Berechne die geforderten Wahrscheinlichkeiten anhand der folgenden Informationen:

$A$ und $B$ sind zwei Zufallsereignisse mit

$\displaystyle P(A) = \frac{3}{8}, \qquad P(B) = \frac{1}{2}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{4}$

Bestimme:

1 $P \left( A \cup B \right)$

2 $P \left( \overline{A} \right)$

3 $P \left( \overline{B} \right)$

4 $P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right)$

5 $P \left( A \cap \overline{B} \right)$

6 $P \left( \overline{A} \cup \overline{B} \right)$

7 $P \left( B \cap \overline{A} \right)$

$A$ und $B$ sind zwei Zufallsereignisse mit

$\displaystyle P(A) = \frac{3}{8}, \qquad P(B) = \frac{1}{2}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{4}$

Bestimme:

1 $P \left( A \cup B \right)$

Die Ereignisse sind kompatibel, da die Schnittmenge nicht die leere Menge ist. Das heißt, $\qquad A \cap B \neq \emptyset \qquad$ , da die Wahrscheinlichkeit nicht null ist. Somit

$\begin{align*} P \left( A \cup B \right) &= P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( A \cap B \right)\\ &= \frac{3}{8} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{5}{8} \end{align*}$

2 $P \left( \overline{A} \right)$

Die Wahrscheinlichkeit von $\overline{A}$ ist $1$ (totale Wahrscheinlichkeit) minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$

$\begin{align*} P \left( \overline{A} \right) &= 1 - P\left( A \right)\\ &= 1 - \frac{5}{8}\\ &= \frac{3}{8} \end{align*}$

3 $P \left( \overline{B} \right)$

Die Wahrscheinlichkeit von $\overline{B}$ ist $1$ (totale Wahrscheinlichkeit) minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$

$\begin{align*} P \left( \overline{B} \right) &= 1 - P\left( B \right)\\ &= 1 - \frac{1}{2}\\ &= \frac{1}{2} \end{align*}$

4 $P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right)$

Wir wenden die de-morganschen Gesetze an und erhalten

$\displaystyle \overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$

Die Wahrscheinlichkeit von $\overline{A \cup B}$ ist außerdem $1$ (totale Wahrscheinlichkeit) minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A \cup B$ . Somit

$\begin{align*} P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right) &= P\left( \overline{A \cup B} \right)\\ &= 1 - P\left( A \cup B \right)\\ &= 1 - \frac{5}{8}\\ &= \frac{3}{8} \end{align*}$

5 $P \left( A \cap \overline{B} \right)$

Wir stellen fest: $A \cap \overline{B} = A - B$ . Wir wenden das Gesetz an und erhalten

$\begin{align*} P \left( A \cap \overline{B} \right) &= P\left( A - B \right)\\ &= P\left( A \right) - P\left( A \cap B \right)\\ &= \frac{3}{8} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{1}{8} \end{align*}$

6 $P \left( \overline{A} \cup \overline{B} \right)$

Wir wenden die de-morganschen Gesetze an und erhalten

$\displaystyle \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$

Die Wahrscheinlichkeit von $\overline{A \cap B}$ ist $1$ (totale Wahrscheinlichkeit) minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A \cap B$ . Somit

$\begin{align*} P \left( \overline{A} \cup \overline{B} \right) &= P\left( \overline{A \cap B} \right)\\ &= 1 - P\left( A \cap B \right)\\ &= 1 - \frac{1}{4}\\ &= \frac{3}{4} \end{align*}$

7 $P \left( B \cap \overline{A} \right)$

Wir stellen fest, dass $B \cap \overline{A} = B - A$ . Wir erhalten

$\begin{align*} P \left( B \cap \overline{A} \right) &= P\left( B - A \right)\\ &= P\left( B \right) - P\left( B \cap A \right)\\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{1}{4} \end{align*}$

Berechne, was bei den folgenden Ereignissen und deren Wahrscheinlichkeiten verlangt wird.

$\displaystyle P(\overline{A}) = \frac{2}{3}, \qquad P( A \cup B ) = \frac{3}{4}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{4}$

Bestimme:

1 $P \left( A \right)$

2 $P \left( B \right)$

3 $P \left( A \cap \overline{B} \right)$

4 $P \left( B \cap \overline{A} \right)$

Berechne, was bei den folgenden Ereignissen und deren Wahrscheinlichkeiten verlangt wird.

