In diesem Artikel werden wir die folgende Funktion grafisch darstellen
und untersuchen die folgenden Punkte:
Definitionsbereich
Da es sich bei der betreffenden Funktion um eine rationale Funktion handelt, umfasst der Definitionsbereich der Funktion alle reellen Zahlen mit Ausnahme der Punkte, in denen der Nenner null ist, d. h. mit Ausnahme der Punkte, in denen die Funktion nicht definiert ist. Somit erhalten wir
die in 
keine Lösung hat. Somit lautet der Definitionsbereich der Funktion: 
Symmetrie
Beachte, dass 
das heißt, die Funktion ist ungerade. Wir haben also eine Symmetrie zum Ursprung.
Schnittpunkte mit den Achsen
- Schnittpunkte mit der x-Achse: Um diese Punkte zu ermitteln, nehmen wir
und lösen. Das heißt,
Daher ist der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse 
. - Schnittpunkte mit der y-Achse: Um diese Punkte zu ermitteln, nehmen wir
und schauen, welchen Wert die Funktion 
hat.
Daher ist der einzige Schnittpunkt mit der y-Achse.
Asymptoten
- Horizontale Asymptoten: Beachte, dass
Somit ist die Gerade 
die einzige horizontale Asymptote, da zudem gilt: 
Vertikale Asymptoten: Da der Definitionsbereich der Funktion ist, hat die Funktion keine vertikalen Asymptoten.
Schiefe Asymptoten: Da die Funktion mindestens eine horizontale Asymptote aufweist, hat sie keine schiefen Asymptoten..
Monotonieverhalten
Zuerst berechnen wir die erste Ableitung, setzen sie gleich 0 und lösen
Wir erhalten
Die kritischen Punkte der Funktion treten auf, wenn 
Nun betrachten wir die Vorzeichen, indem wir den Definitionsbereich unterteilen:
Die Funktion ist also:
- Streng monoton steigend in
. - Streng monoton fallend in
.
Minima und Maxima
Um die Minima und Maxima zu finden, müssen wir die zweite Ableitung berechnen und sie an den kritischen Punkten auswerten. Die zweite Ableitung der Funktion lautet:
Anschließend berechnen wir die zweite Ableitung an den zuvor ermittelten kritischen Punkten 
.
- Für
haben wir
Da
, wissen wir somit, dass der Punkt 
ein Minimum ist. Das heißt, wir haben ein Minimum im Punkt 
. - Für
haben wir
Da
, wissen wir somit, dass der Punkt 
ein Maximum ist. Das heißt, wir haben ein Maximum im Punkt 
.
Konkavität und Konvexität
Zur Bestimmung von Konkavität und Konvexität nehmen wir 
und lösen nach 
:
Das heißt, 
Nun sehen wir uns die Vorzeichen von 
an, indem wir den Definitionsbereich mit diesen Punkten unterteilen:
Wir wissen jedoch, dass, wenn 
auf einem Intervall, die Funktion 
auf diesem Intervall konvex ist. Ebenso gilt: Wenn 
auf einem Intervall ist, dann ist die Funktion auf diesem Intervall konkav.
Somit ist die Funktion
- Konvex auf
. - Konkav auf
.
Wendepunkte
Um die Wendepunkte zu finden, nutzen wir die dritte Ableitung. Wir berechnen wie folgt
Nun werten wir 
an den Punkten 
und 
aus, die den Werten entsprechen, die wir bei der Berechnung von erhalten haben, und machen mit der dritten Ableitung weiter: Wenn 
, wobei 
einen der drei oben genannten Punkte bezeichnet, dann haben wir einen Wendepunkt bei 
. Wir setzen ein
- Wenn , ist
Wir haben schließlich einen Wendepunkt bei
, das heißt, bei . - Wenn
, ist 
Wir haben schließlich einen Wendepunkt bei 
, das heißt, bei 
. - Wenn
, ist 
Wir haben schließlich einen Wendepunkt bei
, das heißt, bei 
.
Grafische Darstellung
Der Graph der Funktion ist in der folgenden Abbildung dargestellt:
Weitere Beispiele dieser Art findest du unter:
Mit KI zusammenfassen:
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