1 Zwei Karten werden gleichzeitig von einem Stapel mit 48 Karten gezogen.

Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten:

 

a) Beide Karten zeigen Herz

b) Mindestens 1 Karte zeigt Herz

c) Eine Karte zeigt Herz, die andere Pik

 

 

1 Beide Karten zeigen Herz

 

Wir können dieses Problem so behandeln, als ob wir zwei Entnahmen ohne Austausch durchführen würden.

 

Wir bezeichnen  {A_{i}}  das Ereignis, bei der  i-ten Ziehung ein Herz zu erhalten, mit  i\in\{1,2\}.  In diesem Sinne und gemäß der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

 

    $$\displaystyle P(A_{1}\mbox{ und }A_{2})=\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2}),$$

 

    $$\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1}).$$

 

Um P(A_{1}), zu berechen, teilen wir ganz einfach die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Gesamtzahl der Ergebnisse. In disem Fall gibt es 12 mögliche Karten mit Herz. Das heißt, die Anzahl der günstigen Fälle ist 12. Insgesamt gibt es 48 Karten, die die Gesamtzahl der Ergebnisse darstellen. Somit

 

    $$P(A_{1})=\cfrac{12}{48}.$$

 

Andererseits

 

    $$P(A_{2}|A_{1})=\cfrac{11}{47} ,$$

 

Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist also, da bereits ein Herz gezogen wurde und nun noch insgesamt 47 Karten bleiben.

 

Schließlich

 

    $$ P(A_{1}\cap A_{2}) = \cfrac{12}{48}\cdot\frac{11}{47}=\cfrac{1}{4}\cdot\frac{11}{47}=\frac{11}{188}}$$

 

 

{\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2})=P(A_{1})\times P(A_{2}|A_{1})=\frac{12}{48}\cdot\frac{11}{47}=\frac{11}{188}}

 

2 Mindestens 1 Karte zeigt Herz

 

Wir bezeichnen mit {A_{i}} das Ereignis, ein Herz beim Ziehen {i=1,2} zu erhalten und mit {B_{i}} das Ereignis, kein Herz beim Ziehen {i=1,2} zu erhalten. Die Bedingung, mindestens ein Herz zu erhalten, ist in einem der folgenden Fälle erfüllt

 

    • bei beiden Ziehungen erhält man Herz,
    • beim ersten Ziehen erhält man Herz und beim zweiten Ziehen erhält man kein Herz und
    • beim ersten Ziehen erhält man kein Herz, beim zweiten Ziehen erhält man Herz.

 

Die geforderte Wahrscheinlichkeit ist dann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der drei vorangegangenen Ereignisse, was der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten entspricht, da es sich um unverbundene Ereignisse handelt. Mathematisch ausgedrück heißt das

    $$\displaystyle P(\text{mindestens einmal Herz ziehen})$$

    $$=P(A_{1}\cap A_{2})}+P(A_{1}\cap B_{2})+P(B_{1}\cap A_{2}).$$

Aus der vorherigen Angabe wissen wir, dass P(A_{1}\cap A_{2})} = \cfrac{11}{188}.
Um die verbleibenden Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, nutzen wir die bedingte Wahrscheinlichkeit. Wir erhalten

    $$P(A_{1}\cap B_{2})=P(A_{1})P(B_{2}|A_{1})$$

 

    $$P(B_{1}\cap A_{2})=P(B_{1})P(A_{2}|B_{1}).$$

 

Die Anzahl der günstigen Ergebnisse des Ereignisses A_1  ist 12 und des Ereignisses  B_1  ist 36 und somit die Anzahl der Karten, die nicht Herz sind. Da es sich in beiden Fällen um die erste Ziehung handelt, bleibt die Gesamtzahl der Ergebnisse bei 48. Somit

 

    $$P(A_{1})=\cfrac{12}{48}={1}{4}\mbox{ und }$$

 

    $$P(B_{1})=\cfrac{36}{48}={3}{4}.$$

 

Die Anzahl der günstigen Ergebnisse des Ereignisses B_{2}|A_{1} ist 36, da dies die Anzahl der Karten ist, die nicht Herz sind. Für A_{2}|B_{1} lautet die Anzahl 12, da noch kein Herz gezogen wurde. Die Gesamtzahl der Ergebnisse beträgt also 47, wenn man davon ausgeht, dass wir bereits eine Karte gezogen haben. Somit

 

    $$P(B_{2}|A_{1})=\cfrac{36}{47}\mbox{ und }$$

 

    $$P(A_{2}|B_{1})=\cfrac{12}{47}.$$

 

Also

 

    $$P(A_{1}\cap B_{2}) = \frac{1}{4}\cdot\frac{36}{47}=\frac{36}{188} ,$$

 

    $$P(B_{1}\cap A_{2}) =\frac{3}{4}\cdot\frac{12}{47}=\frac{36}{188} .$$

 

Und somit

 

    $$P(\text{mindestens einmal Herz ziehen})=\cfrac{11}{188}+\cfrac{36}{188}+\cfrac{36}{188} = \cfrac{83}{188}.$$

 

3 Eine Karte zeigt Herz, die andere Karte zeigt Pik

 

Wir bezeichnen mit {A_{i}}  das Ereignis, ein Herz bei der Ziehung  {i=1,2}  zu erhalten und mit {E_{i}}  das Ereignis, kein Pik bei der Ziehung {i=1,2}  zu erhalten. Die Bedingung des Ziehens einer Herzkarte und einer Pikkarte ist in jedem der folgenden Fälle erfüllt

 

    • bei der ersten Ziehung wird ein Herz und bei der zweiten Ziehung ein Pik gezogen und
    • bei der ersten Ziehung wird ein Pik und bei der zweiten Ziehung ein Herz gezogen.

