Übungsaufgaben zu Logarithmusgleichungen

1 Wir wenden auf der rechten Seite die Regel für den Logarithmus eines Quotienten an

2 Wir subtrahieren auf beiden Seiten und beachten dabei . Wir erhalten:

3 Wir beachten die Definition des Logarithmus und dass es sich hier um einen Zehnerlogarithmus handelt:

1 Wir wenden auf der linken Seite die Regel für die Summe von Logarithmen an:

2 Durch den Numerivergleich (oder Gleichsetzen) erhalten wir:

3 Wir lösen die Gleichung und überprüfen die Lösung

1 Wir wenden auf beiden Seiten die Regel für den Logarithmus einer Potenz an

2 Wir wenden die Regel für den Logarithmus eines Produkts an

3 Auf der linken Seite rechnen wir

4 Numerivergleich

5 Wir lösen die Gleichung

6 Weder noch sind Lösungen, da wir beim Einsetzen in die Gleichung den Logarithmus von 0 oder einer negativen Zahl erhalten. Diese Logarithmen existieren nicht. Somit ist die einzige Lösung

1 Wir bringen auf die rechte Seite der Gleichung und wenden die Regel einer Potenz auf beiden Seiten der Gleichung an

2 Durch den Numerivergleich erhalten wir die Werte für

3 Wir lösen den ersten Faktor und erhalten . Dies ist eine unwahre Aussage und bedeutet, dass die Gleichung keine Lösung hat. Beim zweiten Faktor erhalten wir , allerdings ist nicht definiert und bedeutet, dass die Gleichung keine Lösung hat.

1 Wir lösen den Bruch auf und führen die Substitution durch

2 Wir lösen die Gleichung

3 Wir führen die Rücksubstitution durch und wenden die Definition des Logarithmus an

1 Wir bringen den zweiten Summanden auf die rechte Seite der Gleichung und wenden die Regel für den Logarithmus einer Potenz an

2 Wir wenden den Numerivergleich an und führen die nötigen Rechenschritte durch

3 Wir lösen die Gleichung mithilfe der a-b-c-Formel

1 Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit

2 Wir wenden auf der rechten Seite die Regel für den Logarithmus einer Potenz an und denken dabei an die Umkehrfunktion von Logarithmen

 
3 Wir lösen die Gleichung. ist keine Lösung, da wir den Logarithmus einer negativen Zahl im Nenner erhalten, wenn wir den Wert in die Gleichung einsetzen.

1 Wir formen um

2 Wir wenden auf der rechten Seite die Regel für den Logarithmus einer Potenz an und führen anschließend den Numerivergleich durch

3 Wir führen die nötigen Rechenschritte durch und lösen die quadratische Gleichung

1 Wir wenden auf der linken Seite den Logarithmus eines Produkts an. Auf der rechten Seite wenden wir die Regel für den Logarithmus einer Potenz an.

2 Durch den Numerivergleich ergibt sich:

3 Wir lösen die Gleichung und stellen fest, dass wir nicht den Logarithmus von 0 oder einer negativen Zahl erhalten

1 Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit und bringen alle Terme auf die linke Seite

2 Wir beachten, dass und formen um:

3 Wir führen die Substitution durch

4 Wir lösen die Gleichung

5 Wir führen die Rücksubstitution durch