$\displaystyle P(\overline{A}) = \frac{2}{3}, \qquad P( A \cup B ) = \frac{3}{4}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{4}$

Bestimme:

1 $P \left( A \right)$

Die Wahrscheinlichkeit von $A = \overline{\overline{A}}$ ist $1$ (totale Wahrscheinlichkeit) minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\overline{A}$

$\begin{align*} P \left( A \right) &= 1 - P\left( \overline{A} \right)\\ &= 1 - \frac{2}{3}\\ &= \frac{1}{3} \end{align*}$

2 $P \left( B \right)$

Wir denken daran, dass $P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) - P \left( A \cap B \right)$ ist. Wenn wir also $P \left( B \right)$ bestimmen, erhalten wir

$\begin{align*} P \left( B \right) &= P \left( A \cup B \right) + P \left( A \cap B \right) - P \left( A \right)\\ &= \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3}\\ &= \frac{2}{3} \end{align*}$

3 $P \left( A \cap \overline{B} \right)$

Wir stellen fest, dass $A \cap \overline{B} = A - B$ . Wir wenden das Gesetz an und erhalten

$\begin{align*} P \left( A \cap \overline{B} \right) &= P\left( A - B \right)\\ &= P\left( A \right) - P\left( A \cap B \right)\\ &= \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{1}{12} \end{align*}$

4 $P \left( B \cap \overline{A} \right)$

Wir stellen fest, dass $B \cap \overline{A} = B - A$ . Wir wenden das Gesetz an und erhalten

$\begin{align*} P \left( B \cap \overline{A} \right) &= P\left( B - A \right)\\ &= P\left( B \right) - P\left( B \cap A \right)\\ &= \frac{2}{3} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{5}{12} \end{align*}$

Beschreibe den Ergebnisraum des folgenden Experiments.

Zwei Kugeln werden aus einer Urne gezogen, in der sich eine weiße, eine rote, eine grüne und eine schwarze Kugel befinden. Beschreibe den Ergebnisraum, wenn:

1 Die erste Kugel wird in die Urne zurückgelegt, bevor die zweite Kugel gezogen wird.

2 Die erste Kugel wird nicht zurückgelegt.

Zwei Kugeln werden aus einer Urne gezogen, in der sich eine weiße, eine rote, eine grüne und eine schwarze Kugel befindet. Beschreibe den Ergebnisraum, wenn:

1 Die erste Kugel wird in die Urne zurückgelegt, bevor die zweite Kugel gezogen wird.

${\scriptsize \[ E = \{ BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN \} \] }$

2 Die erste Kugel wird nicht zurückgelegt.

$\displaystyle {\scriptsize \[ E = \{ BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV \} \] }$

Berechne die Wahrscheinlichkeiten für das folgende Experiment:

In einer Urne befinden sich 8 rote Kugeln, 5 gelbe Kugeln und 5 grüne Kugeln. Eine Kugel wird nach dem Zufallsprinzip gezogen. Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten, wenn eine Kugel nach dem Zufallsprinzip gezogen wird:

1 Die Kugel ist rot.

2 Die Kugel ist grün.

3 Die Kugel ist gelb.

4 Die Kugel ist nicht rot.

5 Die Kugel ist nicht gelb.

1 Die Kugel ist rot.

- Casos favorables: $8$ .

Mögliche Ergebnisse: $8 + 5 + 7 = 20$ .

Die Wahrscheinlichkeit ist somit

$\displaystyle P \left( \text{Extraer una bola roja} \right) = \frac{8}{20} = 0,4$

2 Die Kugel ist grün.

- Günstige Ergebnisse: $7$ .

Mögliche Ergebnisse: $8 + 5 + 7 = 20$ .

Die Wahrscheinlichkeit ist somit

$\displaystyle P \left( \text{Eine grüne Kugel ziehen} \right) = \frac{7}{20} = 0,35$

3 Die Kugel ist gelb.

- Günstige Ergebnisse: $5$ .

Mögliche Ergebnisse: $8 + 5 + 7 = 20$ .

Die Wahrscheinlichkeit ist somit

$\displaystyle P \left( \text{Eine gelbe Kugel ziehen} \right) = \frac{5}{20} = 0,25$

4 Die Kugel ist nicht rot.

- Günstige Ergebnisse: .

Mögliche Ergebnisse: $8 + 5 + 7 = 20$ .

Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei

$\displaystyle P \left( \text{Eine Kugel ziehen, die nicht rot ist} \right) = \frac{12}{20} = 0,6$

5 Die Kugel ist nicht gelb.

- Günstige Ergebnisse: $13$ .

Mögliche Ergebnisse: $8 + 5 + 7 = 20$ .

Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei

$\displaystyle P \left( \text{Eine Kugel ziehen, die nicht gelb ist} \right) = \frac{15}{20} = 0,75$

Berechne die Wahrscheinlichkeiten für das folgende Experiment:

In einer Urne sind 3 rote Kugeln und 7 weiße Kugeln. Zwei Kugeln werden nach dem Zufallsprinzip gezogen. Beschreibe den Ergebnisraum und bestimme die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse:

1 Mit Austausch (die erste Kugel wird gezogen und vor Ziehung der zweiten Kugel wieder in die Urne gelegt).

2 Ohne Austausch (die erste Kugel wird gezogen und nicht mehr zurückgelegt).

In einer Urne sind 3 rote Kugeln und 7 weiße Kugeln. Zwei Kugeln werden nach dem Zufallsprinzip gezogen. Beschreibe den Ergebnisraum und bestimme die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse:

1 Mit Austausch der Kugeln (die erste Kugel wird gezogen und vor Ziehung der zweiten Kugel wieder in die Urne gelegt).

Der Ergebnisraum ist gegeben durch

$\displaystyle E = \{RR, RB, BR, BB\}$

Die Entnahme von zwei Kugeln mit Austausch sind unabhängige Ereignisse, da die Entnahme der ersten Kugel keine Auswirkung auf die zweite Kugel hat, also

$\begin{align*} P \left( RR \right) &= \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{100}\\ &\\ P \left( BR \right) &= \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{21}{100}\\ &\\ P \left( RB \right) &= \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{21}{100}\\ &\\ P \left( BB \right) &= \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{49}{100}\\ \end{align*}$

2 Ohne Austausch der Kugeln (die erste Kugel wird gezogen und nicht mehr zurückgelegt).

Der Ergebnisraum ist gegeben durch

$\displaystyle E = \{RR, RB, BR, BB\}$

Die Entnahme von zwei Kugeln mit Austausch sind abhängige Ereignisse, das sich die Entnahme der ersten Kugel auf die Entnahme der zweiten Kugel auswirkt, also

$\begin{align*} P \left( RR \right) &= \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{90}\\ &\\ P \left( BR \right) &= \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{21}{90}\\ &\\ P \left( RB \right) &= \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{21}{90}\\ &\\ P \left( BB \right) &= \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{42}{90}\\ \end{align*}$

Berechne die Wahrscheinlichkeiten für das folgende Experiment:

Aus einer Urne, in der sich 4 rote Kugeln, 5 weiße Kugeln und 6 schwarze Kugeln befinden, wird eine Kugel gezogen.

1 Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel rot oder weiß ist?

2 Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel nicht weiß ist?

Aus einer Urne, die 4 rote Kugeln, 5 weiße Kugeln und 6 schwarze Kugeln enthält, wird eine Kugel gezogen.

1 Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel rot oder weiß ist?

Die Ziehung von zwei verschiedenfarbigen Kugeln sind inkompatible Ereignisse. Das heißt, ihre Schnittmenge ist die leere Menge. Deshalb

$\displaystyle P \left( R \cup B \right) = \frac{4}{15} + \frac{5}{15} = \frac{3}{5}$

2 Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel nicht weiß ist?

Wir denken daran, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\overline{B}$ $1$ minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$ ist. Somit

$\displaystyle P \left( \overline{B} \right) = 1 - \frac{5}{15} = \frac{2}{3}$

Löse folgende Problemstellungen:

In einer Klasse sind $45$ Schüler*innen. $10$ Schülerinnen haben blonde Haare, $20$ haben dunkle Haare, $5$ Schüler sind blond und $10$ Schüler sind dunkelhaarig. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Fälle:

1 Es handelt sich um einen Schüler.

2 Es handelt sich um eine Schülerin mit dunklen Haaren.

3 Es handelt sich um einen Schüler oder um eine Schülerin.

In einer Klasse sind $45$ Schüler*innen. $10$ Schülerinnen haben blonde Haare, $20$ Schülerinnen haben dunkle Haare, $5$ Schüler sind blond und $10$ Schüler haben dunkle Haare. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Fälle:

1 Es handelt sich um einen Schüler.

- Günstige Ergebnisse: $5 + 10 = 15$ .

Mögliche Ergebnisse: $10 + 20 + 5 + 10 = 45$ .

$\displaystyle P \left( X = \text{Schüler} \right) = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$

2 Es handelt sich um eine Schülerin mit dunklen Haaren.

- Günstige Ergebnisse: $20$ .

Mögliche Ergebnisse: $10 + 20 + 5 + 10 = 45$ .

$\displaystyle P \left( X = \text{Schülerin mit dunklen Haaren} \right) = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$

3 Es handelt sich um einen Schüler oder um eine Schülerin.

- Günstige Ergebnisse: $45$ .

Mögliche Ergebnisse: $10 + 20 + 5 + 10 = 45$ .

$\displaystyle P \left( X = \text{Schüler oder Schülerin} \right) = \frac{45}{45} = 1$

Ein Würfel wird so manipuliert, dass die Wahrscheinlichkeiten, die verschiedenen Seiten zu erhalten, proportional zu den Zahlen auf den Seiten sind.

