Kapitel

 

Definition des Binomischen Lehrsatzes

 

Der binomische Lehrsatz ist die Formel, mit der wir die Potenzen eines Binoms ermitteln können.

 

(a\pm b)^{n}=\binom{n}{0}a^{n} \pm\binom{n}{1}a^{n-1}b \pm\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2} \pm \cdots \pm \binom{n}{n} b^{n}

 

Wir erkennen Folgendes:

Die Anzahl der Terme ist n+1.

Die Koeffizienten sind kombinatorische Zahlen, die der n-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks entsprechen.

 

 

Pascalsches Dreieck

 

Bei der Entwicklung des Binoms nehmen die Exponenten von a nach und nach von n bis Null ab. Die Exponenten von b nehmen einzeln von Null bis n zu, so dass die Summe der Exponenten von a und b in jedem Term gleich n ist.

Wenn einer der Terme des Binoms negativ ist, wechseln sich die positiven und negativen Vorzeichen ab.

 

Beispiele für den Binomischen Lehrsatz

1 Berechne (x+2y)^{5}

Wir wenden die Formel für den Binomischen Lehrsatz an und erhalten

    $$(x+2y)^{5}=\binom{5}{0}x^{5}+\binom{5}{1}x^{4} \cdot 2y + \binom{5}{2}x^{3} \cdot (2y)^{2}+\binom{5}{3}x^{2}\cdot (2y)^{3}+\binom{5}{4}x \cdot (2y)^{4}+\binom{5}{5}(2y)^{5}=$$

    $$=x^{5}+10x^{4}y+40x^{3}y^{2}+80x^{2}y^{3}+80xy^{4}+32y^{5}$$

2 Berechne (2-3y)^{4}

Wir wenden die Formel für den Binomischen Lehrsatz an und erhalten

    $$(2-3y)^{4}=\binom{4}{0}2^{4}-\binom{4}{1}2^{3} \cdot 3y + \binom{4}{2}2^{2} \cdot (3y)^{2}-\binom{4}{3}2 \cdot (3y)^{3}+\binom{4}{4}3y^{4}=$$

    $$=16-96y+216y^{2}-216y^{3}+81y^{4}$$

 

Berechne den Term, der sich an der k-ten Stelle befindet

Mit den folgenden Formeln erhalten wir den Term an der k-ten Stelle des binomischen Lehrsatzes eines Binoms.

Für das Binom (a+b)^{n} gilt, dass sein k-ter Term T_k=\binom{n}{k-1}a^{n-(k-1)}b^{k-1} ist

 

Für das Binom (a-b)^{n} gilt, dass sein k-ter Term T_k=(-1)^{k-1}\binom{n}{k-1}a^{n-(k-1)}b^{k-1} ist

 

Beispiele

1 Der fünfte Term der Entwicklung von (x+2y)^{5} ist:

Wir wenden die vorhergehende Formel für k=5 und n=5 an. Daraus ergibt sich, dass der fünfte Term T_5=\binom{5}{4}x \cdot (2y)^{4}=80xy^{4} ist

 

2 Der vierte Term der Entwicklung von (2-3y)^{4} ist:

Wir wenden die vorhergehende Formel für k=4 und n=4 an. Daraus ergibt sich, dass der vierte Term T_4=(-1)^{3}\binom{4}{3}2 \cdot (3y)^{3}=-216y^{3} ist

 

3 Bestimme den achten Term der Entwicklung von (x^{2}-3y^{3})^{10}

Wir wenden die vorhergehende Formel für k=8 und n=10. Daraus ergibt sich, dass der achte Term T_8=(-1)^{7}\binom{10}{7} (x^{2})^{3} (3y^{3})^{7}=-262440x^{6}y^{21} ist

 

>

Die Plattform, die Lehrer/innen und Schüler/innen miteinander verbindet

Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars 5,00 (1 Note(n))
Loading...

Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.