Lösen von Systemen exponentieller Gleichungen
Ein System exponentieller Gleichungen ist ein System, in dem die Unbekannten in den Exponenten vorkommen. Zum Beispiel:
Durch Einsetzen verschiedener Werte für 
und 
in die Gleichung lässt sich feststellen, dass das System für 
und 
erfüllt ist. Es ist jedoch nicht immer möglich, die Lösung sofort zu ermitteln; daher ist es ratsam, einige Methoden festzulegen, mit denen wir solche Systeme lösen können.
Um mögliche Lösungswege für ein System exponentieller Gleichungen zu ermitteln, ist es entscheidend, drei Komponenten zu bestimmen: den Exponenten, die Basis und das Ergebnis jeder Gleichung des Systems.
Gleichsetzen der Basis
Diese Methode eignet sich zur Lösung von Gleichungssystemen, bei denen die Terme des exponentiellen Systems Potenzen mit gleicher Basis enthalten. Wie im folgenden Beispiel zu sehen ist:
Um ein Gleichungssystem mit dieser Methode zu lösen, gehen wir wie folgt vor:
1 Wir schreiben jede Komponente auf der Grundlage der gleichen Basis um. Im Fall des Systems exponentieller Gleichungen (1) lässt sich dieses wie folgt umschreiben:
2Wir setzen die Exponenten gleich und erhalten so ein System mit zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten.
3 Wir lösen das Gleichungssystem und erhalten in diesem Fall und
4 Wir überprüfen, ob die Lösung das ursprüngliche System erfüllt.
Substitution
Diese Technik wird verwendet, um das dargestellte Exponentialgleichungssystem zu vereinfachen, insbesondere wenn Exponentialfunktionen mit unterschiedlicher Basis addiert oder subtrahiert werden, wie im zweiten Exponentialgleichungssystem (2) zu sehen ist:
Um ein System mit diesen Eigenschaften zu lösen, gehen wir wie folgt vor:
1 Zunächst schreiben wir die Komponenten des Systems so um, dass wir bei beiden Systemen Terme mit gleicher Basis und gleichem Exponenten erhalten. Beispielsweise unter Anwendung des Potenzgesetzes 
. Das System (2) kann wie folgt ausgedrückt werden:
In diesem Beispiel sehen wir, dass bei beiden Gleichungen die Terme 
und 
vorkommen.
2Danach substituieren wir. Im Falle des Systems (2) lauten die Variablen:
3 Wir schreiben das Gleichungssystem mithilfe der Substitution um.
4 Wir lösen das neue System. Um das System zu vereinfachen, können wir die 2. Gleichung mit zwei multiplizieren.
Wir wenden das Additionsverfahren and und erhalten 
und 
.
5 Zum Schluss wenden wir (3) an und machen die Substitution rückgängig.
Mit KI zusammenfassen:
Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!
Loading...