Bestimme:

1 Die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine 6 zu erhalten.

2 Die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine ungerade Zahl zu erhalten.

Ein Würfel wird so manipuliert, dass die Wahrscheinlichkeiten, die verschiedenen Seiten zu erhalten, proportional zu den Zahlen auf den Seiten sind.

Bestimme:

1 Die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine 6 zu erhalten.

Wir nennen die Wahrscheinlichkeit $p$ , da sie proportional zu den Zahlen auf den Seiten des Würfels ist: $P(1) = p, P(2) = 2p, P(3) = 3p, \dots$ . Für die Summe gilt außerdem, dass

$\displaystyle p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p = 1$

Wir bestimmen $p$ und erhalten

$\displaystyle 21p = 1 \qquad \Rightarrow \qquad p = \frac{1}{21}$

Somit ist $P(6)$

$\begin{align*} P(6) &= 6p\\ &\\ &= 6 \cdot \frac{1}{21}\\ &\\ &= \frac{2}{7} \end{align*}$

2 Die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine ungerade Zahl zu erhalten.

Die ungeraden Zahlen wären $1, 3$ und $5$ . Die Wahrscheinlichkeit ist also gegeben durch

$\begin{align*} P(X \, \text{ungerade}) &= P(1) + P(3) + p(5)\\ &\\ &= \frac{1}{21} + 3 \cdot \frac{1}{21} + 5 \cdot \frac{1}{21}\\ &\\ &= 9 \cdot \frac{1}{21}\\ &\\ &= \frac{3}{7} \end{align*}$

Zwei Würfel werden geworfen und die Summe der erzielten Punkte wird notiert. Bestimme:

1 Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis $7$ ist.

2 Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu erhalten.

3 Die Wahrscheinlichkeit, dass die erhaltene Zahl ein Vielfaches von 3 ist.

Zwei Würfel werden geworfen und die Summe der erzielten Punkte wird notiert. Berechne:

1 Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis $7$ ist.

- Günstige Ergebnisse: Die günstigen Ergebnisse sind die $6$ folgenden
  $\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{matrix}.$

Mögliche Ergebnisse: Um die möglichen Ergebnisse zu bestimmen, müssen wir die Variationen bei Wiederholung von $6$ Elementen aus $2$ in $2$ berechen:
$\displaystyle VR_{6,2} = 6^2 = 36$ .

Unsere Wahrscheinlichkeit, dass die Würfel $7$ ergeben, liegt bei

$\displaystyle P(7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .

2 Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis eine gerade Zahl ist

- Mögliche Ergebnisse: Aus den vorherigen Angaben wissen wir, dass die möglichen Ergebnisse $36$ sind.

Günstige Ergebnisse: Die Anzahl der günstigen Ergebnisse, bei denen die Summe gerade ist, ist die Hälfte der möglichen Ergebnisse, da die Summe von zwei geraden Zahlen gerade ist und die Summe von zwei ungeraden Zahlen gerade ist, also sind die günstigen Ergebnisse $18$ .

In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe gerade ist, gleich

$\displaystyle P(X \, \text{gerade}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ .

3 Die Wahrscheinlichkeit, dass die erhaltene Zahl ein Vielfaches von drei ist.

- Günstige Ergebnisse: Die günstigen Ergebnisse sind die $12$ folgenden
  $\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3\\ 2 & 5 & 1 & 4 & 3 & 6 \end{matrix}$
  
  $\begin{matrix} 4 & 4 & 5 & 5 & 6 & 6\\ 2 & 5 & 1 & 4 & 3 & 6 \end{matrix}$

Mögliche Ergebnisse: Aus den vorherigen Angaben wissen wir, dass die möglichen Ergebnisse $36$ sind.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Würfel ein Vielfaches von $3$ ergibt, ist also

$\displaystyle P(X \, \text{Vielfaches von} \, 3) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$ .

Es werden 3 Würfel geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für:

1 Alle zeigen eine $6$ .

2 Die erzielten Punkte ergeben $7$ .

Es werden 3 Würfel geworfen. Bestimmte folgende Wahrscheinlichkeit:

1 Alle Würfel zeigen eine $6$ .

Günstige Ergebnisse: Wir haben nur ein günstiges Ergebnis.
Mögliche Ergebnisse: Um die möglichen Ergebnisse zu ermitteln, müssen wir die Variationen bei Wiederholung von $6$ Elementen aus $3$ in $3$ berechnen:
$\displaystyle VR_{6,3} = 6^3 = 216$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Würfel eine $6$ zeigen, liegt bei

$\displaystyle P(\text{Alle Würfel sind} \, 6) = \frac{1}{216} = \frac{1}{3}$ .

