Übungsaufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen

Lösen von Exponentialgleichungen:

1

Wir schreiben als Potenz und setzen die Exponenten gleich

2

Die Wurzel schreiben wir als Potenz mit einem Bruch als Exponent und zerlegen wir in Faktoren

Wir setzen die Exponenten gleich

3

Wir zerlegen und in Faktoren, setzen die Exponenten gleich und vereinfachen die Gleichung

Wir lösen die Gleichung

4

Wir zerlegen in Faktoren, setzen die Exponenten gleich und lösen die irrationale Gleichung

5

Da wir unterschiedliche Basen haben, logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung

Wir wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz auf der linken Seite der Gleichung an

Wir bringen auf die andere Seite und lösen die Gleichung

6

Wir bringen und auf die jeweils andere Seite der Gleichung

Wir logarithmieren mit der Basis beide Seiten der Gleichung

Auf der linken Seite wenden wir die Regel für den Logarithmus einer Potenz an

Dabei beachten wir:

Wir führen die Substitution durch

7

Wir logarithmieren beide Seiten der Gleichung und wenden die Regel für den Logarithmus eines Produkts auf der linken Seite der Gleichung an

Wir wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz an und klammern aus

Wir wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz und eines Produktes an

Wir bestimmen die Variable

8

Wir wenden die Regel für die Potenz des Quotienten an, um die Differenz aus dem Exponenten zu entfernen. Danach führen wir die Substitution durch

Wir lösen die Gleichung

hat keine Lösung, da eine Potenz mit positiver Basis keine negative Zahl sein kann

9

Wir führen die Substitution durch

Wir lösen die Gleichung und führen die Rücksubstitution durch

hat keine Lösung, da eine Potenz mit positiver Basis keine negative Zahl sein kann

10

Wir wandeln die negativen Exponenten um, lösen den Bruch auf und substituieren

Wir lösen die Gleichung und führen die Rücksubstitution durch

11

Wir wenden die Formel zur Berechnung der Partialsumme von einer geometrischen Folge an bringen beide Seiten auf den gleichen Nenner

Wir kürzen und erhalten

12

Wir zerlegen in Faktoren und wenden die Regel für das Produkt und den Quotienten von Potenzen an, um die Summe und Differenz aus den Exponenten zu entfernen. Danach führen wir die Substitution durch.

Wir führen die Rücksubstitution durch

hat keine Lösung, da eine Potenz mit positiver Basis nicht negativ sein kann

 

Exponentialgleichungssysteme lösen:

1

Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner des Bruchs. Auf der rechten Seite der Gleichung wenden wir die Regel für das Produkt von Potenzen mit gleicher Basis an

Wir setzen die Exponenten gleich

Wir lösen das Gleichungssystem

2

Wir wenden die Regel für den Quotient von Potenzen an, um die Differenzen aus den Exponenten zu entfernen. Danach führen wir die Substitution durch

Wir beseitigen die Brüche in der ersten Gleichung und lösen das Gleichungssystem

Wir führen die Rücksubstitution durch

3

Bei der ersten Gleichung und bei der zweiten Gleichung wenden wir die Regel für das Produkt und den Quotienten von Potenzen an, um die Summen und Differenzen aus den Exponenten zu entfernen

Wir multiplizieren die Potenzen mit gleicher Basis bei beiden Gleichungen

Wir setzen die Exponenten gleich und lösen das Gleichungssystem

Lösen von Logarithmusgleichungen:

1

Wir wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz und die Regel für den Logarithmus eines Produkts an

Numerivergleich

Wir lösen die Gleichung:

Weder noch stellen eine Lösung dar. Wenn wir sie in die Gleichung einsetzen, finden wir den Logarithmus von und den Logarithmus einer negativen Zahl vor und diese Art von Logarithmen existieren nicht

Die einzige Lösung ist

2

Wir wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz an und auf der rechten Seite der Gleichung schreiben wir

Wir wenden die Regel für den Logarithmus eines Quotienten an und machen den Numerivergleich

Wir lösen den Bruch auf und lösen die Gleichung

Allerdings stellt keine Lösung dar. Wenn wir es in die Gleichung einsetzen, erhalten wir den Logarithmus einer negativen Zahl

3

Wir lösen den Bruch auf und führen die Substitution durch

Wir lösen die Gleichung

Wir führen die Rücksubstitution durch die Definition des Logarithmus durch

             

             

4

Wir bringen den zweiten Summanden auf die rechte Seite der Gleichung und wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz an. Danach erfolgt der Numerivergleich

Wir führen die nötigen Rechenschritte durch

Wir lösen die Gleichung

5

Wir lösen den Bruch auf

Auf der rechten Seite der Gleichung wenden wir die Regel für den Logarithmus einer Potenz an und führen den Numerivergleich durch

Wir führen die nötigen Rechenschritte durch und lösen die Gleichung zweiten Grades

6

Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit und bringen alles auf die linke Seite der Gleichung

Wir lösen den Bruch auf und führen die Substitution durch

Wir lösen die Gleichung

Lösen von logarithmischen Gleichungssystemen:

1

Bei der ersten Gleichung wenden wir die Regel für den Logarithmus eines Produkts an und führen den Numerivergleich durch. Wir erhalten

Wir setzen den Wert für in die zweite Gleichung ein

Wir lösen die Gleichung zweiten Grades

             

2

Bei der ersten Gleichung wenden wir die Regel für den Logarithmus eines Produkts an. Danach führen wir den Numerivergleich durch und erhalten

Wir setzen den Wert für in die zweite Gleichung ein

Wir lösen die Gleichung zweiten Grades

Wenn wir für negative Werte in die Gleichung einsetzen, erhalten wir den Logarithmus einer negativen Zahl. Dasselbe gilt für

3

Wir multiplizieren die erste Gleichung mit

Wir wenden die Definition des Logarithmus an, um zu bestimmen

Wir setzen den Wert für in die erste Anfangsgleichung ein

Wir wenden die Definition des Logarithmus an, um zu bestimmen

4

Wir wenden bei beiden Gleichungen die Definition des Logarithmus an

Wir wandeln die zweite Gleichung in eine quadratische Gleichung um und setzen den Wert für y in die erste Gleichung ein

Wir führen die nötigen Rechenschritte durch und lösen die Gleichung