Kapitel
- Was sind Exponentialgleichungen?
- Übungsaufgaben zu Exponentialgleichungen, bei denen sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben
- Übungsaufgaben zu Exponentialgleichungen, bei denen sich KEINE Potenzen mit gleichen Basen ergeben
- Übungsaufgaben zum Lösen von Exponentialgleichungen mithilfe von bestimmten Rechenschritten
Was sind Exponentialgleichungen?
Bei Exponentialgleichungen steht die Variable im Exponenten einer Potenz.
Zum Beispiel:
und 
sind Konstanten
Beim Lösen von Exponentialgleichungen treten im Allgemeinen zwei Fälle auf: Gleichungen, bei denen eine Lösung mittels Exponentenvergleich nur dann möglich ist, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben. Und Gleichungen, bei denen es NICHT möglich ist, die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben. Dann gibt es noch Gleichungen, für deren Lösung bestimmte Rechenschritte nötig sind.
Gleichungen, bei denen sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben
Um diese Art von Gleichung zu lösen, werden die Terme der Gleichung so umgeformt, dass sich auf beiden Seiten Potenzen mit gleichen Basen ergeben. Danach können wir die Exponenten gleichsetzen und mittels Exponentenvergleich die Gleichung lösen
Gleichungen, bei denen sich KEINE Potenzen mit gleichen Basen ergeben
Um diese Art von Gleichung zu lösen, müssen wir den Logarithmus und die dazugehörigen Regeln anwenden, damit die Variable nicht mehr in der Potenz steht. Danach können wir die resultierende Gleichung lösen
Andere Arten von Exponentialgleichungen
Es gibt auch Exponentialgleichungen, bei denen die Variable nur durch die Durchführung bestimmter Rechenschritte bestimmt werden kann
Übungsaufgaben zu Exponentialgleichungen, bei denen sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben
Löse folgende Exponentialgleichungen
1 
1 Da man für die Zahl 
auch 
schreiben kann, können wir die Gleichung wie folgt schreiben:
2 Da wir auf beiden Seiten der Gleichung die Basis 
haben, können wir die Exponenten gleichsetzen
3 Wir lösen die resultierende Gleichung
2 ![\sqrt[2x-1]{3^{x-3}}=\sqrt{27}](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0e036390ac8ce5dc23847eab2b8fcc8f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
1 Wir wandeln die Wurzeln in Potenzen mit einem Bruch als Exponent um und setzen die Exponenten gleich
2 Wir lösen die resultierende Gleichung
3 
als 
und setzen die Exponenten gleich 
2 Wir lösen die resultierende Gleichung
4 ![\sqrt[3]{8^{x}}=65536](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bce68fe50d5fcd2b08eb048ca4fdc5f5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
1 Wir schreiben die Wurzel als Potenz mit einem Bruch als Exponent und zerlegen 
in Faktoren
5 
1 Wir zerlegen und 
in Faktoren und setzen die Exponenten gleich
2 Wir vereinfachen und lösen die resultierende Gleichung
6 
1 Wir bringen den zweiten Term auf die rechte Seite der Gleichung, zerlegen in Faktoren und setzen die Exponenten gleich
2 Wir lösen die resultierende irrationale Gleichung
Übungsaufgaben zu Exponentialgleichungen, bei denen sich KEINE Potenzen mit gleichen Basen ergeben
1 
1 Da wir unterschiedliche Basen haben, wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus an
2 Wir wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz auf der linken Seite der Gleichung an
3 Wir bringen 
auf die andere Seite und lösen die Gleichung
2 
1 Wir können die Gleichung wie folgt umschreiben
2 Wir bringen 
auf die linke Seite der Gleichung und auf die rechte Seite der Gleichung
3 Wir wenden auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus an
4 Wir wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz auf der linken Seite der Gleichung an und lösen die resultierende Gleichung
3 
1 Wir wenden den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung an und wenden die Regel für den Logarithmus eines Produkts auf der linken Seite der Gleichung an
2 Wir wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz an und klammern 
aus
![x\cdot \left [log(3)+2log(5) \right ]=log(150)](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6cf020a8036cf7557f53644a2467d059_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3 Wir bestimmen die Variable und führen die nötigen Rechenschritte durch
Übungsaufgaben zum Lösen von Exponentialgleichungen mithilfe von bestimmten Rechenschritten
1 
1 Wir wenden die Regel für die Potenz eines Produkts oder Quotienten an und entfernen so die Summe oder Differenz aus den Exponenten
2 Wir klammern 
aus
3 Wir bestimmen und formen so um, dass beide Seiten der Gleichung die gleiche Basis haben
4 Wir setzen die Exponenten gleich
2 
1 Wir wenden die Regel für die Potenz des Quotienten an und entfernen so die Differenz aus dem Exponenten
2 Wir führen die Substituition durch und ersetzen in der Gleichung wie folgt
3 Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 
, bringen alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und erhalten somit
4 Durch das Lösen der quadratischen Gleichung erhalten wir
5 Wir setzen die Werte für in ein
... 
... 
6 Die Gleichung hat keine Lösung, da eine Potenz mit positiver Basis keine negative Zahl sein kann. Somit können wir nur Gleichung lösen
3 
1 Wir wenden die Regeln für Potenzen eines Produkts oder Quotienten an, um die Summen oder Differenzen aus den Exponenten zu entfernen
2 Wir führen die Substitution durch und ersetzen in der Gleichung wie folgt
3 Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit und lösen die resultierende Gleichung
Keine Lösung
4 
1 Wir zerlegen in Faktoren und wenden die Regeln für das Produkt und den Quotienten von Potenzen an, um die Summen und Differenzen aus den Exponenten zu entfernen
2 Wir führen die Substitution 
durch und lösen die resultierende Gleichung
3 Wir gehen zur ursprünglichen Variablen zurück und überprüfen, ob die Lösungen gültig sind
Keine Lösung
5 
1 Wir zerlegen und 
in Faktoren
2 Wir führen die Substitution 
durch und lösen die resultierende Gleichung
3 Wir führen die Rücksubstitution nur mit der positiven Lösung durch.
4 Da wir die Exponenten nicht gleichsetzen können, wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus an. Auf der linken Seite der Gleichung wenden wir die Definition einer Potenz an
5 Wir bestimmen die Variable
6 Für die negative Lösung der quadratischen Gleichung erhalten wir für unsere Exponentialgleichung keine Lösung. Der Grund dafür ist, dass wir beim Anwenden des Logarithmus auf der rechten Seite der Gleichung den Logarithmus einer negativen Zahl erhalten. Dieser existiert nicht.
Keine Lösung
6 
1 Wir formen die Gleichung so um, dass wir keine negativen Exponenten haben
2 Wir lösen die Brüche auf, indem wir mit 
multiplizieren
3 Wir führen die Substitution 
durch und lösen die resultierende Gleichung
4 Wir gehen zur ursprünglichen Variablen zurück und lösen nach auf
7 
1 Wir führen die Substitution 
durch
2 Wir lösen die Gleichung und führen die Rücksubstitution durch
Keine Lösung
8 
1 Wir wenden die Formel für die Summe von 
Termen einer geometrischen Folge an
2 Wir bestimmen
3 Wir schreiben 
als 
und setzen die Exponenten gleich
1 Wir wenden die Formel für die Summe von Termen einer geometrischen Folge an
2 Wir bringen die Terme auf einen gemeinsamen Nenner
3 Wir wandeln die Brüche um und lösen die resultierende Gleichung
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