 

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der drei vorangegangenen Ereignisse, was der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten entspricht, da es sich um nicht miteinander verbundene Ereignisse handelt. Mathematisch ausgedrückt heißt das

 

    $$\displaystyle P(\text{einmal Herz und einmal Pik})$$

    $$=P(A_{1}\cap E_{2})}+P(E_{1}\cap A_{2}).$$

Und umgekehrt

    $$P(A_{1}\cap E_{2})=P(A_{1})P(E_2|A_1)$$

    $$P(E_{1}\cap A_{2})=P(E_{1})P(A_2|E_1).$$

Da von jeder Farbe 12 Karten im Deck sind und das Deck insgesamt 48 Karten enthält, folgt aus der Formel für die Anzahl der günstigen Ergebnisse im Verhältnis zu den gesamten Ergebnissen, dass

    $$P(A_1) = \cfrac{12}{48} = P(E_1).$$

Andererseits haben wir im Fall des Ereignisses P(E_2|A_1) 12 günstige Ergebnisse und insgesamt 47 Karten (da bereits gezogen wurde) oder Ergebnisse. Wir beachten, dass dies die gleichen Werte für P(A_2|E_1), sind und somit

    $$P(E_2|A_1) = \cfrac{12}{47} = P(A_2|E_1).$$

Daraus ergibt sich

    $$P(A_{1}\cap E_{2})} = \cfrac{12}{48}\cdot\cfrac{12}{47} = \cfrac{3}{47},$$

    $$P(E_{1}\cap A_{2}) = \cfrac{12}{48}\cdot\cfrac{12}{47} = \cfrac{3}{47}.$$

Und schließlich,

    $$P(\text{einmal Herz und einmal Pik}) = \cfrac{6}{47}.$$

 

2 Ein Student hat vor einer Prüfung nur  15  der  25  in der Prüfung abgefragten Themen gelernt. Dazu werden zwei Themen nach dem Zufallsprinzip ausgewählt und der Student muss sich für eines der beiden entscheiden, in dem er geprüft wird.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Student in der Prüfung ein Thema wählt, das er vorbereitet hat.

 

 

Wir bezeichnen mit A  das Ereignis, dass der Student in der Prüfung ein von ihm vorbereitetes Thema wählen kann. Somit

 

    $$P(A) = 1- P(A^{c}),$$

 

A^{c} ist hierbei das Gegenereignis zu A. Das heißt, der Student kann eines der von ihm vorbereiteten Themen nicht wählen.

 

Um P(A^{c})  zu berechnen, bedenken wir, dass es 10 Themen gibt, die der Student nicht vorbereitet hat. Die Wahrscheinlichkeit, dass er als Erstes eines dieser Themen wählt, liegt bei   \cfrac{10}{25}.  Hier gilt die einfache Regel

    $$\cfrac{\mbox{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\mbox{Gesamtzahl der Ergebnisse}}.$$

Ebenso liegt die Wahrscheinlichkeit, als zweites Thema ein Thema zu wählen, das der Student nicht vorbereitet hat, bei \cfrac{9}{24} , da wir in diesem Fall bereits ein Thema gewählt haben, das nicht vorbereitet wurde, und uns somit  9  mögliche günstige Ergebnisse und 24  Ergebnisse insgesamt bleiben.
Das Ergebnis von  P(A^{c}) ist die Multiplikation der beiden ermittelten Wahrscheinlichkeiten. Wir gehen nämlich davon aus, dass dies gleichbedeutend mit einer Entnahme ohne Austausch von zwei Themen, die nicht vorbereitet wurden, ist. Also

    $$P(A^{c}) = \cfrac{10}{25}\cdot\cfrac{9}{24} = \cfrac{3}{20}$$

Somit

    $$P(A) = 1 - P(A^c) = 1-\cfrac{3}{20}=\cfrac{17}{20}=0,85.$$

 

3 Eine Klasse besteht aus 10  Jungen und  10  Mädchen. Die Hälfte der Mädchen und die Hälfte der Jungen besuchen Französisch als Wahlfach.

 

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person ein Junge ist oder Französisch lernt?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um ein Mädchen handelt oder die Person nicht Französisch lernt?

 

 

1 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person ein Junge ist oder Französisch lernt?

 

Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von 2 Ereignissen; grafische Darstellung von Schülern und Schülerinnen

 

A  ist das Ereignis "die zufällig ausgewählte Person ist ein Junge und hat nicht das Wahlfach Französisch". B  ist das Ereignis "die zufällig ausgewählte Person belegt das Wahlfach Französisch". Wenn also  C  das Ereignis "die zufällig ausgewählte Person ist ein Junge oder lernt Französisch" ist, ist dies die Wahrscheinlichkeit, die wir berechnen möchten und

    $$P(C)=P(A\cup B)=P(A)+P(B).$$

Die letzte Bedingung ist wahr, da die Ereignisse  A und B  nicht miteinander verbunden sind.
Um P(A),P(B) zu berechen, wenden wir die Regel an

    $$\cfrac{\mbox{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\mbox{Gesamtzahl der Ergebnisse}}.$$

