Löse folgende Exponentialgleichungen

 

1 2^{1-x^{2}}=\cfrac{1}{8}

 

2 \sqrt[3]{8^{x}}=65536

 

3 4^{x^{2}-6x}=16384

 

4 4^{\sqrt{x+1}}-2^{\sqrt{x+1}+2}=0

 

5 3^{x^{2}-1}=134

 

6 2^{2x}\cdot 2=3^{x}\cdot 3^{3}

 

7 3^{x}\cdot 5^{2x}=150

 

Lösen von Exponentialgleichungen:

1 2^{1-x^{2}}=\cfrac{1}{8}

 

Wir schreiben \frac{1}{8} als Potenz und setzen die Exponenten gleich

 

2^{1-x^{2}}=2^{-3}

 

1-x^{2}=-3

 

x^{2}=4

 

x=\pm 2

 

2 \sqrt[3]{8^{x}}=65536

 

Die Wurzel schreiben wir als Potenz mit einem Bruch als Exponent und 65536 zerlegen wir in Faktoren

 

\left (2^{3} \right )^{\frac{x}{3}}=2^{16}

 

Wir setzen die Exponenten gleich

 

2^{(3\cdot \frac{x}{3})}=2^{16}

 

x=16

 

3 4^{x^{2}-6x}=16384

 

Wir zerlegen 4 und 16384 in Faktoren, setzen die Exponenten gleich und vereinfachen die Gleichung

 

2^{2\left ( x^{2}-6x \right )}=2^{14}

 

2x^{2}-12x=14

 

x^{2}-6x-7=0

 

Wir lösen die Gleichung

 

x_{1}=7\; \; \; \; \; x_{2}=-1

 

4 4^{\sqrt{x+1}}-2^{\sqrt{x+1}+2}=0

 

Wir zerlegen 4 in Faktoren, setzen die Exponenten gleich und lösen die irrationale Gleichung

 

2^{2\sqrt{x+1}}=2^{\sqrt{x+1}+2}

 

2\sqrt{x+1}=\sqrt{x+1}+2

 

x=3

 

5 3^{x^{2}-1}=134

 

Da wir unterschiedliche Basen haben, logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung

 

\log 3^{x^{2}-1}=\log 134

 

Wir wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz auf der linken Seite der Gleichung an

 

(x^{2}-1)\log 3=\log 134

 

Wir bringen \log 3 auf die andere Seite und lösen die Gleichung

 

x^{2}-1=\cfrac{\log 134}{\log 3}=4,4582

 

x^{2}=5,4582

 

x=\pm 2,336

 

6 2^{2x}\cdot 2=3^{x}\cdot 3^{3}

 

Wir bringen 3^{x} und 2 auf die jeweils andere Seite der Gleichung

 

Wir logarithmieren mit der Basis \frac{4}{3} beide Seiten der Gleichung

 

\left ( \frac{4}{3} \right )^{x}=\frac{27}{2}

 

\log _{\frac{4}{3}}\left (\frac{4}{3} \right )^{x}=\log_{\frac{4}{3}}\frac{27}{2}

 

Auf der linken Seite wenden wir die Regel für den Logarithmus einer Potenz an

 

x\log _{\frac{4}{3}}\left (\frac{4}{3} \right )=\log_{\frac{4}{3}}\cfrac{27}{2}

 

Dabei beachten wir:

 

\log _{\frac{4}{3}}\left (\frac{4}{3} \right )=1

 

Wir führen die Substitution durch

 

x=\cfrac{\log \cfrac{27}{2}}{\log \cfrac{4}{3}}=9,0471

 

7 3^{x}\cdot 5^{2x}=150

 

Wir logarithmieren beide Seiten der Gleichung und wenden die Regel für den Logarithmus eines Produkts auf der linken Seite der Gleichung an

 

\log (3^{x}\cdot 5^{2x})=\log 150

 

\log 3^{x}+\log 5^{2x}=\log 150

 

Wir wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz an und klammern x aus

 

x\log 3 +2x\log 5=\log 150

 

x(\log 3+2\log 5)=\log 150

 

Wir wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz und eines Produktes an

 

x\log 3+2\log 5=\log 3+\log 5^{2}=\log(3\cdot 5^{2})=\log 75

 

Wir bestimmen die Variable

 

x=\cfrac{\log 150}{\log 75}=1,16

Exponentialgleichungen lösen:

1 3^{1-x}-3^{x}=2

 

2 2^{4x}-2^{2x}-12=0

 

3 e^{x}-5e^{-x}+4e^{-3x}=0

 

4 \cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{2}+1+...+2^{x}=\cfrac{127}{8}

 

5 4^{x-1}+2^{x+2}=48

 

Exponentialgleichungen lösen:

 

1 3^{1-x}-3^{x}=2

 

Wir wenden die Regel für die Potenz des Quotienten an, um die Differenz aus dem Exponenten zu entfernen. Danach führen wir die Substitution durch

 

\cfrac{3}{3^{x}}-3^{x}=2

 

t=3^{x}

 

Wir lösen die Gleichung

 

t^{2}+2t-3=0

 

\begin{matrix} t_{1}=1 & \Rightarrow & 3^{x}=1\\ t_{2}=-3 & \Rightarrow & 3^{x}=-3 \end{matrix}

 

3^{x}=1\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x=0

 

3^{x}=-3 hat keine Lösung, da eine Potenz mit positiver Basis keine negative Zahl sein kann

 

2 2^{4x}-2^{2x}-12=0

 

Wir führen die Substitution durch

 

2^{2x}=t

 

Wir lösen die Gleichung und führen die Rücksubstitution durch

 

t^{2}-t-12=0

 

\begin{matrix} t_{1}=4 & \Rightarrow & 2^{2x}=4 \\ t_{2}=-3 & \Rightarrow & 2^{2x}=-3 \end{matrix}

 

2^{2x}=4\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x=1

 

2^{2x}=-3 hat keine Lösung, da eine Potenz mit positiver Basis keine negative Zahl sein kann

 

3 e^{x}-5e^{-x}+4e^{-3x}=0

 

Wir wandeln die negativen Exponenten um, lösen den Bruch auf und substituieren

 

e^{x}-\cfrac{5}{e^{x}}+\cfrac{4}{e^{3x}}=0

 

e^{4x}-\cfrac{5}{e^{2x}}+4=0

 

t=e^{2x}

 

Wir lösen die Gleichung und führen die Rücksubstitution durch

 

\begin{matrix} & \; \; \; t_{1}=1 & \; \; \; e^{2x}=1 & & \; \; \; x=0\\ t^{2}-5t+4=0 & & & & \\ & \; \; \; t_{2}=4 & \; \; \; e^{2x}=4 & \; \; \; \ln e^{2x}=\ln 4 & \; \; \; x= \cfrac{\ln 4}{2} \end{matrix}

 

4 \cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{2}+1+...+2^{x}=\cfrac{127}{8}

 

Wir wenden die Formel zur Berechnung der Partialsumme von n einer geometrischen Folge an bringen beide Seiten auf den gleichen Nenner

 

\cfrac{127}{8}=\cfrac{2^{x}\cdot 2-\cfrac{1}{8}}{2-1}

 

\cfrac{127}{8}=\cfrac{16\cdot 2^{x}-1}{8}

 

Wir kürzen und erhalten

 

2^{x}=\cfrac{128}{16}

 

2^{x}=2^{3}

 

x=3

 

5 4^{x-1}+2^{x+2}=48

 

Wir zerlegen 4 in Faktoren und wenden die Regel für das Produkt und den Quotienten von Potenzen an, um die Summe und Differenz aus den Exponenten zu entfernen. Danach führen wir die Substitution durch.

 

2^{2x-2}+2^{x+2}=48

 

\cfrac{2^{2x}}{4}+4\cdot 2^{x}-48=0

 

t=2^{x}

 

t^{2}+16t-192=0\; \; \; \left\{\begin{matrix} t=8\\ \; \; \; \; \; t=-24 \end{matrix}\right.

 

Wir führen die Rücksubstitution durch

 

8=2^{x}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x=3

 

2^{x}=-24 hat keine Lösung, da eine Potenz mit positiver Basis nicht negativ sein kann

Löse folgende Exponentialgleichungssysteme

 

1 \left\{\begin{matrix} \cfrac{2^{2x-3}}{2^{3y+2}}=2^{8}\\ \\ 3x-2y=17 \end{matrix}\right.

 

2 \left\{\begin{matrix} 3^{x}-2^{y}=1 \; \; \; \; \; \; \\ \\ 3^{x-1}=2^{y-2}+1 \end{matrix}\right.

