Bei der Integration rationaler Funktionen geht es um die Ermittlung des Integrals 
, wobei 
und 
Polynome sind. Zunächst nehmen wir an, dass der Grad von kleiner ist als der von ; wäre dies nicht der Fall, würde es zu einer Aufteilung kommen.
ist der Quotient und 
der Rest der Polynomdivision.
Sobald wir wissen, dass der Nenner einen höheren Grad hat als der Zähler, zerlegen wir den Nenner in Faktoren.
Abhängig von den Nullstellen des Nenners, treten verschiedene Fälle auf.
Hier befassen wir uns mit dem dritten Fall, nämlich wenn der Nenner komplexe und einfache Nullstellen aufweist.
Der Nenner hat einfache komplexe Nullstellen
In diesem Fall haben wir Faktoren der Form:
Der Bruch 
kann wie folgt geschrieben werden:
,
wobei 
und 
zu bestimmende Zahlen sind.
Dieses Integral lässt sich in ein Logarithmus- und ein Arkustangensintegral zerlegen. Im Folgenden sehen wir uns einige Beispiele an, um diese Art von Integralen zu veranschaulichen.
Beispiele für die Integration rationaler Funktionen vom Typ 3
1
Da der Grad des Nenners höher ist als der Grad des Zählers, beginnen wir damit, den Nenner in Faktoren zu zerlegen
Wir führen die Addition durch
Da beide Brüche denselben Nenner haben, sind die Zähler gleich:
Wir setzen die Koeffizienten der beiden Terme gleich.
somit
Das erste Integral ist logarithmischer Art, und das zweite müssen wir in zwei Integrale zerlegen, die logarithmischer Art bzw. der Art des Arkustangens sind.
Wir multiplizieren beim zweiten Integral mit 2, um es vorzubereiten, und fahren fort.
Das verbleibende Integral ist ein Arkustangensintegral. Wir formen den Nenner so um, dass wir die Formel für das Arkustangensintegral anwenden können.
Wir wandeln den Nenner in ein quadriertes Binom um:
Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit 
, um das 
im Nenner in Eins umzuwandeln; im Fall des quadrierten Binoms müssen wir innerhalb des Binoms mit der Quadratwurzel von multiplizieren.
das heißt
2
Wir addieren und subtrahieren 
im Zähler, zerlegen in zwei Brüche und extrahieren im ersten den gemeinsamen Faktor .
Wir multiplizieren und dividieren den ersten Bruch mit und durch 2
Für das fehlende Integral wandeln wir den Nenner so um, damit wir die Formel für das Arkustangens-Integral anwenden können.
Wir wandeln den Nenner in ein quadriertes Binom um:
somit
Wir substituieren
und es bleibt
Also
Mit KI zusammenfassen:
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