Kapitel

 

Bildung eines Schülerkomitees

 

In einer Klasse mit 35 SchülerInnen soll ein neues Komitee mit drei Sprachern gebildet werden.

 

Wie viele verschiedene Komitees können gebildet werden?

 

 

In einer Klasse mit 35 SchülerInnen soll ein neues Komitee mit drei Sprachern gebildet werden.

 

Wie viele verschiedene Komitees können gebildet werden?

 

Notiere zuerst die folgenden Beobachtungen:

 

Nicht alle Elemente werden in die Berechnung mit einbezogen, da nur 3 der 35 SchülerInnen beachtet werden.

 

Die Reihenfolge ist nicht relevant. da es keinen Unterschied macht, welche der drei SchülerInnen als erstes, zweites und drittes ausgewählt werden. Es ist nur wichtig, welche drei Personen im Komitee sind, nicht in welcher Reihenfolge sie ausgewählt wurden.

 

Die Elemente wiederholen sich nicht, da eine Person der Klasse logischerweise nur einmal gewählt werden kann. Sobald eine Person für das Komitee ausgewählt wurde, gehört sie nicht mehr zur Gruppe der übrigen SchülerInnen.

 

Wenn man diese Punkte beachtet, kann die Kombinationsaufgabe wie folgt gelöst werden:

 

    \begin{align*} C_{35}^{3} &= \frac{35!}{3!(35 - 3)!}\\ &= \frac{35!}{3!32!}\\ &= \frac{35 \cdot 34 \cdot 33}{3!}\\ &= \frac{35 \cdot 34 \cdot 33}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\ &= 6545 \end{align*}

 

 

Kombinationen der Regenbogenfarben

 

Wie viele Gruppen aus jeweils drei unterschiedlichen Farben können aus allen Farben des Regenbogens gebildet werden?

 

Wie viele Gruppen aus jeweils drei unterschiedlichen Farben können aus allen Farben des Regenbogens gebildet werden?

 

Notiere zuerst die folgenden Beobachtungen:

 

Nicht alle Elemente werden in die Berechnung mit einbezogen, da nur 3 der 7 Farben des Regenbogens für die Auswahl relevant sind.

 

Die Reihenfolge ist nicht relevant. Es ist nur wichtig, welche Farben ausgewählt werden, aber nicht, in welcher Reihenfolge.

 

Die Elemente wiederholen sich nicht . da jede Farbe nur einmal ausgewählt werden kann. Sobald eine Farbe ausgewählt wurde, ist sie bei der nächsten Wahl nicht mehr verfügbar.

 

Wenn man diese Punkte beachtet, kann die Kombinationsaufgabe wie folgt gelöst werden:

 

    \begin{align*} C_{7}^3 &= \frac{7!}{(7 - 3)!3!}\\ &= \frac{7!}{4!3!}\\ &= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!}\\ &= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\ &= 35 \end{align*}

 

 

Zahl der Begrüßungen bei einem Meeting

An einem Meeting nehmen 10 Personen teil und begrüßen sich gegenseitig.

 

Wie viele Begrüßungen werden insgesamt ausgetauscht?

 

 

An einem Meeting nehmen 10 Personen teil und begrüßen sich gegenseitig.

 

Wie viele Begrüßungen werden insgesamt ausgetauscht?

 

Notiere zuerst die folgenden Beobachtungen:

 

Nicht alle Elemente werden in die Berechnung mit einbezogen, da die Begrüßungen jeweils immer zwischen zwei Personen stattfinden.

 

Die Reihenfolge ist nicht relevant. Es macht keinen Unterschied, ob Person A Person B begrüßt, oder Person B Person A.

 

Die Elemente wiederholen sich nicht , da jede Person die anderen nur einmal grüßt.