 

3 \left\{\begin{matrix} 5^{x}\cdot 25^{y}=5^{7}\\ \\ 2^{x-1}\cdot 2^{y+2}=64 \end{matrix}\right.

 

Exponentialgleichungssysteme lösen:

 

1 \left\{\begin{matrix} \cfrac{2^{2x-3}}{2^{3y+2}}=2^{8}\\ \\ 3x-2y=17 \end{matrix}\right.

 

Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner des Bruchs. Auf der rechten Seite der Gleichung wenden wir die Regel für das Produkt von Potenzen mit gleicher Basis an

 

2^{2x-3}=2^{8}\cdot 2^{3y+2}

 

2^{2x-3}=2^{8+3y+2}

 

Wir setzen die Exponenten gleich

 

2x-3=8+3y+2

 

2x-3y=13

 

Wir lösen das Gleichungssystem

 

\left\{\begin{matrix} 2x-3y=13\\ 3x-2y=17 \end{matrix}\right.

 

x=5\; \; \; \; \; y=-1

 

2 \left\{\begin{matrix} 3^{x}-2^{y}=1 \; \; \; \; \; \; \\ \\ 3^{x-1}=2^{y-2}+1 \end{matrix}\right.

 

Wir wenden die Regel für den Quotient von Potenzen an, um die Differenzen aus den Exponenten zu entfernen. Danach führen wir die Substitution durch

 

u=3^{x}\; \; \; \; \; v=2^{y}

 

\left\{\begin{matrix} u-v=1\\ \cfrac{u}{3}-\cfrac{v}{4}=1 \end{matrix}\right.

 

Wir beseitigen die Brüche in der ersten Gleichung und lösen das Gleichungssystem

 

\left\{\begin{matrix} u-v=1\; \; \; \; \; \\ 4u-3v=12 \end{matrix}\right.

 

u=9\; \; \; \; \; v=8

 

Wir führen die Rücksubstitution durch

 

\begin{matrix} 3^{x} & \Rightarrow & x=2\\ & &\\ 2^{y} & \Rightarrow & y=3 \end{matrix}

 

3 \left\{\begin{matrix} 5^{x}\cdot 25^{y}=5^{7}\\ \\ 2^{x-1}\cdot 2^{y+2}=64 \end{matrix}\right.

 

Bei der ersten Gleichung 25^{y}=5^{2y} und bei der zweiten Gleichung wenden wir die Regel für das Produkt und den Quotienten von Potenzen an, um die Summen und Differenzen aus den Exponenten zu entfernen

 

\left\{\begin{matrix} 5^{x}\cdot 5^{2y}=5^{7}\\ \\ 2^{x-1}\cdot 2^{y+2}=64 \end{matrix}\right.

 

Wir multiplizieren die Potenzen mit gleicher Basis bei beiden Gleichungen

 

\left\{\begin{matrix} 5^{x}\cdot 5^{2y}=5^{7}\\ \\ 2^{x-1+y+2}=2^{6} \end{matrix}\right.

 

Wir setzen die Exponenten gleich und lösen das Gleichungssystem

 

\left\{\begin{matrix} x+2y=7\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ x-1+y+2=6 \end{matrix}\right.

 

x=3\; \; \; \; \; y=2

Löse folgende Logarithmusgleichungen

 

 

1 4\log \left ( \cfrac{x}{5} \right )+\log\left ( \cfrac{625}{4} \right )=2\log x

 

2 2\log x-2\log(x+1)=0

 

3 \log x=\cfrac{2-\log x}{\log x}

 

4 \log(25-x^{3})-3\log (4-x)=0

 

5 \cfrac{\log(35-x^{3})}{\log(5-x)}=3

 

6 \log_{5}x+\cfrac{\log_{5}125}{\log_{5}x}=\cfrac{7}{2}

 

 

Lösen von Logarithmusgleichungen:

 

1 4\log \left ( \cfrac{x}{5} \right )+\log\left ( \cfrac{625}{4} \right )=2\log x

 

Wir wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz und die Regel für den Logarithmus eines Produkts an

 

\log \left ( \cfrac{x}{5} \right )^{4}+\log\left ( \cfrac{625}{4} \right )=\log x^{2}

 

Numerivergleich

 

