Hyperbeln sind rationale Funktionen der Form 
, wobei 
gilt.
Bei der rationalen Funktion 
lassen sich beispielsweise zwei Aspekte hervorheben:
- Ihre Asymptoten sind Achsen
- Der Mittelpunkt der Hyperbel, also der Schnittpunkt der Asymptoten, ist in diesem Fall der Ursprung.
Darüber hinaus lässt sich das Verhalten anderer rationaler Funktionen aus der Verschiebung der Hyperbeln ableiten, wie in den folgenden Abschnitten dargestellt wird.
Vertikale Verschiebung
Die vertikale Verschiebung einer Hyperbel besteht darin, eine im Ursprung zentrierte Hyperbel relativ zum Ursprung der Koordinatenebene nach oben oder unten zu verschieben. Daraus ergibt sich folgende Beziehung:
ist hierbei der Mittelpunkt der Hyperbel, mit der Besonderheit, dass:
- Wenn
, wird um 
Einheiten nach oben verschoben. - Wenn
, wird um Einheiten nach unten verschoben.
Beispiel:
- Der Mittelpunkt der Hyperbel ist:
. - Da , wird um
Einheiten nach oben verschoben.
Beispiel:
- Der Mittelpunkt der Hyperbel ist:
. - Da
, wird um Einheiten nach unten verschoben.
Horizontale Verschiebung
Die horizontale Verschiebung einer Hyperbel besteht darin, eine im Ursprung zentrierte Hyperbel in Bezug auf den Ursprung der Koordinatenebene nach rechts oder links zu verschieben. Daraus ergibt sich folgende Beziehung:
ist hierbei der Mittelpunkt der Hyperbel, mit der Besonderheit, dass:
- Wenn
, wird um 
Einheiten nach links verschoben. - Wenn
, wird um Einheiten nach rechtsverschoben.
Beispiel:
- Der Mittelpunkt der Hyperbel ist:
. - Da , wird um Einheiten nach links verschoben.
Beispiel:
- Der Mittelpunkt der Hyperbel ist:
. - Da , wird um Einheiten nach rechts verschoben.
Schräge Verschiebung
Die schräge Verschiebung einer Hyperbel besteht darin, dass eine im Ursprung zentrierte Hyperbel sowohl vertikal als auch horizontal so verschoben wird, dass folgende Beziehung gilt:
Wobei 
der Mittelpunkt der Hyperbel ist, mit der Besonderheit, dass:
- Wenn und , wird um Einheiten nach links und Einheiten nach oben verschoben.
- Wenn und , wird um Einheiten nach links und Einheiten nach unten verschoben.
- Wenn
und , wird um Einheiten nach rechts und Einheiten nach unten verschoben. - Wenn und , wird um Einheiten nach rechts und Einheiten nach oben verschoben.
Beispiel:
- Der Mittelpunkt der Hyperbel ist:
. - Da und , wird um Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach oben verschoben.
Beispiel:
.
Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir das Ergebnis der Division berechnen. Falls du dich nicht mehr an die Vorgehensweise erinnerst, kannst du dir die Theorie zur Division von Polynomen ansehen. So können wir den Ausdruck wie folgt umschreiben:
.- Der Mittelpunkt der Hyperbel ist:
. - Außerdem: Da und , wird um Einheiten nach oben und 1 Einheit nach links verschoben.
Mit KI zusammenfassen:
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