 

Wenn man diese Punkte beachtet, kann die Aufgabe mithilfe der Kombinationsformel wie folgt gelöst werden:

 

    \begin{align*} C_{10}^2 &= \frac{10!}{(10 - 2)!2!}\\ &= \frac{10!}{8!2!}\\ &= \frac{10 \cdot 9}{2!}\\ &= \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1}\\ &= 45 \end{align*}

 

Kombinationen mit vier Flaschen

 

Ein Laden verkauft fünf Erfrischungsgetränke verschiedener Geschmacksarten. Du möchtest 4 Flaschen kaufen. Dabei ist dir unwichtig, ob alle einen anderen Geschmack haben oder nicht.

 

Wie viele verschiedene Kombinationen kannst du erhalten?

 

 

Ein Laden verkauft fünf Erfrischungsgetränke verschiedener Geschmacksarten. Du möchtest 4 Flaschen kaufen. Dabei ist dir unwichtig, ob sie jeweils einen anderen Geschmack haben oder nicht.

 

Wie viele verschiedene Kombinationen kannst du erhalten?

 

Notiere zuerst die folgenden Beobachtungen:

 

Nicht alle Elemente werden in die Berechnung mit einbezogen, da nur 4 der 5 möglichen Geschmacksarten ausgewählt werden.

 

Die Reihenfolge ist nicht relevant. Es spielt keine Rolle, ob man z.B. zuerst zweimal Apfel- und dann zwei mal Orangengeschmack auswählt oder anders herum.

 

Die Elemente wiederholen sich. Man kann entweder vier mal den gleichen Geschmack auswählen oder vier verschiedene und alle möglichen Kombinationen dazwischen.

 

Wenn man diese Punkte beachtet, kann die Kombinationsaufgabe wie folgt gelöst werden:

 

    \begin{align*} CR_{5}^4 &= \frac{(5 + 4 - 1)!}{(10 - 2)!2!}\\ &= \frac{10!}{8!2!}\\ &= \frac{10 \cdot 9}{2!}\\ &= \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1}\\ &= 45 \end{align*}

 

 

Kombinationen beim Lotto-Spiel

 

Wieviele Lottoscheine muss man beim Spielen von 6aus49 ausfüllen, um sich von den 49 Zahlen 6 Treffer zu sichern?

 

 

Wieviele Lottoscheine muss man beim Spielen von 6aus49 ausfüllen, um sich von den 49 Zahlen 6 Treffer zu sichern?

 

Notiere zuerst die folgenden Beobachtungen:

 

Nicht alle Elemente werden in die Berechnung mit einbezogen, da nur 6 der 49 Elemente gewählt werden.

 

Die Reihenfolge ist nicht relevant. Es ist nur wichtig, welche Zahlen gewählt werden, nicht in welcher Reihenfolge.

 

Die Elemente wiederholen sich nicht . da eine Zahl immer nur einmal angekreuzt werden kann.

 

Wenn man diese Punkte beachtet, kann die Aufgabe mithilfe der Kombinationsformel wie folgt gelöst werden:

 

    \begin{align*} C_{49}^6 &= \frac{49!}{(49-6)!6!}\\ &= \frac{49!}{43!6!}\\ &= \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{2!}\\ &= \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{2 \cdot 1}\\ &= 13983816 \end{align*}

 

 

Kombination der Dreiecke in einem Pentagon

 

Wieviele Diagonalen besitzt ein Pentagon und wie viele verschiedene Dreiecke können mit seinen Eckpunkten gebildet werden?

 

 

Wieviele Diagonalen besitzt ein Pentagon und wie viele verschiedene Dreiecke können mit seinen Eckpunkten gebildet werden?

 

Lege zuerst fest, wie viele Geraden zwischen zwei Eckpunkten gebildet werden können. Wir haben 5 Eckpunkte und jede Gerade kann als die Kombination aus den beiden Eckpunkten definiert werden, die ihre Länge bestimmen

 

Nicht alle Elemente werden in die Berechnung mit einbezogen, da eine Gerade nur durch 2 der 5 Eckpunkte definiert wird.