\log \left ( \cfrac{x^{4}}{4} \right )=\log x^{2}

 

\cfrac{x^{4}}{4}=x^{2}

 

x^{4}-4x^{2}=0

 

Wir lösen die Gleichung:

 

x^{2}(x^{2}-4)=0

 

x^{2}(x+2)(x-2)=0

 

x=0\; \; \; \; \; x=-2\; \; \; \; \; x=2

 

Weder x=0 noch x=-2 stellen eine Lösung dar. Wenn wir sie in die Gleichung einsetzen, finden wir den Logarithmus von 0 und den Logarithmus einer negativen Zahl vor und diese Art von Logarithmen existieren nicht

 

Die einzige Lösung ist x=2

 

2 2\log x-2\log(x+1)=0

 

Wir wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz an und auf der rechten Seite der Gleichung schreiben wir \log 1 =0

 

\log x^{2}-\log(x+1)^{2}=\log 1

 

Wir wenden die Regel für den Logarithmus eines Quotienten an und machen den Numerivergleich

 

\log \cfrac{x^{2}}{(x+1)^{2}}=\log 1

 

\cfrac{x^{2}}{(x+1)^{2}}=1

 

Wir lösen den Bruch auf und lösen die Gleichung

 

2x+1=0

 

x=-\cfrac{1}{2}

 

Allerdings stellt x=-\cfrac{1}{2} keine Lösung dar. Wenn wir es in die Gleichung einsetzen, erhalten wir den Logarithmus einer negativen Zahl

 

3 \log x=\cfrac{2-\log x}{\log x}

 

Wir lösen den Bruch auf und führen die Substitution durch

 

(\log x)^{2}+\log x-2=0

 

t=\log x

 

Wir lösen die Gleichung

 

t^{2}+t-2=0

 

t=1\; \; \; \; \; t=-2

 

Wir führen die Rücksubstitution durch die Definition des Logarithmus durch

 

\log x=1              x=10

 

\log x=-2              x=10^{-2}=\cfrac{1}{100}

 

4 \log(25-x^{3})-3\log (4-x)=0

 

Wir bringen den zweiten Summanden auf die rechte Seite der Gleichung und wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz an. Danach erfolgt der Numerivergleich

 

\log(25-x^{3})= \log (4-x)^{3}

 

25-x^{3}= (4-x)^{3}

 

Wir führen die nötigen Rechenschritte durch

 

25-x^{3}= 64-48x+12x^{2}-x^{3}

 

Wir lösen die Gleichung

 

12x^{2}-48x+39=0

 

x=2\pm \cfrac{\sqrt{3}}{2}

 

5 \cfrac{\log(35-x^{3})}{\log(5-x)}=3

 

Wir lösen den Bruch auf

 

\log(35-x^{3})=3\log(5-x)

 

Auf der rechten Seite der Gleichung wenden wir die Regel für den Logarithmus einer Potenz an und führen den Numerivergleich durch

 

\log(35-x^{3})=\log(5-x)^{3}

 

35-x^{3}=(5-x)^{3}

 

Wir führen die nötigen Rechenschritte durch und lösen die Gleichung zweiten Grades

 

x^{2}-5x+6=0

 

x=2\; \; \; \; \; x=3

 

6 \log_{5}x+\cfrac{\log_{5}125}{\log_{5}x}=\cfrac{7}{2}

 

Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit \log_{5}x und bringen alles auf die linke Seite der Gleichung

 

(\log_{5}x)^{2}-\cfrac{7}{2}\log_{5}x+\log_{5}125=0

 

\log_{5}125=\log_{5}5^{3}=3

 

Wir lösen den Bruch auf und führen die Substitution durch

 

2(\log_{5}x)^{2}-7\log_{5}x+6=0

 

Wir lösen die Gleichung

 

2t^{2}-7t+6=0

 

t=2\; \; \; \; \; t=\cfrac{3}{2}

 

\begin{matrix} log_{5}\, x=2 \; \; \; \; & x^{2}=5 &\; \; \; \; \Rightarrow &x=25\\ & & &\\ \log_{5}x=\cfrac{3}{2} \; \; \; \; & 5^{\frac{3}{2}=x} & \; \; \; \; \Rightarrow & x=\sqrt{5^{3}}=5\sqrt{5} \end{matrix}

Löse folgende logarithmische Gleichungssysteme

 

 

1 \left\{\begin{matrix} \log x+\los y=2\\ x-y=20 \end{matrix}\right.