2 Die erzielten Punkte ergeben $7$ .

- Günstige Ergebnisse: Die günstigen Ergebnisse sind die $15$ folgenden
  $\begin{matrix} 1 & 1 & 5\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 3\\ 1 & 4 & 2\\ 1 & 5 & 1\\ 2 & 1 & 4\\ 2 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 2\\ 2 & 4 & 1\\ 3 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 2\\ 3 & 3 & 1\\ 4 & 1 & 2\\ 4 & 2 & 1\\ 5 & 1 & 1\\ \end{matrix}$

Mögliche Ergebnisse: Aus der vorherigen Angabe wissen wir, dass die möglichen Ergebnisse $216$ sind.

Somit liegt die Wahrscheinlichkeit, dass die erzielten Punkte $7$ ergeben, bei

$\displaystyle P(7) = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}$ .

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass beim Aufsammeln von Dominosteinen eine Anzahl an Punkten erhalten wird, die größer als $9$ oder ein Vielfaches von $4$ ist.

Das Domino-Ereignis, bei dem eine Anzahl von Dominosteinen mit einer Punktzahl größer als $9$ erreicht wird, ist gegeben durch

$\displaystyle A = \left{ (4,6), (5,5), (5,6), (6,6) \right}$

Das Domino-Ereignis, bei dem eine Anzahl von Dominosteinen mit einer Punktzahl, die ein Vielfaches von $4$ ist, erreicht wird, ist gegeben durch

$\displaystyle B = \left{ (0,4), (1,3), (2,2), (2,6), (3,5), (4,4), (6,6) \right}$

Unser letztes zu berücksichtigendes Ereignis ist also $A \cup B$ . Außerdem gibt es bei einem Dominospiel $28$ Spielsteine. Die Wahrscheinlichkeit ist also gegeben durch

$\begin{align*} P \left( A \cup B \right) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\ &\\ &= \frac{4}{28} + \frac{7}{28} - \frac{1}{28}\\ &\\ &= \frac{10}{28} &\\ &= \frac{5}{14} \end{align*}$

Ermittle die Wahrscheinlichkeit für folgende Ergebnisse beim Werfen eines Würfels:

1 Eine gerade Zahl.

2 Ein Vielfaches von 3.

3 Größer als 4.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ergebnisse beim Würfeln:

1 Eine gerade Zahl.

- Günstige Ergebnisse: Die günstigen Ergebnisse sind die $3$ folgenden
  $\left\{ 2, 4, 6\right\}$

Mögliche Ergebnisse: Da ein Würfel $6$ Seiten hat, haben wir $6$ mögliche Ergebnisse.

Wie Wahrscheinlichkeit ist somit

$\displaystyle P \left( X \; \text{eine gerade Zahl}\right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

2 Ein Vielfaches von 3.

- Günstige Ergebnisse: Die günstigen Ergebnisse sind die $2$ folgenden
  $\left\{ 3, 6\right\}$

Mögliche Ergebnisse: Da ein Würfel $6$ Seiten hat, haben wir $6$ mögliche Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit lautet somit

$\displaystyle P \left( X \; \text{Vielfaches von} \; 3\right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

3 Größer als 4.

- Günstige Ergebnisse: Die günstigen Ergebnisse sind die $2$ folgenden
  $\left\{ 5, 6\right\}$

Mögliche Ergebnisse: Da ein Würfel $6$ hat, haben wir $6$ mögliche Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit liegt somit bei

$\displaystyle P \left( X > 4\right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

Bestimme die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse beim Werfen von 2 Münzen:

1 Zweimal Kopf.

2 Zweimal Zahl.

3 Einmal Kopf und einmal Zahl.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ergebnisse beim Werfen einer Münze:

1 Zweimal Kopf.

Baumdiagramm des Ergebnisraums

Es handelt sich um unabhängige Ereignisse. Da die Wahrscheinlichkeit, dass jede Münze Kopf ist, $\frac{1}{2}$ beträgt, ergibt sich Folgendes

$\displaystyle P \left( \text{zweimal Kopf}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.$

2 Zweimal Zahl.

Baumdiagramm des Ergebnisraums

Wie im vorangegangenen Abschnitt handelt es sich um unabhängige Ereignisse. Da die Wahrscheinlichkeit, dass jede Münze Zahl ist, $\frac{1}{2}$ beträgt, ergibt sich Folgendes

$\displaystyle P \left( \text{zweimal Zahl erhalten}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.$

3 Einmal Kopf und einmal Zahl.

Baumdiagramm des Ergebnisraums

Die Wahrscheinlichkeit, dass wir einmal Kopf und einmal Zahl erhalten, ist die Wahrscheinlichkeit, $(Kopf, Zahl) \cup (Zahl, Kopf)$ zu erhalten. Außerdem handelt es sich wie in den vorangegangenen Abschnitten um unabhängige Ereignisse. Da die Wahrscheinlichkeit, dass jede Münze Kopf oder Zahl zeigt, $\frac{1}{2}$ ist, ergibt sich Folgendes

$\displaystyle P \left( \text{einmal Kopf und einmal Zahl}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}= \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$

In einem Umschlag befinden sich $20$ Zettel. Auf $8$ davon wurde ein Auto gezeichnet, die restlichen sind weiß. Bestimmte die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Zettel mit dem Bild eines Autos darauf gezogen wird:

1 Wenn 1 Zettel gezogen wird.

2 Wenn 2 Zettel gezogen werden.

3 Wenn 3 Zettel gezogen werden.

1 Wenn 1 Zettel gezogen wird.

Wir haben $8$ günstige Ergebnisse und $20$ mögliche Ergebnisse, deshalb

$\displaystyle P(C_1) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ .

2 Es werden 2 Zettel gezogen.

Die Warscheinlichkeit, dass bei der Ziehung von $2$ Zetteln mindestens einer ein Auto zeigt, ist $1$ minus die Wahrscheinlichkeit, dass beim Ziehen von $2$ Zetteln beide weiß sind. Somit

$\begin{align*} P(C_2) &= 1 - P(2 \; \text{weiß})\\ &\\ &= 1 - \frac{12}{20}\cdot \frac{11}{19}\\ &\\ &= \frac{62}{95} \end{align*}$

3 Es werden 3 Zettel gezogen.

Die Warscheinlichkeit, dass bei der Ziehung von $3$ Zetteln mindestens einer ein Auto zeigt, ist $1$ minus die Wahrscheinlichkeit, dass beim Ziehen von $3$ Zetteln alle weiß sind. Somit

$\begin{align*} P(C_3) &= 1 - P(3 \; \text{weiß})\\ &\\ &= 1 - \frac{12}{20}\cdot \frac{11}{19} \cdot \frac{10}{18}\\ &\\ &= \frac{46}{57} \end{align*}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Studenten $A$ und $B$ eine Prüfung nicht bestehen, liegt bei jeweils $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{5}$ . Die Wahrscheinlichkeit, dass beide die Prüfung nicht bestehen, liegt bei $\frac{1}{10}$ . Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Studenten die Prüfung nicht besteht.

Wir stellen fest, dass es sich um kompatible Ereignisse handelt, da $P(A \cap B) \neq 0$ . Somit

$\begin{align*} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\ &\\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10}\\ &\\ &= \frac{3}{5} \end{align*}$

Zwei Brüder gehen auf die Jagd. Der Erste tötet im Schnitt $2$ Tiere pro $5$ Schüsse. Der Zweite tötet $1$ Tier pro $2$ Schüsse. Wenn beide auf dasselbe Tier schießen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie es töten?

Als Erstes berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass beide einen Treffer landen. Somit

$\displaystyle P(A \cap B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5}$

Wir stellen fest, dass die Ereignisse kompatibel sind:

$\begin{align*} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\ &\\ &= \frac{2}{5} + \frac{1}{2} - \frac{1}{5}\\ &\\ &= \frac{7}{10} \end{align*}$

Ein Kurs besteht aus $10$ Männern und $20$ Frauen. Die Hälfte der Männer und die Hälfte der Frauen hat braune Augen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person männlich ist oder braune Augen hat.

Espacio muestral y casos favorables

Anhand der Tabelle sehen wir, dass die Wahrscheinlichkeit wie folgt lautet

$\begin{align*} P(\text{H} \, \cup \, \text{O.C}) &= P(\text{H}) + P(\text{O.C}) - P(\text{H} \, \cap \, \text{O.C})\\ &\\ &= \frac{10}{30} + \frac{15}{30} - \frac{5}{30}\\ &\\ &= \frac{2}{3} \end{align*}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann $20$ Jahre lebt, liegt bei $\frac{1}{4}$ und die Wahrscheinlichkeit, dass seine Frau $20$ Jahre lebt, liegt bei $\frac{1}{3}$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit:

1 Beide leben $20$ Jahre.

2 Der Mann lebt $20$ Jahre, die Frau nicht.

3 Beide sterben, bevor die $20$ Jahre vorbei sind.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann $20$ Jahre lebt, liegt bei $\frac{1}{4}$ und die Wahrscheinlichkeit, dass seineFrau $20$ Jahre lebt, liegt bei $\frac{1}{3}$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Fälle:

1 Beide leben $20$ Jahre.

Wir stellen zunächst fest, dass es sich hierbei um unabhängige Ereignisse handelt. Somit

$\displaystyle P(\text{H} \, \cap \, \text{M}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$

2 Der Mann lebt $20$ Jahre, die Frau nicht.

$\begin{align*} P(\text{H} \, \cap \, \overline{\text{M}}) &= P(\text{H}) \left(1 - P(\overline{\text{M}}) \right)\\ &\\ &= \frac{1}{4} \left(1 -\frac{1}{3} \right)\\ &\\ & = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}\\ &\\ &= \frac{1}{6}\\ \end{align*}$