Beim dem Ereignis A ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse  5, denn dies ist die Anzahl der Personen, die Jungen sind und nicht Französisch lernen. Für   B   ist die Anzahl der Personen, die Französisch lernen gleich   10   und somit die Anzahl der günstigen Ergebnisse. Bei beiden Ereignissen beträgt die Gesamtzahl der Ergebnisse 20, was der Gesamtzahl der Schüler entspricht.
Daraus schließen wir

    $$P(A) = \cfrac{5}{20},$$

    $$P(B) = \cfrac{10}{20},$$

    $$P(A)+P(B) = \cfrac{5}{20}+\cfrac{10}{20} = \cfrac{15}{20} = \cfrac{3}{4}.$$

    $$P(C) = \cfrac{3}{4} = 0,75.$$

2 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um ein Mädchen handelt oder die Person nicht Französisch lernt?
Im Zusammenhang mit dem vorangegangenen Abschnitt genügt die Feststellung, dass das Ereignis "zufällige Auswahl eines Mädchens, das nicht Französisch lernt" äquivalent zu C^cist. Das heißt, es ist das Gegenereignis von C.
Für ein beliebiges Ereignis und sein Gegenereignis gilt

    $$1 = P(C) + P(C^c)$$

    $$1 - P(C) = P(C^c)$$

Wenn wir dann den Wert, den wir im vorherigen Abschnitt ermittelt haben, für  P(C) einsetzen, gilt

    $$P(C^c)= 1 - \cfrac{3}{4}$$

    $$P(C^c)= \cfrac{1}{4} = 0,25 .$$

 

4 In einer Klasse gehen alle Schüler*innen einer Sportart nach. 60 % der Schüler*innen spielen Fußball oder Basketball und 10 % der Schüler*innen spielen beides.

Außerdem spielen 60 % der Schüler*innen nicht Fußball.

 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählte*r Schüler*in der Klasse:

 

a) Nur Fußball spielt

 

b) Nur Basketball spielt

 

c) Nur einer der beiden Sportarten nachgeht

 

d) Weder Fußball noch Basketball spielt

 

 

1 Nur Fußball
60\%   der Schüler*innen spielen Fußball oder Basketball und von diesem Prozentsatz gehen 10\% beiden Sportarten nach. Dies bedeutet, dass  50\% der Schüler*innen nur eine von beiden Sportarten betreiben. Die Wahrscheinlichkeit, eine*n Schüler*in zu wählen, die/der nur einer der Sportarten nachgehen, liegt bei 0,5.
Andererseits spielen  60\%   der Schüler*innen oder mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 nicht Fußball. Dies bedeutet, dass von den 50\%, die nur einer der Sportarten nachgehen,  60\%   nur Basketball spielen. Die 60\%   von 50\% erhalten wir, indem wir das Produkt 0,5 \times 0,6 = 0,3 . bilden
Wenn also F das Ereignis "nur Fußball" und B "nur Basektball" und A "nur eine der Sportarten" ist, gilt

    $$ P(F) = P(A) - P(B) $$

    $$ P(F) = 0,5 - 0,3 = 0,2 $$

2 Nur Basketball

 

Wir stellen fest, dass  60\%   der Schüler*innen Fußball oder Basketball spielen und von diesem Prozentsatz  10\% beiden Sportarten nachgehen. Das heißt, dass  50\% der Schüler*innen nur einer der Sportarten nachgehen und die Wahrscheinlichkeit, eine*n Schüler*in zu wählen, der/die nur einer der Sportarten nachgeht, bei 0,5 liegt.
Andererseits spielen 60\%   oder mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 nicht Fußball. Das bedeutet, dass von den  50\%, die nur einer Sportart nachgehen,  60\%   nur Basketball spielen. Die  60\%   der 50\% erhalten wir, indem wir das Produkt  0,5 \times 0,6 = 0,3 bilden.
Wenn also B das Ereignis "nur Basketball" ist, dann ist P(B) = 0,3 .
3 Nur eine der beiden Sportarten

 

Andererseits spielen  60\%   der Schüler*innen Fußball oder Basketball und 10\% von diesem Prozentsatz gehen beiden Sportarten nach. Das heißt, dass 50\% der Schüler*innen nur einer der Sportarten nachgehen und die Wahrscheinlichkeit, eine*n Schüler*in zu wählen, der/die nur eine der Sportarten treibt, bei 0,5 liegt.
4 Weder Fuball noch Basketball

 

F   ist das Ereignis "Fußball" und  B das Ereignis "Basketball". "Fußball oder Basketball" ist also äquivalent zum Ereignis F\cup B.  Somit ist die Wahrscheinlichkeit, jemanden zu wählen, der nicht Fußball spielt, gleich der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von F\cup B. Diese Wahrscheinlichkeit ist uns bekannt, da P(F\cup B) = 0,6 .
Also

    $$P((F\cup B)^c) = 1-P(F\cup B) = 1 - 0,6 = 0,4 .$$

 

5 Eine Werkstatt weiß, dass im Durchschnitt morgens drei Autos mit elektronischen Problemen, acht mit mechanischen Problemen und drei mit Karosserieproblemen kommen und nachmittags zwei mit elektronischen Problemen, drei mit mechanischen Problemen und eines mit Karosserieproblemen.

