Exponentielle Gleichungssysteme: Aufgaben

1

Da die Basen der Potenzen in beiden Teilen der Gleichung dieselben sind, werden die Exponenten angeglichen und das -Gleichungssystem wird aufgelöst. Erinnere dich daran, dass bei Potenzen mit Exponent dieser normalerweise nicht sichtbar ist.

2

Multipliziere die erste Gleichung mit

Addiere nun beide Gleichungen Term für Term

Den Wert für erhältst du, indem du den Wert für auf einer der beiden Seiten einsetzt:

Die Lösung der Gleichung ist folglich

1

Um eine Potenz derselben Basis in der gesamten Gleichung zu erhalten, löse zunächst den Bruch der ersten Gleichung auf:

Die Exponenten der ersten Gleichung können jetzt miteinander gleichgesetzt werden, da ihre Potenzen dieselbe Basis haben. Vereinfache nun die Gleichung:

Ziehe für das -Gleichungssystem die ursprüngliche zweite Gleichung heran und löse auf

2

indem du die erste Gleichung mit und die zweite mit multiplizierst

Addiere nun beide Gleichungen Term für Term und du erhältst den Wert für :

Den Wert für erhältst du, indem du den Wert für auf einer der beiden Seiten einsetzt:

Die Lösung der Gleichung ist folglich

1

Mache dir die Eigenschaften des Potenzprodukts zunutze, um beide Gleichungen zu vereinfachen und auf jeweils einen Exponenten zu bringen

Bilde das -Gleichungssystem indem du die Exponenten aus beiden Gleichungen miteinander gleichsetzt, da sie auf beiden Seiten dieselbe Basis haben

2

Das Substitutionsverfahren besteht darin, eine von zwei Variablen einer Gleichung zu ermitteln und anschließend das Ergebnis bzw. den so erhaltenen Term in die zweite Gleichung einzusetzen, um den Wert der zweiten Variablen herauszufinden:

Durch Einsetzen des Werts von in der Gleichung erhält man . Die Lösung der Gleichung ist folglich

1

Wende bei der zweiten Gleichung das Potenzgesetz an, um die Summen und Subtraktionen in den Exponenten als Produkt und Bruch darzustellen:

Durch Tausch der Variablen und Einsetzen in den zuvor erhaltenen Ausdruck und in die erste Gleichung erhält man das  -Gleichungssystem

2

Das Substitutionsverfahren besteht darin, eine von zwei Variablen einer Gleichung zu ermitteln und anschließend das Ergebnis bzw. den so erhaltenen Term in die zweite Gleichung einzusetzen, um den Wert der zweiten Variablen herauszufinden. In diesem Fall soll nach der Variablen  aufgelöst werden:

Berechne den Wert von und setze ihn in einer der Gleichungen des Gleichungssystems ein, um den Wert für zu ermitteln. Setze die erhaltenen Werte für und nun wieder in die Gleichung ein, um die Werte für zu erhalten.

Die Lösung der Gleichung ist folglich

1

Wende bei der zweiten Gleichung das Potenzgesetz and, um die in der Potenz erscheinenden Subtraktionen als Divisionen darzustellen:

Durch Tauschen der Variablen und Einsetzen in den zuvor erhaltenen Ausdruck und in die erste Gleichung erhält man das -Gleichungssystem

2

Löse in beiden Gleichungen nach auf und wende das Gleichsetzungsverfahren an, um eine Gleichung mit der Variablen zu erhalten

Berechne den Wert von und setze ihn in eine der Gleichungen des Gleichungssystems ein, um den Wert für zu ermitteln. Setze die erhaltenen Werte für und nun wieder in die Gleichung ein, um die Werte für zu erhalten.

Die Lösung der Gleichung ist folglich