3 Beide sterben, bevor die $20$ Jahre vorbei sind.

$\begin{align*} P(\overline{\text{H}} \, \cap \, \overline{\text{M}}) &= \left( 1 - P(\overline{\text{H}}) \right) \left(1 - P(\overline{\text{M}}) \right)\\ &\\ &= \left(1 - \frac{1}{4} \right) \left(1 - \frac{1}{3} \right)\\ &\\ & = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}\\ &\\ &= \frac{1}{2}\\ \end{align*}$

Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung mit definierten Formeln

Name: Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Problemstellungen
Brand: Superprof
SKU: SP-RB-00004908
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Berechne die geforderten Wahrscheinlichkeiten anhand der folgenden Informationen:

$A$ und $B$ sind zwei Zufallsereignisse mit

$\displaystyle P(A) = \frac{3}{8}, \qquad P(B) = \frac{1}{2}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{4}$

Bestimme:

1 $P \left( A \cup B \right)$

2 $P \left( \overline{A} \right)$

3 $P \left( \overline{B} \right)$

4 $P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right)$

5 $P \left( A \cap \overline{B} \right)$

6 $P \left( \overline{A} \cup \overline{B} \right)$

7 $P \left( B \cap \overline{A} \right)$

$A$ und $B$ sind zwei Zufallsereignisse mit

$\displaystyle P(A) = \frac{3}{8}, \qquad P(B) = \frac{1}{2}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{4}$

Bestimme:

1 $P \left( A \cup B \right)$

Die Ereignisse sind kompatibel, da die Schnittmenge nicht die leere Menge ist. Das heißt, $\qquad A \cap B \neq \emptyset \qquad$ , da die Wahrscheinlichkeit nicht null ist. Somit

$\begin{align*} P \left( A \cup B \right) &= P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( A \cap B \right)\\ &= \frac{3}{8} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{5}{8} \end{align*}$

2 $P \left( \overline{A} \right)$

Die Wahrscheinlichkeit von $\overline{A}$ ist $1$ (totale Wahrscheinlichkeit) minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$

$\begin{align*} P \left( \overline{A} \right) &= 1 - P\left( A \right)\\ &= 1 - \frac{5}{8}\\ &= \frac{3}{8} \end{align*}$

3 $P \left( \overline{B} \right)$

Die Wahrscheinlichkeit von $\overline{B}$ ist $1$ (totale Wahrscheinlichkeit) minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$

$\begin{align*} P \left( \overline{B} \right) &= 1 - P\left( B \right)\\ &= 1 - \frac{1}{2}\\ &= \frac{1}{2} \end{align*}$

4 $P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right)$

Wir wenden die de-morganschen Gesetze an und erhalten

$\displaystyle \overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$

Die Wahrscheinlichkeit von $\overline{A \cup B}$ ist außerdem $1$ (totale Wahrscheinlichkeit) minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A \cup B$ . Somit

$\begin{align*} P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right) &= P\left( \overline{A \cup B} \right)\\ &= 1 - P\left( A \cup B \right)\\ &= 1 - \frac{5}{8}\\ &= \frac{3}{8} \end{align*}$

5 $P \left( A \cap \overline{B} \right)$

Wir stellen fest: $A \cap \overline{B} = A - B$ . Wir wenden das Gesetz an und erhalten

$\begin{align*} P \left( A \cap \overline{B} \right) &= P\left( A - B \right)\\ &= P\left( A \right) - P\left( A \cap B \right)\\ &= \frac{3}{8} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{1}{8} \end{align*}$

6 $P \left( \overline{A} \cup \overline{B} \right)$

Wir wenden die de-morganschen Gesetze an und erhalten

$\displaystyle \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$

Die Wahrscheinlichkeit von $\overline{A \cap B}$ ist $1$ (totale Wahrscheinlichkeit) minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A \cap B$ . Somit

$\begin{align*} P \left( \overline{A} \cup \overline{B} \right) &= P\left( \overline{A \cap B} \right)\\ &= 1 - P\left( A \cap B \right)\\ &= 1 - \frac{1}{4}\\ &= \frac{3}{4} \end{align*}$

7 $P \left( B \cap \overline{A} \right)$

Wir stellen fest, dass $B \cap \overline{A} = B - A$ . Wir erhalten

$\begin{align*} P \left( B \cap \overline{A} \right) &= P\left( B - A \right)\\ &= P\left( B \right) - P\left( B \cap A \right)\\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{1}{4} \end{align*}$

Berechne, was bei den folgenden Ereignissen und deren Wahrscheinlichkeiten verlangt wird.