 

Die Reihenfolge ist nicht relevant. Eine Gerade verbindet immer zwei Eckpunkte miteinander, aber die Richtung, in die sie zeigen ist nicht relevant, daher spielt es keine Rolle, auf welche Gerade oder auf welchen Eckpunkt man sich zuerst bezieht.

 

Die Elemente wiederholen sich nicht .

 

Wir erhalten also C_{5}^{2}, wovon wir die Seiten abziehen müssen, die die 5 Geraden festlegen,
die nicht diagonal sind.

 

    \begin{align*} C_{5}^2 - 5 &= \frac{5!}{(5-2)!2!} - 5\\ &= \frac{5!}{3!2!} - 5\\ &= \frac{5\cdot 4}{2!} - 5\\ &= \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} - 5\\ &= 10 - 5\\ &= 5 \end{align*}

 

Dieses Ergebnis beschreibt aber noch nicht die Zahl der Diagonalen innerhalb des Pentagons. Jede dritte Diagonale beschreibt ein Dreieck innerhalb des Pentagons. Hierbei ist eine Dreiecksseite aber nicht immer durch die ganze Diagonale gebildet. Manchmal auch nur durch einen Teil der Diagonalen. Dies wird auf Grafiken von Pentagonen mit ihren Dreiecken. Daraus wird auch ersichtlich, dass die aus allen Diagonalen ein Dreieck gebildet wird, sei es auch nur aus einem Teil davon. Jedes Dreieck wird also durch 3 der 5 Diagonalen festgelegt. Daraus ergeben sich neue Kombinationen, denn:

 

Nicht alle Elemente werden in die Berechnung mit einbezogen, da eine Gerade nur durch 3 der 5 Diagonalen festgelegt wird.

 

Die Reihenfolge ist nicht relevant. Ein Dreieck ist durch 3 Diagonalen festgelegt. Dabei ist es unwichtig, in welcher Reigenfolge die Diagonalen gefunden werden.

 

Die Elemente wiederholen sich nicht . Die drei Seiten eines Dreiecks sind immer Segmente anderer Geraden.

 

Daraus ergibt sich also C_{5}^{3}.

 

    \begin{align*} C_{5}^3 &= \frac{5!}{(5-3)!3!} \\ &= \frac{5!}{2!3!}\\ &= \frac{5\cdot 4}{2!}\\ &= \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1}\\ &= 10 \end{align*}

 

 

Bedingte Kombinationen

 

Eine Gruppe aus 5 Männern und 7 Frauen bildet ein Komitee aus 2 Männern und 3 Frauen. Auf wie viele Arten kann das Komitee gebildet werden, wenn:

 

1 sich daran jeder beliebige Mann und jede beliebige Frau beteiligen kann?

2 eine bestimmte Frau Teil des Komitees sein soll?

3 zwei bestimmte Männer nicht Teil des Komitees sein sollen?

 

 

Eine Gruppe aus 5 Männern und 7 Frauen bildet ein Komitee aus 2 Männern und 3 Frauen. Auf wie viele Arten kann das Komitee gebildet werden, wenn:

 

1 sich daran jeder beliebige Mann und jede beliebige Frau beteiligen kann?

 

Da jeder der Männer sich daran beteiligen kann, können 2 der 5 Männer ausgewählt werden. Beachte, dass die Bedingungen der ersten Aufgabe erfüllt werden sollen:

 

Nicht alle Elemente werden in die Berechnung mit einbezogen, da nur 2 der 5 Männer gewählt werden.

 

Die Reihenfolge ist nicht relevant. Es spielt keine Rolle, ob zuerst Person A und danach Person B oder anderes herum gewählt wird.

 

Die Elemente wiederholen sichnicht, da eine Person nicht mehrmals gewählt werden kann.