 

a) Erstelle eine Tabelle mit den gegebenen Daten

 

b) Berechne den Prozentsatz der Autos, die am Nachmittag kommen

 

c) Berechne den Prozentsatz der Autos, die wegen mechanischer Probleme kommen

 

d) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto mit elektrischen Problemen am Morgen kommt

 

 

1 Erstelle eine Tabelle mit den gegebenen Daten

 

 XYMinimum
A1515
B5115

 

2 Berechne den Prozentsatz der Autos, die am Nachmittag kommen

 

Um den Prozentsatz der Autos, die am Nachmittag kommen, zu berechnen, müssen wir nur den Quotienten ermitteln

    $$\cfrac{\mbox{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\mbox{Gesamtzahl der Ergebnisse}}$$

In diesem Fall entspricht die Anzahl der günstigen Ergebnisse der Anzahl der Fahrzeuge, die am Nachmittag in die Werkstatt kommt, d. h. 6. Die Gesamtzahl der Ergebnisse, ist die Gesamtzahl der Autos, also 20.
Deswegen gilt

    $$\mbox{Anteil der am Nachmittag anwesenden Fahrzeuge} = \cfrac{6}{20} = 0,3 .$$

Um diese Zahl in Prozent auszudrücken, multiplizieren wir sie einfach mit 100. Der Anteil der Autos, die am Nachmittag kommen, beträgt also 30\% .
3 Berechne den Prozentsatz der Autos, die wegen mechanischer Probleme kommen

 

Um den Prozentsatz der am Nachmittag anwesenden Autos zu berechnen, müssen wir einfach den Quotienten bilden

*** QuickLaTeX cannot compile formula: $$\cfrac{\mbox{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\mbox{Gesamtzahl der Ergebnisse}$$  *** Error message: File ended while scanning use of \\cfrac.  Emergency stop.

In diesem Fall ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse die Gesamtzahl der Fahrzeuge, die wegen mechanischer Probleme in die Werkstatt kommen, d. h. 11; die Gesamtzahl der Ergebnisse ist die Gesamtzahl der Fahrzeuge, die in die Werkstatt kommen, d. h. 20.
Deshalb gilt

    $$\mbox{anteiliges Fahrzeug, das wegen mechanischer Probleme in der Werkstatt ist} $$

    $$ = \cfrac{11}{20} = 0,55 .$$

Um diese Zahl als Prozentsatz auszudrücken, wird sie einfach mit 100 multipliziert. Der Anteil der Fahrzeuge, die am Nachmittag in die Werkstatt kommen, liegt also bei 55\% .
4 Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto mit elektronischen Problemen am Morgen kommt

Um den Prozentsatz der Fahrzeuge zu berechnen, die wegen elektronischer Probleme in die Werkstatt kommen, müssen wir einfach den Quotienten bilden

    $$\cfrac{\mbox{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\mbox{Gesamtzahl der Ergebnisse}}$$

In diesem Fall ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse die Gesamtzahl der Fahrzeuge, die während der Frühschicht wegen elektronischer Probleme in die Werkstatt kommen, d.h. 3, während die Gesamtzahl der Ergebnisse die Gesamtzahl der Fahrzeuge ist, die wegen elektronischer Probleme vorgeführt werden, d.h. 5.
Deshalb gilt

    $$P(\mbox{ein Auto mit elektronischen Problemen am Morgen}) $$

    $$ = \cfrac{3}{5} = 0,6 .$$

 

6 In einer Stadt haben  40\%  der Bevölkerung braunes Haar,  25\%  haben braune Augen und  15\%  haben braune Haare und braune Augen.

Eine Person wird nach dem Zufallsprinzip ausgewählt

 

a) Wenn sie braunes Haar hat, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass sie auch braune Augen hat?

b) Wenn sie braune Augen hat, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass sie keine braunen Haare hat?

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person weder braunes Haar noch braune Augen hat?

 

 

 

1 Wenn sie braunes Haar hat, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass sie auch braune Augen hat?

 

 

 

Mit   A, B   bezeichnen wir jeweils die Ereignisse "braune Augen" und "braune Haare". Die gesuchte Wahrscheinlichkeit wird also wie folgt ausgedrückt

    $$P(A|B)$$

Und nach der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit, d. h.

    $$P(A|B) = \cfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Wir stellen fest, dass A\cap B  äquivalent zu "braune Augen und braune Haare" ist. Daraus erschließt sich für uns die Wahrscheinlichkeit, dass  15\%  diese Bedingung erfüllen. Das heißt P(A\cap B) = 0,15 . Mit einer ähnlichen Argumentation ergibt sich, dass P(B) = 0,4   und somit

    $$P(A|B) = \cfrac{0,15}{0,4} = 0,375 .$$

2 Wenn die Person braune Augen hat, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass sie keine braunen Haare hat?

 

Gemäß der Aufgabenstellung haben  25\% braune Augen und  15\%  haben braune Haare und braune Augen. Daraus ergibt sich, dass die verbleibenden 10\%  braune Augen, aber keine braunen Haare haben.
A, B  sind jeweils die Ereignisse "keine braunen Haare" und "braune Augen". Aus dem voherigen Abschnitt ergibt sich also, dass das Ereignis  A\cap B  (äquivalent zu "braune Augen und keine braunen Haare") eine Wahrscheinlichkeit von  0,1   hat. Da wir außerdem wissen, dass  25\% braune Augen haben, gilt  P(B) = 0,25 .
Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt sich also

    $$P(A|B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(B)} = \cfrac{0,1}{0,25} = 0,4 .$$

3 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person weder braunes Haar noch braune Augen hat?

