Logarithmische Integrale
Der natürliche Logarithmus einer positiven Zahl 
, geschrieben als 
, ist der Wert eines Integrals 
mit 
.
Der Graph der Funktion 
ist:
Die Umkehrfunktion ist die Funktion 
, deren Graph wie folgt aussieht:
Formeln für Logarithmusintegrale
Wenn man 
hat, kann man nicht mit der Potenzformel integrieren; daher nimmt man an, dass 
die Ableitung von ist, und so gelangt man zur ersten Formel. Die zweite Form ist eine Zusammensetzung von Funktionen, die 
beinhaltet, eine von abhängige Funktion, und da das Ergebnis ein Logarithmus ist, werden sie logarithmische Integrale genannt.
1
2
Anwendungsbeispiel:
Es liegt eine Kultur mit einer Bakterienanzahl von 
vor; nach einer Stunde beträgt die Anzahl der Bakterien 
. Wenn die Vermehrungsrate proportional zur Anzahl der Bakterien ist, wie lautet dann die Funktion der Lösung? Aus den Daten ergibt sich
Hier wenden wir die 1. Formel an
Daher nutzen wir die 1. Formel, um das Problem zu lösen und die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit zu ermitteln.
Löse die folgenden Integrale:
.
Wie man sieht, ist der Nenner eine Funktion, die von abhängt. Wir wenden also die 2. Formel an und nehmen: 
Somit ist 
Und deshalb
Zunächst ändern wir 
und wir stellen fest, dass der Nenner eine Funktion ist, die von abhängt. Wir wenden also die 2. Formel an und nehmen
, also 
Und somit
Wie man sieht, ist der Nenner eine Funktion, die von abhängt. Wir wenden also die 2. Formel an und nehmen 
, also 
Und somit
Wie man sieht, ist der Nenner eine Funktion, die von abhängt. Wir wenden also die 2. Formel an und nehmen 
, also 
Und somit
Wie man sieht, ist der Nenner eine Funktion, die von abhängt. Wir wenden also die 2. Formel an und nehmen 
, entonces 
Por lo tanto
Wir dividieren 
und haben 
Zunächst wandeln wir den Ausdruck mithilfe von Bruchrechenregeln um und verwenden die Null als Komplement, woraus sich ergibt: 
nun nutzen wir dieses Ergebnis und die zweite Formel, und integrieren
Mit KI zusammenfassen:
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