$\displaystyle P(\overline{A}) = \frac{2}{3}, \qquad P( A \cup B ) = \frac{3}{4}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{4}$

Bestimme:

1 $P \left( A \right)$

2 $P \left( B \right)$

3 $P \left( A \cap \overline{B} \right)$

4 $P \left( B \cap \overline{A} \right)$

Berechne, was bei den folgenden Ereignissen und deren Wahrscheinlichkeiten verlangt wird.

$\displaystyle P(\overline{A}) = \frac{2}{3}, \qquad P( A \cup B ) = \frac{3}{4}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{4}$

Bestimme:

1 $P \left( A \right)$

Die Wahrscheinlichkeit von $A = \overline{\overline{A}}$ ist $1$ (totale Wahrscheinlichkeit) minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\overline{A}$

$\begin{align*} P \left( A \right) &= 1 - P\left( \overline{A} \right)\\ &= 1 - \frac{2}{3}\\ &= \frac{1}{3} \end{align*}$

2 $P \left( B \right)$

Wir denken daran, dass $P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) - P \left( A \cap B \right)$ ist. Wenn wir also $P \left( B \right)$ bestimmen, erhalten wir

$\begin{align*} P \left( B \right) &= P \left( A \cup B \right) + P \left( A \cap B \right) - P \left( A \right)\\ &= \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3}\\ &= \frac{2}{3} \end{align*}$

3 $P \left( A \cap \overline{B} \right)$

Wir stellen fest, dass $A \cap \overline{B} = A - B$ . Wir wenden das Gesetz an und erhalten

$\begin{align*} P \left( A \cap \overline{B} \right) &= P\left( A - B \right)\\ &= P\left( A \right) - P\left( A \cap B \right)\\ &= \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{1}{12} \end{align*}$

4 $P \left( B \cap \overline{A} \right)$

Wir stellen fest, dass $B \cap \overline{A} = B - A$ . Wir wenden das Gesetz an und erhalten

$\begin{align*} P \left( B \cap \overline{A} \right) &= P\left( B - A \right)\\ &= P\left( B \right) - P\left( B \cap A \right)\\ &= \frac{2}{3} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{5}{12} \end{align*}$

Beschreibe den Ergebnisraum des folgenden Experiments.

Zwei Kugeln werden aus einer Urne gezogen, in der sich eine weiße, eine rote, eine grüne und eine schwarze Kugel befinden. Beschreibe den Ergebnisraum, wenn:

1 Die erste Kugel wird in die Urne zurückgelegt, bevor die zweite Kugel gezogen wird.

2 Die erste Kugel wird nicht zurückgelegt.

Zwei Kugeln werden aus einer Urne gezogen, in der sich eine weiße, eine rote, eine grüne und eine schwarze Kugel befindet. Beschreibe den Ergebnisraum, wenn:

1 Die erste Kugel wird in die Urne zurückgelegt, bevor die zweite Kugel gezogen wird.

${\scriptsize \[ E = \{ BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN \} \] }$

2 Die erste Kugel wird nicht zurückgelegt.

$\displaystyle {\scriptsize \[ E = \{ BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV \} \] }$

Berechne die Wahrscheinlichkeiten für das folgende Experiment:

1 Die Kugel ist rot.

2 Die Kugel ist grün.

3 Die Kugel ist gelb.

4 Die Kugel ist nicht rot.

5 Die Kugel ist nicht gelb.

1 Die Kugel ist rot.

- Casos favorables: $8$ .

Mögliche Ergebnisse: $8 + 5 + 7 = 20$ .

Die Wahrscheinlichkeit ist somit

$\displaystyle P \left( \text{Extraer una bola roja} \right) = \frac{8}{20} = 0,4$

2 Die Kugel ist grün.

- Günstige Ergebnisse: $7$ .

Mögliche Ergebnisse: $8 + 5 + 7 = 20$ .

Die Wahrscheinlichkeit ist somit

$\displaystyle P \left( \text{Eine grüne Kugel ziehen} \right) = \frac{7}{20} = 0,35$

3 Die Kugel ist gelb.

- Günstige Ergebnisse: $5$ .

Mögliche Ergebnisse: $8 + 5 + 7 = 20$ .

Die Wahrscheinlichkeit ist somit

$\displaystyle P \left( \text{Eine gelbe Kugel ziehen} \right) = \frac{5}{20} = 0,25$

4 Die Kugel ist nicht rot.

- Günstige Ergebnisse: .

Mögliche Ergebnisse: $8 + 5 + 7 = 20$ .

Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei

$\displaystyle P \left( \text{Eine Kugel ziehen, die nicht rot ist} \right) = \frac{12}{20} = 0,6$

5 Die Kugel ist nicht gelb.

- Günstige Ergebnisse: $13$ .

Mögliche Ergebnisse: $8 + 5 + 7 = 20$ .