 

Gemäß der Aufgabenstellung haben  25\%  braune Augen und  15\%  haben braune Augen und braune Haare. Daraus ergibt sich, dass die verbleibenden  10\%  zwar braune Augen, aber keine braunen Haare haben.
Andererseits wissen wir, dass 40\%  der Bevölkerung braune Haare haben, woraus wir schließen können, dass die verbleibenden 60\% keine braunen Haare haben. Darüber hinaus haben wir festgestellt, dass 10\% keine braunen Haare, aber braune Augen haben. Wenn wir dies vom Gesamtanteil der Bevölkerung ohne braune Haare abziehen, ergibt sich, dass 50\% der Bevölkerung weder braune Haare noch braune Augen haben. Die Wahrscheinlichkeit, eine Person ohne braunes Haar und ohne braune Augen auszuwählen, beträgt also 0,5.

 

7 In einem Saal befinden sich 100 Schüler*innen:  40  davon sind Jungen,  30  tragen eine Brille und  15 sind männlich und tragen eine Brille.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine weibliche Person und eine Person handelt, die keine Brille trägt?

b) Wenn wir wissen, dass der/die ausgewählte Schüler*in keine Brille trägt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass er/sie männlich ist?

 

 

 

1 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine weibliche Person und eine Person handelt, die keine Brille trägt?

 

Wir haben 100 Schüler*innen, von denen 40 männlich sind. Also sind 40 weiblich. Außerdem tragen 30 Schüler*innen eine Brille und 15 von ihnen sind männlich. Das bedeutet, dass die anderen 15 Schüler mit Brille weiblich sind. Dann haben wir 25 Jungen ohne Brille und 45 Mädchen ohne Brille.
Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um ein Mädchen, das keine Brille trägt, handelt, können wir mit der folgenden Regel ermitteln

    $$\cfrac{\mbox{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\mbox{Gesamtzahl der Ergebnisse}}.$$

In diesem Fall ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse die Zahl der Mädchen, die keine Brille tragen, d. h. 45, während die Gesamtzahl der Ergebnisse die Gesamtzahl der Schüler ist. Somit

    $$P(\mbox{Mädchen ohne Brille}) = \cfrac{45}{100} = 0,45 $$

2 Wenn wir wissen, dass der/die ausgewählte Schüler*in keine Brille trägt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass er/sie männlich ist?

 

A,B sind jeweils die Ereignisse "männlich" und "keine Brille". Somit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gegeben durch P(A|B).
Wir erhalten  P(B) = 0,7. Somit haben 70 der 100 Schüler*innen keine Brille. Das heißt,

    $$P(B) = \cfrac{70}{100} = 0,7.$$

Andererseits ist  P(A\cap B)   äquivalent zum Ereignis "männlich, keine Brille" und laut der vorherigen Aufgabe gibt es 25 Schüler*innen, die sich in dieser Kategorie befinden. Somit

    $$P(A\cap B) = \cfrac{25}{100} = 0,25 .$$

In Anlehnung an die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit erhalten wir

    $$P(A|B) = \cfrac{P(A\cap B)}{P(B)} = \cfrac{0,25}{0,7} = \cfrac{5}{14}.$$

 

8 Unter den 120 besten Kunden eines Autohauses wird eine Reise nach Rom verlost.

Unter ihnen sind 65 Frauen, 80 sind verheiratet und 45 sind verheiratete Frauen.

Berechne:

 

a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein alleinstehender Mann die Reise gewinnt?

b) Wenn der Geweinner bekanntlich verheiratet ist, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Frau handelt?

 

1 Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein alleinstehender Mann die Reise gewinnt?

 

Wir beginnen damit, indem wir uns notieren, dass es 65 Frauen gibt und 55 Männer, insgesamt also 120 Personen. Wenn wir diese Überlegung weiterführen, wissen wir, dass es 80 Verheiratete gibt, von denen 45 Frauen sind, sodass 35 verheiratete Männer und 20 alleinstehende Männer übrig bleiben.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die zu verlosende Reise an einen alleinstehenden Mann geht, liegt also bei

    $$\cfrac{25}{120} = {1}{6}$$

Hierbei haben wir ganz einfach die Regel angewendet

    $$\cfrac{\mbox{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\mbox{Gesamtzahl der Ergebnisse}}$$

Die alleinstehenden Männer sind also die günstigen Ergebnisse und die Gesamtzahl der Ergebnisse ist die Gesamtzahl der Personen, die an dem Gewinnspiel teilnehmen.
2 Wenn der Gewinner bekanntlich verheiratet ist, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Frau handelt?
In der vorangegangenen Aufgabe haben wir die Anzahl der verheirateten Frauen berechnet, die sich auf 45 beläuft. Da es 80 Verheiratete gibt, lautet die Wahrscheinlichkeit, dass die Reise an eine Frau geht, wenn man weiß, dass der Gewinner verheiratet ist, wie folgt

    $$\cfrac{\mbox{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\mbox{Gesamtzahl der Ergebnisse}}$$

    $$ = \cfrac{45}{80}.$$

In diesem Fall ist die Gesamtzahl der Ergebnisse die Anzahl der verheirateten Personen, da wir wissen, dass der Gewinner der Reise verheiratet ist. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist hierbei die Anzahl der verheirateten Frauen.