 

Um die beiden Männer auszuwählen ergeben sich C_{5}^{2} Möglichkeiten: Auf dieselbe Weise können die Frauen ausgewählt werden. Hierbei werden dieselben Bedingungen beachtet, daher gibt es C_{7}^{3} verschiedene Möglichkeiten, 3 der 7 Frauen auszuwählen. Hieraus ergibt sich als finales Ergebnis das Produkt der Kombinationen:

 

    \begin{align*} C_{5}^{2} \cdot C_{7}^{3} &= \frac{5!}{(5-2)! 2!} \cdot \frac{7!}{(7-3)!3!}\\ &= \frac{5!}{3!2!} \cdot \frac{7!}{4!3!}\\ &= 10 \cdot 35\\ &= 350 \end{align*}

 

2 eine bestimmte Frau Teil des Komitees sein soll?

 

Wie beim vorherigen Fall können wir unter allen Männern auswählen, daher haben wir wieder C_{5}^{2} Kombinationen bei den Männern. Im Gegenteil dazu, soll eine der Frauen diesesmal nicht gewählt werden, das heißt wir wählen nun 2 der übrigen 6 Frauen mit den Kombinationen C_{6}^2. Unser Ergebnis entsteht erneut durch das Produkt der beiden Kombinationen:

 

    \begin{align*} C_{5}^{2} \cdot C_{6}^{2} &= \frac{5!}{(5-2)! 2!} \cdot \frac{6!}{(6-2)!2!}\\ &= \frac{5!}{3!2!} \cdot \frac{6!}{4!2!}\\ &= 10 \cdot 15\\ &= 150 \end{align*}

 

3 zwei bestimmte Männer nicht Teil des Komitees sein sollen?

 

Wie im vorherigen Fall kann aus allen Frauen ausgewählt werden, das heißt wir erhalten C_{7}^{3} Kombinationen. Im Unterschied zu vorher können nun 2 der 5 Männer nicht ausgewählt werden, das heißt, wir müssen 2 der 3 übrigen Männer wählen. Die Kombinationen berechnen wir mit C_{3}^{2}. Unser Ergebnis resultiert sich aus dem Produkt der beiden Kombinationen:

 

    \begin{align*} C_{3}^{2} \cdot C_{7}^{3} &= \frac{3!}{(3-2)! 2!} \cdot \frac{7!}{(7-3)!3!}\\ &= \frac{3!}{1!2!} \cdot \frac{7!}{4!3!}\\ &= 3 \cdot 35\\ &= 105 \end{align*}

 

 

Kombinationen mit Münzen

 

Eine Person besitzt fünf Münzen mit jeweils unterschiedlichem Wert.

 

Wie viele verschiedene Geldsummen können aus den 5 Münzen gebildet werden?

 

 

Eine Person besitzt fünf Münzen mit jeweils unterschiedlichem Wert.

 

Wie viele verschiedene Geldsummen können aus den 5 Münzen gebildet werden?

 

Beachte, dass die Fragestellung etwas irreführend ist: Hier geht es nicht darum, die Summe aus den 5 Münzen zu bilden, sondern die verschiedenen Summen, die eine, zwei, drei, vier und fünf Münzen zusammen aufweisen, deren Summen durch die entsprechenden Kombinationen C_{5}^{1}, C_{5}^{2}, C_{5}^{3}, C_{5}^{4} und C_{5}^{5} bestimmt sind. Wir müssen also die unterschiedlichen Möglichkeiten herausfinden, die es gibt, um Gruppen aus einer, zwei, drei, etc. Münzen zu bilden.

