Das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Drehung des Graphen 
um die Achse 
entsteht und durch 
und 
begrenzt wird, ist wie folgt gegeben:
Aufgaben:
Bestimme das Volumen des Raums, der durch die Flächen begrenzt wird, die von den gegebenen Graphen und Geraden 
und 
begrenzt werden, wenn man um die Achse dreht:
Wir wenden die Formel zur Berechnung des Volumens und die trigonometrische Identität 
an. Außerdem beachten wir, dass der Kosinus auf diesem Intervall teilweise negativ ist.
Wir wenden die trigonometrische Identität an:
Wir führen die Substitution 
für das zweite Integral durch und wenden die direkten Integrale an:
Berechne das Volumen des Zylinders, der durch das Rechteck entsteht, das von den Geraden 
und 
sowie der Achse begrenzt wird, wenn eine Drehung um diese Achse erfolgt.
Wir wenden die Formel zur Berechnung des Volumens wie folgt an:
Bestimme das Volumen des Kegelstumpfs, der durch das Trapez entsteht, das von der x-Achse, der Geraden 
und den Koordinaten und 
begrenzt wird, wenn eine Drehung um erfolgt.
Wir beginnen mit der Anwendung der Formel zur Berechnung des Volumens und führen die Berechnung des Binoms durch. Anschließend wenden wir die direkten Integrale an:
Berechne das Volumen, das entsteht, wenn man die durch die Graphen von 
begrenzte Fläche um die Achse dreht.
Zunächst bestimmen wir die Schnittpunkte zwischen der Parabel und der Geraden:
Wir setzen die Funktionen gleich und ermitteln den Wert von xx:
Wir setzen die Werte von xx in eine der beiden Gleichungen ein, um die Werte von yy zu erhalten und so die Schnittpunkte zu ermitteln:
Volumen zwischen einer Parabel und einer Geraden
Die Parabel liegt im Integrationsintervall oberhalb der Geraden. Wenn wir also die Werte in die Formel für das Volumen einsetzen, erhalten wir:
Berechne das Volumen, das durch die Rotation der Fläche um die Achse 
entsteht, die durch die Parabel 
und die Gerade 
begrenzt wird.
Da eine Drehung um die Achse 
erfolgt, wenden wir folgende Formel an:
Das Volumen ergibt sich aus dem Bereich zwischen Gerade und Parabel mit den Endpunkten 
und 
.
Volumen durch Parabel
Da die Parabel symmetrisch zur Achse 
ist, entspricht das Volumen dem Doppelten des Volumens, das zwischen 
und entsteht.
Berechne das Volumen der Kugel mit dem Radius r.
Wir gehen von der Kreisgleichung 
aus.
Dreht man einen Halbkreis um die x-Achse, erhält man eine Kugel.
Nun setzen wir die Werte in die Formel für das Volumen ein. 
Bestimme das Volumen des Ellipsoids, das durch die Ellipse 
erzeugt wird, folgende Drehung erfolgt:
a Um die Hauptachse.
b Um die Nebenachse.
a Um die Hauptachse.
Da die Ellipse bezüglich beider Achsen symmetrisch ist, ist das Volumen in beiden Fällen doppelt so groß wie dasjenige, das durch den Ellipsenabschnitt im ersten Quadranten begrenzt wird.
Wir bestimmen den Wert von 
und ermitteln die Grenzwerte der Integration.
Nun setzen wir in die Formel für das Volumen ein: 
b Um die Nebenachse.
Wir bestimmen den Wert von 
und ermitteln die Grenzwerte der Integration.
Nun setzen wir in die Formel für das Volumen ein 
Mit KI zusammenfassen:
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