Wir wissen, dass Polynomfunktionen, rationale Funktionen, Funktionen mit Wurzeln, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und trigonometrische Funktionen in all den Punkten ihrer Definitionsmenge stetig sind.
Ein Beispiel ist die Funktion
die in all den Punkten ihrer Definitionsmenge stetig ist.
Wir stellen fest, dass 
nicht zur Definitionsmenge gehört. Also geht der Qutient 
an diesem Punkt gegen 0 und die Division durch 0 ist nicht definiert. Folglich ist die Funktion an diesem Punkt nicht stetig.
Abschnittsweise definierte Funktionen
Eine abschnittsweise definierte Funktion ist eine Funktion, die auf verschiedenen "Abschnitten" (oder Zahlenmengen) unterschiedliche Definitionen hat. Zum Beispiel die Betragsfunktion, die wie folgt beschrieben wird:
ist eine abschnittsweise definierte Funktion. In diesem Fall sind die verschiedenen Abschnitte, in denen die obige Funktion definiert ist, 
und 
Das Kriterium für die Stetigkeit von abschnittsweise definierten Funktionen lautet wie folgt:
Eine abschnittsweise definierte Funktion ist stetig, wenn jede ihrer Funktionen auf ihrem Definitionsintervall stetig ist und wenn sie an den Trennpunkten der Intervalle stetig sind.
Das bedeutet, dass ihre seitlichen Grenzwerte übereinstimmen müssen.
Als Beispiel untersuchen wir die Stetigkeit der Funktion
Um die Stetigkeit der obigen Funktion nachzuweisen, müssen wir die Stetigkeit jeder einzelnen der Funktionen nachweisen, die sie in ihren jeweiligen Definitionsbereichen definieren. Diese sind
In jedem Fall müssen wir überprüfen, ob die seitlichen Grenzwerte übereinstimmen, da jede Funktion für sich genommen in ihrem Definitionsbereich stetig ist.
Für die Stetigkeit in 
haben wir
Nun überprüfen wir für 
Und für 
Da in allen Fällen die seitlichen Grenzwerte übereinstimmen, können wir feststellen, dass die Funktion 
in ihrem gesamten Definitionsbereich, der gleich 
ist, stetig ist.
Rechnen mit stetigen Funktionen
sind stetige Funktionen in 
. Können wir bestätigen, dass die folgenden Funktionen ebenfalls in stetig sind?
definiert als 
definiert als 
definiert als 
für 
definiert als 
Mit KI zusammenfassen:
Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!
Loading...
