Potenzfunktionen, also Funktionen der Form 
, wobei 
eine reelle Zahl ist, gehören zu den grundlegendsten und häufigsten Funktionen in der Analysis. Deren Integration gehört zu den ersten Fähigkeiten, die man beim Studium der Integralrechnung erlernt, da sie eine solide Grundlage für die Bearbeitung komplexerer Funktionen bildet.
Die allgemeine Regel zur Integration von Potenzfunktionen ist einfach und lautet wie folgt:
,
immer, wenn 
. Mit diesem Verfahren lassen sich Stammfunktionen von Funktionen mit positiven, negativen oder gebrochenen Exponenten bestimmen, sofern die Bedingung erfüllt ist. Im Sonderfall 
erhält man eine Logarithmusfunktion:
In diesem Artikel findest du Schritt-für-Schritt-Beispiele, die dir helfen, diese Regel korrekt anzuwenden, Sonderfälle zu erkennen und mit verschiedenen Exponenten zu üben. Diese Beispiele stärken deine Fähigkeiten, Integrale präzise und fehlerfrei zu lösen.
Löse die folgendenIntegrale mit Potenzen:
1 Wir zerlegen in Brüche
2 Wir vereinfachen
3 Wir lösen jedes Integral
1 Wir zerlegen in Brüche
2 Wir vereinfachen
3 Wir lösen jedes Integral
4 Wir vereinfachen das Ergebnis
1 Wir wenden die Formel für das Integral einer Potenzfunktion an und nehmen 
2 Wir berechnen ihre Ableitung 
3 Wir berechnen das Integral und erhalten
1 Wir schreiben den Nenner als Potenzen
2 Wir schreiben ohne die Nenner
3 Wir multiplizieren
4 Wir lösen das Integral
5 Wir vereinfachen das Ergebnis und erhalten
1 Wir schreiben das Integral als Summe von Integralen
2 Wir lösen jedes Integral
3 Wir vereinfachen das Ergebnis und erhalten
1 Wir schreiben den Integranden in Potenzen
2 Wir schreiben ohne die Nenner
3 Wir wenden die Eigenschaft des Integrals einer Summe an
4 Wir lösen das Integral
5 Wir vereinfachen das Ergebnis und erhalten
1 Wir schreiben den Integranden als Potenzen
2 Wir schreiben den Integranden als Summe von Brüchen
3 Wir vereinfachen den Integranden
4 Wir wenden die Eigenschaft des Integrals einer Summe an
5 Wir lösen das Integral
6 Wir vereinfachen das Ergebnis und erhalten
1 Wir schreiben den Integranden als Potenzen
2 Wir schreiben ohne die Nenner
3 Wir wenden die Eigenschaft des Integrals einer Summe an
4 Wir lösen das Integral
5 Wir vereinfachen das Ergebnis und erhalten
1 Wir schreiben den Integranden als Potenzen
2 Wir schreiben den Integranden als Summe von Brüchen
3 Wir vereinfachen den Integranden
4 Wir wenden die Eigenschaft des Integrals einer Summe an
5 Wir lösen das Integral
6 Wir vereinfachen das Ergebnis und erhalten
1 Wir wenden die allgemeine Formel des Integrals einer Potenzfunktion an und nehmen 
2 Wir berechnen ihre Ableitung 
3 Wir berechnen das Integral und erhalten
1 Wir wenden die allgemeine Formel des Integrals einer Potenzfunktion an und nehmen 
2 Wir berechnen die Ableitung 
3 Wir multiplizieren und dividieren den Integranden mit/durch 2 und ziehen die Konstante 2 heraus
4 Wir berechnen das Integral und erhalten
1 Wir faktorisieren den Integranden
2 Wir wenden 
an
3 Wir nehmen 
und berechnen die Ableitung 
4 Wir berechnen das Integral und erhalten
1 Wir drücken in Exponentialschreibweise aus
2 Wir nehmen und berechnen die Ableitung
3 Wir berechnen das Integral
4 Wir vereinfachen und erhalten
1 Wir drücken in Exponentialschreibweise aus
2 Wir nehmen 
und berechnen die Ableitung 
3 Wir berechnen das Integral
4 Wir vereinfachen und erhalten
1 Wir drücken in Exponentialschreibweise aus
2 Wir nehmen 
und berechnen die Ableitung 
3 Wir multiplizieren und dividieren den Integranden mit/durch -3
4 Wir berechnen das Integral
5 Wir vereinfachen das Ergebnis und erhalten
1 Wir drücken in Exponentialschreibweise aus
2 Wir nehmen 
und berechnen die Ableitung 
3 Wir berechnen das Integral
4 Wir vereinfachen das Ergebnis und erhalten
1 Wir drücken in Exponentialschreibweise aus
2 Wir nehmen und berechnen die Ableitung
3 Wir berechnen das Integral
4 Wir vereinfachen und erhalten
1 Wir drücken wie folgt aus
2 Wir nehmen 
und berechnen die Ableitung 
3 Wir berchnen das Integral
4 Das gesuchte Integral lautet
1 Wir drücken in Exponentialschreibweise aus und schreiben den Integranden
2 Wir nehmen 
und berechnen die Ableitung 
3 Wir berechnen das Integral
4 Wir vereinfachen das Ergebnis und erhalten
1 Wir drücken in Potenzen aus
2 Wir wenden die Regeln für Potenzen an
3 Wir lösen das Integral
4 Wir vereinfachen das Ergebnis und erhalten
1 Wir schreiben als Potenzen
2 Wir wenden die Regeln für Exponenten an
3 Wir lösen das Integral
4 Wir vereinfachen das Ergebnis und erhalten
1 Wir drücken in Exponentialschreibweise aus
2 Wir nehmen und berechnen die Ableitung
3 Wir berechnen das Integral
4 Wir vereinfachen das Ergebnis und erhalten
1 Wir erhöhen auf die gegebenen Exponenten
2 Wir vereinfachen und ordnen den Integranden
3 Wir nehmen 
und berechnen die Ableitung
4 Wir berechnen das Integral
1 Wir wenden die Regeln für Logarithmen an
2 Wir ordnen den Integranden
3 Wir nehmen und berechnen die Ableitung
4 Wir berechnen das Integral
5 Wir vereinfachen und erhalten
1 Wir schreiben den Integranden als
2 Wir wenden 
an
3 Wir nehmen 
und berechnen die Ableitung 
4 Wir berechnen das Integral
5 Wir vereinfachen und erhalten
Mit KI zusammenfassen:
Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!
Loading...