 

9 Eine Klasse besteht aus 6 Mädchen 10 Jungen. Für ein Komitee sollen 3 von ihnen nach dem Zufallsprinzip ausgewählt werden. Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten:

 

a) Drei Jungen werden ausgewählt

b) Zwei Jungen und ein Mädchen werden ausgewählt

c) Mindestens ein Junge wird ausgewählt

d) Zwei Mädchen und ein Junge werden ausgewählt

 

 

 

1 Drei Jungen werden ausgewählt

Wir können dieses Problem so behandeln, als ob wir zwei Entnahmen ohne Austausch durchführen würden.
{A_{i}}  ist das Ereignis, bei der i-ten Entnahme einen Jungen zu wählen mit  i\in\{1,2,3\}.  In diesem Sinne und gemäß der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

 

    $$\displaystyle P(A_{1}\mbox{ und }A_{2})=\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2}),$$

 

    $$\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1}).$$

 

Um P(A_{1}), zu berechnen, teilen wir ganz einfach die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Gesamtzahl der Ergebnisse. In diesem Fall gibt es 10 mögliche Kinder zur Auswahl, d.h. 10 ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse und insgesamt 16 Kinder, was der Gesamtzahl der Ergebnisse entspricht. Somit

 

    $$P(A_{1})=\cfrac{10}{16}.$$

 

Andererseits

 

    $$P(A_{2}|A_{1})=\cfrac{9}{15} ,$$

,

 

da die Zahl der günstigen Ergebnisse 9 beträgt, da bereits ein Kind ausgewählt wurde und die Gesamtzahl der auszuwählenden Kinder nun 15 beträgt.

 

Schließlich

 

    $$ P(A_{1}\cap A_{2}) = \cfrac{10}{16}\cdot\frac{9}{15}.$$

 

Wendet man dieses Argument wiederholend auf die Wahl des dritten Kindes an, so ergibt sich, dass

    $$ P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}) = \cfrac{10}{16}\cdot\frac{9}{15}\cdot\cfrac{8}{14} = 0,214 .$$

2 Zwei Jungen und ein Mädchen werden ausgewählt

 

Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen wir zunächst die verschiedenen Fälle ermitteln, in denen wir zwei Jungen und ein Mädchen auswählen könnten. Im ersten Fall wählt man 2 Jungen und am Ende ein Mädchen, im zweiten Fall ein Mädchen und am Ende zwei Jungen, und schließlich einen Jungen, ein Mädchen und einen Jungen. Die Wahrscheinlichkeit eines jeden Ergebnisses kann durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeit bei jedem Schritt der anfangs dargestellten Abbildung berechnet werden.
Wenn wir zum Beispiel den ersten Fall Ereignis A bezeichnen, gilt

    $$P(A) = \cfrac{10}{16}\cdot\cfrac{9}{15}\cdot\cfrac{6}{14}.$$

B, C  sind die verbleibenden Ereignisse

    $$P(B) = \cfrac{6}{16}\cdot\cfrac{10}{15}\cdot\cfrac{9}{14},$$

    $$P(C) = \cfrac{10}{16}\cdot\cfrac{6}{15}\cdot\cfrac{9}{14}.$$

Die Wahrscheinlichkeit, nach der wir suchen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeines dieser Ereignisse eintritt, d. h. P(A\cup B\cup C).  Da diese nicht miteinander verbunden sind, folgt, dass

    $$P(A\cup B\cup C) = P(A)+P(B)+P(C)$$

Deshalb

    $$P(A)+P(B)+P(C) = \cfrac{10}{16}\cdot\cfrac{9}{15}\cdot\cfrac{6}{14} + \cfrac{6}{16}\cdot\cfrac{10}{15}\cdot\cfrac{9}{14} + \cfrac{10}{16}\cdot\cfrac{6}{15}\cdot\cfrac{9}{14} $$

    $$= 0,482 $$

3 Mindestens ein Junge wird gewählt

 

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mindestens einen Jungen auszuwählen, gehen wir wie folgt vor

    $$P(\mbox{mindestens ein Junge}) = P((\mbox{alle Mädchen})^c) = 1 - P(\mbox{alle Mädchen}). $$

Wir können die Wahrscheinlichkeit, drei Mädchen zu wählen, auf völlig analoge Weise berechnen wie im ersten Abschnitt dieser Aufgabe. Somit

    $$P(\mbox{alle Mädchen}) = \cfrac{6}{16}\cdot\cfrac{5}{15}\cdot\cfrac{4}{14}.$$

Dann

    $$P(\mbox{mindestens ein Junge}) = 1 - \cfrac{6}{16}\cdot\cfrac{5}{15}\cdot\cfrac{4}{14}$$

    $$ = 0,964 $$

4 Zwei Mädchen und ein Junge werden ausgewählt

 

Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen wir zunächst die verschiedenen Fälle ermitteln, in denen wir zwei Mädchen und einen Jungen auswählen könnten. Im ersten Fall wählt man 2 Mädchen und am Ende einen Jungen, im zweiten Fall einen Jungen und am Ende zwei Mädchen, und schließlich ein Mädchen, einen Jungen und ein Mädchen. Die Wahrscheinlichkeit eines jeden Falles kann durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeit bei jedem Schritt der anfangs dargestellten Abbildung berechnet werden.
Wenn wir zum Beispiel den ersten Fall Ereignis A bezeichnen, gilt

    $$P(A) = \cfrac{6}{16}\cdot\cfrac{5}{15}\cdot\cfrac{10}{14}.$$

B, C  sind schließlich die verbleibenden Ereignisse

    $$P(B) = \cfrac{10}{16}\cdot\cfrac{6}{15}\cdot\cfrac{5}{14},$$

    $$P(C) = \cfrac{6}{16}\cdot\cfrac{10}{15}\cdot\cfrac{5}{14}.$$

Die Wahrscheinlichkeit, nach der wir suchen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeines dieser Ereignisse eintritt, d. h. P(A\cup B\cup C), da diese nicht miteinander verbunden sind. Daraus folgt, dass

    $$P(A\cup B\cup C) = P(A)+P(B)+P(C)$$

Deshalb

    $$P(A)+P(B)+P(C) = \cfrac{6}{16}\cdot\cfrac{5}{15}\cdot\cfrac{10}{14} + \cfrac{10}{16}\cdot\cfrac{6}{15}\cdot\cfrac{5}{14} + \cfrac{6}{16}\cdot\cfrac{10}{15}\cdot\cfrac{5}{14} $$

    $$= 0,268 .$$

 

