+3^{x+1}=0

 

1 Wir wenden die Regeln für Potenzen eines Produkts oder Quotienten an, um die Summen oder Differenzen aus den Exponenten zu entfernen

 

2-\cfrac{1}{3^{x}}+3\cdot 3^{x}=0

 

2 Wir führen die Substitution t=3^{x} durch und ersetzen in der Gleichung wie folgt

 

2-\cfrac{1}{t}+3t=0

 

3 Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit t und lösen die resultierende Gleichung

 

3t^{2}+2t-1=0

t_{1}=-1   \Rightarrow    3^{x}=-1     Keine Lösung

t_{2}=\cfrac{1}{3}   \Rightarrow    3^{x}=\cfrac{1}{3}

x=-1

 

4 4^{x-1}+2^{x+2}=48

 

 

4^{x-1}+2^{x+2}=48

 

1 Wir zerlegen 4 in Faktoren und wenden die Regeln für das Produkt und den Quotienten von Potenzen an, um die Summen und Differenzen aus den Exponenten zu entfernen

2^{2x-2}+2^{x+2}=48

\cfrac{2^{2x}}{4}+4\cdot 2^{x}-48=0

 

2 Wir führen die Substitution t=2^{x} durch und lösen die resultierende Gleichung

\cfrac{t^{2}}{4}+4t-48=0

t^{2}+16t-192=0

t_{1}=8          t_{2}=-24

 

3 Wir gehen zur ursprünglichen Variablen zurück und überprüfen, ob die Lösungen gültig sind

2^{x}=-24     Keine Lösung

2^{x}=8    \Rightarrow    x=3

5 4^{3x}=8^{x}+3

 

 

4^{3x}=8^{x}+3

 

1 Wir zerlegen 4 und 8 in Faktoren

 

\left ( 2^{2} \right )^{3x}=2^{3x}+3

 

2  Wir führen die Substitution t=2^{3x} durch und lösen die resultierende Gleichung

 

t^{2}=t-3

t^{2}-t-3=0

t=\cfrac{1\pm \sqrt{13}}{2}

 

3 Wir führen die Rücksubstitution nur mit der positiven Lösung durch.

 

2^{3x}=\cfrac{1\pm \sqrt{13}}{2}

 

4 Da wir die Exponenten nicht gleichsetzen können, wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus an. Auf der linken Seite der Gleichung wenden wir die Definition einer Potenz an

 

log\left (2^{3x} \right )=log\left (\cfrac{1\pm \sqrt{13}}{2} \right )

3x\cdot log\left (2 \right )=log\left (\cfrac{1\pm \sqrt{13}}{2} \right )

 

5 Wir bestimmen die Variable x

 

x=\cfrac{log\left ( \cfrac{1+\sqrt{13}}{2} \right )}{3\cdot log\left ( 2 \right )}

 

x=0.411

 

6 Für die negative Lösung der quadratischen Gleichung erhalten wir für unsere Exponentialgleichung keine Lösung. Der Grund dafür ist, dass wir beim Anwenden des Logarithmus auf der rechten Seite der Gleichung den Logarithmus einer negativen Zahl erhalten. Dieser existiert nicht.

2^{3x}=\cfrac{1-\sqrt{13}}{2}     Keine Lösung

 

6 e^{x}-5e^{-x}+4e^{-3x}=0

 

e^{x}-5e^{-x}+4e^{-3x}=0

 

1 Wir formen die Gleichung so um, dass wir keine negativen Exponenten haben

e^{x}-\cfrac{5}{e^{x}}+\frac{4}{e^{3x}}=0

 

2 Wir lösen die Brüche auf, indem wir mit e^{-3x} multiplizieren

 

e^{4x}-5e^{2x}+4=0

 

3 Wir führen die Substitution t=e^{2x} durch und lösen die resultierende Gleichung

 

t^{2}-5t+4=0

t_{1}=1          t_{2}=4

 

4 Wir gehen zur ursprünglichen Variablen zurück und lösen nach x auf

 

e^{2x}=1          \Rightarrow          x_{1}=0

e^{2x}=4    \Rightarrow    ln\left ( e^{2x} \right )=ln\left ( 4 \right )    \Rightarrow    x_{2}=\cfrac{ln(4)}{2}

7 2^{4x}-2^{2x}-12=0

 

 

2^{4x}-2^{2x}-12=0

 

1 Wir führen die Substitution 2^{2x}=t durch

 

t^{2}-t-12=0

 

2 Wir lösen die Gleichung und führen die Rücksubstitution durch

 

t_{1}=4          \Rightarrow          x=1

t_{2}=-3         \Rightarrow          2^{2x}=-3     Keine Lösung

 

8 1+2+4+8+...+2^{x}=1023

 

1+2+4+8+...+2^{x}=1023

1 Wir wenden die Formel für die Summe von n Termen einer geometrischen Folge an

\cfrac{2^{x}\cdot 2-1}{2-1}=1023

 

2 Wir bestimmen 2^{x}

 

2^{x}=512

 

3 Wir schreiben 512 als 2^{9} und setzen die Exponenten gleich

 

2^{x}=2^{9}

x=9

 
9 \cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{2}+1+...+2^{x}=\cfrac{127}{8}

\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{2}+1+...+2^{x}=\cfrac{127}{8}

 

1 Wir wenden die Formel für die Summe von n Termen einer geometrischen Folge an

\cfrac{2^{x}\cdot 2-\cfrac{1}{8}}{2-1}=\cfrac{127}{8}

 

2 Wir bringen die Terme auf einen gemeinsamen Nenner

 

\cfrac{16\cdot 2^{x}-1}{8}=\cfrac{127}{8}

 

3 Wir wandeln die Brüche um und lösen die resultierende Gleichung

 

16\cdot 2^{x}-1=127

2^{x}=\cfrac{128}{16}

2^{x}=2^{3}

x=3

>

Die Plattform, die Lehrer/innen und Schüler/innen miteinander verbindet

Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars 4,00 (2 Note(n))
Loading...

Eva