 

    \begin{align*} C_{5}^{1} + C_{5}^{2} + C_{5}^{3} + C_{5}^{4} + C_{5}^{5} &= \frac{5!}{(5-1)! 1!} +\frac{5!}{(5-2)! 2!} + \frac{5!}{(5-3)! 3!}\\ &+ \frac{5!}{(5-4)! 4!} + \frac{5!}{(5-5)! 5!}\\ &= \frac{5!}{4! 1!} +\frac{5!}{3! 2!} + \frac{5!}{2! 3!}\\ &+ \frac{5!}{1! 4!} + \frac{5!}{0! 5!}\\ &=5 + 10 + 10 + 5 + 1\\ &= 31 \end{align*}

 

 

Gleichungen aus Kombinationen

 

Löse die folgenden Kombinationsgleichungen:

 

1\displaystyle V_{m}^{x} = 120 C_{m}^{x}

2\displaystyle C_{x}^{6} = 7 C_{x}^{4}

3\displaystyle 4 C_{19}^{x} = 19 C_{17}^{x}

 

Löse die folgenden Kombinationsgleichungen:

 

1\displaystyle V_{m}^{x} = 120 C_{m}^{x}

 

Löse die Gleichung anhand der Definitionen für Variationen und Kombinationen

 

    \begin{align*} V_{m}^{x} &= 120 C_{m}^{x}\\ \frac{m!}{(x - m)!} &= 120 \frac{m!}{(x - m)! x!}\\ 1 &= 120 \frac{1}{x!}\\ 120 &= x!\\ 5! &= x!\\ 5 &= x \end{align*}

 

Das Ergebnis lautet daher x = 5.

 

2\displaystyle C_{x}^{6} = 7 C_{x}^{4}

 

Verwende auch hier wieder die Definitionen für Variationen und Kombinationen

 

    \begin{align*} C_{x}^{6} &= 7 C_{x}^{4}\\ \frac{x!}{(x - 6)!6!} &= 7 \frac{x!}{(x - 4)! 4!}\\ \frac{1}{(x - 6)!6!} &= 7 \frac{1}{(x - 4)! 4!}\\ \frac{1}{(x - 6) \cdot (x - 7) \cdots 6!} &= 7 \frac{1}{(x - 4) \cdot (x - 5) \cdots 4!}\\ \frac{1}{6!} &= 7 \frac{1}{(x - 4) \cdot (x - 5) 4!}\\ (x - 4) \cdot (x - 5) &= 7 \frac{6!}{4!}\\ x^2 - 9x + 20 &= 210\\ x^2 -9x - 190 &= 0 \\ (x - 19)(x + 10) &= 0 \end{align*}

 

Hieraus ergibt sich x = 19 oder x = -10. Da x aber größer als Null sein muss, ist die einzig mögliche Lösung x = 19.

 

3\displaystyle 4 C_{19}^{x} = 19 C_{17}^{x}

 

Verwende auch hier wieder die Definitionen für Variationen und Kombinationen

 

    \begin{align*} 4 C_{19}^{x} &= 19 C_{17}^{x}\\ 4 \frac{19!}{(19 - x)!x!} &= 19 \frac{17!}{(17 - x)! x!}\\ 4 \frac{19 \cdot 18 \cdot 17!}{(19 - x)(18 - x)(17 - x)!} &= 19 \frac{17!}{(17 - x)!}\\ 4 \frac{19 \cdot 18}{(19 - x)(18 - x)} &= 19 \\ 4 \frac{18}{(19 - x)(18 - x)} &= 1 \\ 4 \cdot 18 &= (19 - x)(18 - x) \\ 72 &= 342 - 37x + x^2\\ 0 &= 270 - 37 x + x^2\\ 0 &= (x - 10)(x - 27) \end{align*}

 

Daraus ergibt sich x = 10 oder x = 27. Da x kleiner als 19 und 17 sein muss, da wir nicht mehr Elemente betrachten können, als die, die es in der Gruppe gibt, ist unsere einzige mögliche Lösung x = 10.

 

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Melanie S

Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan bringe ich die Lernartikel von echten Mathe-Profis logisch und verständlich ins Deutsche, damit du als Mathelerner bei Superprof deine Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden kannst.