10 In einer Urne befinden sich 5 rote Kugeln und 8 grüne Kugeln.

Eine Kugel wird gezogen und durch zwei Kugeln der anderen Farbe ersetzt.

Nun wird eine zweite Kugel gezogen

 

a) Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel grün ist

b) Wahrscheinlichkeit, dass die beiden gezogenen Kugeln die gleiche Farbe haben

 

 

 

1 Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel grün ist

 

Wenn V_2 das Ereignis "die zweite Kugel ist grün" ist, gibt es für dieses Ereignis zwei Möglichkeiten. Nämlich dass die erste Kugel rot ist oder die erste Kugel grün ist. Dies stellen wir als  V_1, R_1  dar. Hierbei ist es wichtig, zu beachten, dass sich diese Fälle gegenseitig ausschließen, d.h. sie können nicht beide gleichzeitig auftreten. Deshalb

    $$P(V_2) = P(V_2\cap V_1) + P(V_2\cap R_1) .$$

In Anlehnung an die Definition der Wahrscheinlichkeit einer Überschneidung ergibt sich, dass

    $$P(V_2\cap V_1) = P(V_1)P(V_2|V_1).$$

    $$P(V_2\cap R_1) = P(R_1)P(V_2|R_1).$$

Gemäß dem zu Beginn der Lösung dargestellten Diagramm ergibt sich

    $$P(V_1) = \cfrac{8}{13}, \quad P(R_1) = \cfrac{5}{13},$$

    $$P(V_2|V_1) = \cfrac{7}{14},\quad P(V_2|R_1) = \cfrac{10}{14}.$$

Damit erhalten wir

    $$P(V_2) = \cfrac{8}{13}\cdot\cfrac{7}{14} + \cfrac{5}{13}\cdot\cfrac{10}{14} = 0,582 .$$

2 Wahrscheinlichkeit, dass die beiden gezogenen Kugeln die gleiche Farbe haben

 

Wenn V_i  das Ereignis "die i-te Kugle ist grün" und R_i  das Ereignis "die i-te Kugel ist rot" ist, müssen wir  P(V_2\cap V_1) + P(R_2\cap R_1) ermitteln.
In Anlehnung an die Definition der Wahrscheinlichkeit einer Überschneidung ergibt sich, dass

    $$P(V_2\cap V_1) = P(V_1)P(V_2|V_1).$$

    $$P(R_2\cap R_1) = P(R_1)P(R_2|R_1).$$

Gemäß dem zu Beginn der Lösung dargestellten Diagramm gilt

    $$P(V_1) = \cfrac{8}{13}, \quad P(R_1) = \cfrac{5}{13},$$

    $$P(V_2|V_1) = \cfrac{7}{14},\quad P(R_2|R_1) = \cfrac{4}{14}.$$

Damit erhalten wir

    $$P(V_2\cap V_1) = \cfrac{8}{13}\cdot\cfrac{7}{14},\quad P(R_2\cap R_1) = \cfrac{5}{13}\cdot\cfrac{4}{14} .$$

    $$P(V_2\cap V_1) + P(R_2\cap R_1) = 0,418 .$$

 

11 Es wird angenommen, dass  25 von 100 Männern und 600 von 1000 Frauen eine Brille tragen.

Wenn die Anzahl der Frauen viermal größer ist als die der Männer, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, einer Person mit folgenden Merkmalen zu begegnen:

 

a) Eine Person ohne Brille

b) Eine Frau mit Brille

 

 

 

1 Eine Person ohne Brille

 

Von der Gesamtbevölkerung wissen wir, dass \cfrac{4}{5}  dem Anteil der Frauen und \cfrac{1}{5}  dem Anteil der Männer entspricht. Damit ist die Bedingung "viermal so viele Frauen wie Männer" erfüllt.
Wenn also 25 von 100 Männern eine Brille tragen, ist \cfrac{25}{100} = 0,25  die Wahrscheinlichkeit, einem Mann mit Brille zu begegnen, woraus folgt, dass 0,75 die Wahrscheinlichkeit für Männer ist, die keine Brille tragen. Nach der gleichen Überlegung ist \cfrac{600}{1000} = 0,6  die Wahrscheinlichkeit, einer Frau mit Brille zu begegnen, während  0,4  die Wahrscheinlichkeit ist, einer Frau ohne Brille zu begegnen. In beiden Fällen haben wir nur das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl der Ergebnisse berechnet.
Wenn A, H, M jeweils die Ereignisse "keine Brille", "männlich" und "weiblich" sind, ermitteln wir P(A). Da männlich und weiblich sich gegenseitig ausschließen, folgt daraus, dass

    $$P(A) = P(A\cap H) + P(A\cap M).$$

Nach den Regeln der bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt sich

    $$P(A\cap H) = P(H)P(A|H) \quad \mbox{ und } P(A\cap M) = P(M)P(A|M).$$

Wir wissen, dass P(H) = \cfrac{1}{5}, P(M) = \cfrac{4}{5}, P(A|H) = 0,75, P(A|M) = 0,4.
Diese Werte setzen wir in den vorhergehenden Ausdruck ein und erhalten

    $$P(A) = 0,47 .$$

2 Eine Frau mit Brille

 