 

2 \left\{\begin{matrix} \log x+\log y=\log 2\\ \\ x^{2}+y^{2}=5\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.

 

3 \left\{\begin{matrix} \log x +\log y =3\\ 2\log x-2\log y=-1 \end{matrix}\right.

 

4 \left\{\begin{matrix} \log_{x}(y-18)=2\\ \\ \log_{y}(x+3)=\cfrac{1}{2} \end{matrix}\right.

 

 

Lösen von logarithmischen Gleichungssystemen:

 

1 \left\{\begin{matrix} \log x+\los y=2\\ x-y=20 \end{matrix}\right.

 

Bei der ersten Gleichung wenden wir die Regel für den Logarithmus eines Produkts an und führen den Numerivergleich durch. Wir erhalten x

 

\log(xy)=\log 100

 

xy=100

 

x=\cfrac{100}{y}

 

Wir setzen den Wert für x in die zweite Gleichung ein

 

\cfrac{100}{y}-y=20

 

y^{2}+20y-100=0

 

Wir lösen die Gleichung zweiten Grades

 

y=\cfrac{-20\pm \sqrt{400+400}}{2}=\cfrac{-20\pm 20\sqrt{2}}{2}=-10+20\sqrt{2}

 

y=10(\sqrt{2}-1)              x=10(\sqrt{2}+1)

 

2 \left\{\begin{matrix} \log x+\log y=\log 2\\ \\ x^{2}+y^{2}=5\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.

 

Bei der ersten Gleichung wenden wir die Regel für den Logarithmus eines Produkts an. Danach führen wir den Numerivergleich durch und erhalten x

 

\log(xy)=\log 2

 

xy=2

 

x=\cfrac{2}{y}

 

Wir setzen den Wert für x in die zweite Gleichung ein

 

\left ( \cfrac{2}{y} \right )^{2}+y^{2}=5

 

y^{4}-4y^{2}+4=0

 

Wir lösen die Gleichung zweiten Grades

 

y^{2}=\cfrac{5\pm \sqrt{25-16}}{2}=\left\{\begin{matrix} y^{2}=4 \; \; \; \left\{\begin{matrix} y=2\\ y=-2 \end{matrix}\right.\\ \\ y^{2}=1\; \; \; \left\{\begin{matrix} y=1\\ y=-1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.

 

\begin{matrix} y=2 & & x=1\\ & & \\ y=1 & & x=2 \end{matrix}

 

Wenn wir für y negative Werte in die Gleichung einsetzen, erhalten wir den Logarithmus einer negativen Zahl. Dasselbe gilt für x

 

3 \left\{\begin{matrix} \log x +\log y =3\\ 2\log x-2\log y=-1 \end{matrix}\right.

 

Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2

 

\left\{\begin{matrix} 2\log x+2\log y=6\\ 2\log x-2\log y=-1 \end{matrix}\right.

 

Wir wenden die Definition des Logarithmus an, um x zu bestimmen

 

4\log x=5

 

\log x=\cfrac{5}{4}

 

x=10^{\frac{5}{4}}=10\sqrt[4]{10}

 

Wir setzen den Wert für \log x in die erste Anfangsgleichung ein

 

Wir wenden die Definition des Logarithmus an, um y zu bestimmen

 

\cfrac{5}{4}+\log y=3

 

\log y=\cfrac{7}{4}

 

y=10^{\frac{7}{4}}=10\sqrt[4]{1000}

 

4 \left\{\begin{matrix} \log_{x}(y-18)=2\\ \\ \log_{y}(x+3)=\cfrac{1}{2} \end{matrix}\right.

Wir wenden bei beiden Gleichungen die Definition des Logarithmus an

 

\left\{\begin{matrix} x^{2}=y-18\\ \\ y^{\frac{1}{2}}=x+3 \end{matrix}\right.

 

Wir wandeln die zweite Gleichung in eine quadratische Gleichung um und setzen den Wert für y in die erste Gleichung ein

 

y=(x+3)^{2}

 

x^{2}=(x+3)^{2}-18

 

Wir führen die nötigen Rechenschritte durch und lösen die Gleichung

 

x=\frac{3}{2}              y=\frac{81}{4}

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Eva