In diesem Artikel stellen wir verschiedene Wahrscheinlichkeitsaufgaben vor, die mit Hilfe des bekannten Satz von Bayes gelöst werden. Bevor wir jedoch zu den Aufgaben kommen, wollen wir uns noch einmal ins Gedächtnis rufen, was der Satz von Bayes besagt.

Satz von Bayes: seien sich gegenseitige ausschließende Ereignisse, deren Vereinigung der Ergebnisraum ist, das heißt

Wenn ein weiteres Ereignis ist, gilt
,
wobei die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist, genannt A-priori-Wahrscheinlichkeit. stellt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses unter der Voraussetzung des Ereignisses dar, auch bekannt als A-posteriori-Wahrscheinlichkeit.
ist die totale Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Die Gleichung (1) wird Satz von Bayes gennant.

Aufgaben mit Lösungen

1

Es gibt zwei Urnen. Urne 1 enthält 4 weiße Umschläge und 6 schwarze Umschläge. Urne 2 enthält 4 weiße Umschläge und 2 schwarze Umschläge. Wenn man zufällig einen Umschlag aus einer der beiden Urnen zieht und weiß, dass der Umschlag schwarz ist, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass der Umschlag aus Urne 1 stammt?

Lösung

Wir sehen uns die folgenden Ereignisse mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten an:

"Urne 1 wird gewählt"
"Urne 2 wird gewählt"
Wir sehen und außerdem das Ereignis an: "Es wird ein schwarzer Umschlag gezogen".
Die Hypothesen des Problems zeigen uns, dass:

Die Wahrscheinlichkeit, einen schwarzen Umschlag aus Urne 1 zu ziehen, beträgt , da sich in der Urne insgesamt 10 Umschläge befinden, von denen 6 schwarz sind.
Die Wahrscheinlichkeit, einen schwarzen Umschlag aus Urne 2 zu ziehen, beträgt , da sich in der Urne insgesamt 6 Umschläge befinden, von denen 2 schwarz sind.
Daher möchten wir herausfinden, d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass der schwarze Umschlag aus Urne 1 gezogen wurde.

Unter Verwenung des Satzes von Bayes erhalten wir

2

Ein Mann ist dafür bekannt, dass er in zwei von drei Fällen die Wahrheit sagt. Er wirft eine Münze und sagt, dass sie auf der Kopfseite gelandet ist. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze tatsächlich auf der Kopfseite gelandet ist.

Lösung

Wir sehen uns die folgenden Ereignisse mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten an:

"Die Münze zeigt Kopf"
"Die Münze zeigt Zahl"
Wir sehen und außerdem das Ereignis an: " Der Mann sagt voraus, dass Kopf geworfen wird".
Die Hypothesen des Problems zeigen uns, dass

Wir möchten herausfinden, das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf geworfen wurde, so wie es der Mann vorausgesagt hatte. Unter Verwenung des Satzes von Bayes erhalten wir

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3

Bei einer Multiple-Choice-Prüfung beträgt die Wahrscheinlichkeit, die Antwort zu wissen, . Bei Antwortmöglichkeiten beträgt die Wahrscheinlichkeit, ohne Wissen die richtige Antwort zu wählen, . Angenommen, ein Schüler hat eine richtige Antwort gegeben, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass er die Antwort tatsächlich wusste?

Lösung

Wir sehen uns die folgenden Ereignisse mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten an:

"Der Schüler weiß die Antwort"
"Der Schüler weiß die Antwort nicht"
Wir sehen und außerdem das Ereignis an: "Der Schüler antwortet richtig".
Die Hypothesen des Problems zeigen uns, dass

wobei wir bei der zweiten Wahrscheinlichkeit annehmen, dass der Schüler die Antwort weiß und somit auch richtig antwortet.

Wir möchten herausfinden, das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler die Antwort wusste, da er richtig geantwortet hat. Unter Verwenung des Satzes von Bayes erhalten wir

Wenn zum Beispiel und , erhalten wir

4

Ein Paar hat zwei Kinder, von denen eines weiblich ist und Christina heißt. Wenn der Anteil der Frauen mit dem Namen „Christina” weltweit beträgt, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass das Paar zwei Töchter hat?

Lösung

Wir sehen uns die folgenden Ereignisse mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten an:

"Das Paar hat zwei Töchter"
"Das Paar hat eine Tochter und einen Sohn"
"Das Paar hat zwei Söhne"
Die oben genannten Wahrscheinlichkeiten lassen sich direkt berechnen, wenn man davon ausgeht, dass die vier Möglichkeiten (zwei Töchter, eine Tochter und ein Sohn, ein Sohn und eine Tochter sowie zwei Söhne) jeweils eine Wahrscheinlichkeit von haben und die beiden mittleren Möglichkeiten im Ereignis enthalten sind, was ihre Wahrscheinlichkeit von rechtfertigt.

Wir sehen und außerdem das Ereignis an: "Eine Tochter, die Christina heißt". Die Hypothesen des Problems zeigen uns, dass
und somit auch Ebenso erhalten wir, dass

Wir möchten herausfinden, das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass das Paar 2 Töchter hat, wenn wir a-priori wissen, dass eine von ihnen Christina heißt. Unter Verwenung des Satzes von Bayes erhalten wir


Wir setzen ein und erhalten

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.