Von der Gesamtbevölkerung wissen wir, dass \cfrac{4}{5}  dem Anteil der Frauen und \cfrac{1}{5}  dem Anteil der Männder entspricht. Damit ist die Bedingung "viermal so viele Frauen wie Männer" erfüllt.
Wir stellen fest, dass  \cfrac{600}{1000} = 0,6  die Wahrscheinlichkeit ist, einer Frau mit Brille zu begegnen, während  0,4  die Wahrscheinlichkeit ist, einer Frau ohne Brille zu begegnen. In beiden Fällen haben wir nur das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl der Ergebnisse berechnet.
Wenn A, M jeweils die Ereignisse "mit Brille" und "weiblich" sind, ermittlen wir P(A\cap M).
Nach den Regeln der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt

    $$P(A\cap M) = P(M)P(A|M).$$

Wir wissen, dass  P(M) = \cfrac{4}{5}, P(A|M) = 0,4.   Wir setzen diese Werte in den vorhergehenden Ausdruck ein und erhalten

    $$P(A\cap M) = \cfrac{4}{5}\cdot 0,6 = 0,48 .$$

 

12 In einer Schule können die Schüler Englisch oder Französisch als Fremdsprache wählen.

In einer bestimmten Klasse lernen  90\%  der Schüler Englisch und der Rest lernt Französisch.

30\%  der Schüler, die Englisch lernen, sind Jungen und von den Schülern, die Französisch lernen, sind  40\% Jungen.

Wenn ein Schüler nach dem Zufallsprinzip ausgewählt wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um ein Mädchen handelt?

 

 

 

I, F, M  sind jeweils die Ereignisse "lernt Englisch", "lernt Französisch" und "weiblich". Da jedoch alle Schüler der Schule Englisch oder Französisch lernen, kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit anhand der folgenden Wahrscheinlichkeiten berechnet werden

    $$P(I\cap M) + P(F\cap M).$$

Für beide Wahrscheinlichkeiten gilt

    $$P(I\cap M) = P(I)P(M|I)$$

    $$P(F\cap M) = P(F)P(M|F)$$

Auf diese Weise können wir die bereitgestellten Informationen nutzen, denn

    $$P(I) = \cfrac{90}{100} = 0,9$$

    $$P(F) = \cfrac{10}{100} = 0,1$$

    $$P(M|I) = \cfrac{70}{100} = 0,7$$

    $$P(M|F) = \cfrac{60}{100} = 0,6$$

Setzt man alle diese Werte ein, ergibt sich die folgende Berechnung

    $$P(I\cap M) + P(F\cap M) = (0,9\times 0,7) + (0,1\times 0,6) = 0,69$$

 

13 In einer Schachtel befinden sich drei Münzen

Eine Münze ist normal, eine hat zwei Seiten mit Kopf und eine Münze ist so gezinkt, dass die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu erhalten,  \cfrac {1}{3}  ist. Eine Münze wird nach dem Zufallsprinzip ausgewählt und geworfen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis Kopf ist?

 

 

M_i ist das Ereignis "die i-te Münze wählen", wobei  M_1  die normale Münze ist, M_2  die Münze mit Kopf auf beiden Seiten und  M_3  die letze Münze ist. Wenn wir in diesem Zusammenhang C  als das Ereignis "wirf die Münze und erhalte Kopf" bezeichnen, können wir P(C)  berechnen, indem wir die Schnittmenge der Ereignisse M_i bilden, da diese sich gegenseitig ausschließen. Das heißt,

    $$P(C) = P(C\cap M_1) + P(C\cap M_2) + P(C\cap M_3).$$

Nach der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit sind die folgenden Gleichungen gültig.

    $$ P(C\cap M_1) = P(M_1)P(C|M_1),$$

    $$ P(C\cap M_2) = P(M_2)P(C|M_2),$$

    $$ P(C\cap M_3) = P(M_3)P(C|M_3).$$

Da die Münze zufällig gewählt wird, ist P(M_i) = \cfrac{1}{3}  mit i\in \{1,2,3\}.  Schließlich

    $$P(C|M_1) = \cfrac{1}{2},$$

Die erste Münze ist normal, d. h. sie hat Kopf und Zahl und kann jeden Wert mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.

    $$P(C|M_2) = 1,$$

Die Münze hat auf beiden Seiten Kopf und es spielt somit keine Rolle, wie sie fällt. Das Ergebnis ist immer Kopf.

    $$P(C|M_3) = \frac{1}{3},$$

Die letzte Münze ist so gezinkt, dass die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu bekommen, groß ist.
Somit

    $$P(C) = \left(\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{1}{2}\right) + \left(\cfrac{1}{3}\cdot 1\right) + \left(\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{1}{3}\right),$$

    $$P(C) = \cfrac{1}{3}\cdot \left[\cfrac{1}{2}+1+\cfrac{1}{3}\right] = \cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{11}{6} = \cfrac{11}{18}.$$

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.